分形市场理论在我国股票市场的应用

分形市场理论在我国股票市场的应用——以深证成指为例刘斌宁波大学商学院，宁波（315211）E-mail：[e-mail]摘要：国内外资本市场的快速发展，使资本市场成为人们最关心的问题，而对资本市场行为做出解释的理论和模型也一直是人们探索的课题。分形理论是非线性分析方法中的一种，它改变了人们对市场特性的认识，如市场的混沌特性、市场波动的长期记忆性、收益的自相似性等，并且能有效地解释自然和经济现象中许多极其复杂多变的问题，因而尽管问世才几年，它已经成为发展非线性资本市场理论框架的有力分析工具。关键词：分形，有效，R/S分析1.引言资本市场一直为人们所关心，因而对资本市场行为做出解释的理论和模型一直是人们探索的课题。在过去的三四十年间，有效市场理论（EMH）得到了广泛的认可和应用，它成为了分析资本市场的理论前提。但是，随着理论研究的进一步深入，这些理论也逐步受到了怀疑，很多实证研究结果都表明了以上理论明显存在着与事实不符之处，传统的资本市场理论已经不能解释资本市场上发生的很多现象。投资者在市场中获取信息后并不总是立即做出反应，而是会有一个滞后的效应，这种滞后形成了非线性状态。另外，资本市场的收益率序列也并非服从正态分布，并不遵循随机游走的模式，而是呈现出尖峰厚尾的状态，也就是说序列在众数周围集中程度较高，而且大幅度偏离均值的异常值也较多，这也进一步说明了资本市场的非线性特征[1]。研究者们逐渐认识到，在大多数情况下非线性、非均衡系统才是一种更一般的存在，于是关于资本市场的非线性方法发展了起来[2]。分形理论是非线性分析方法中的一种，它改变了人们对市场特性的认识，如市场的混沌特性、市场波动的长期记忆性、收益的自相似性等，并且能有效地解释自然和经济现象中许多极其复杂多变的问题，因而尽管问世才几年，它已经成为发展非线性资本市场理论框架的有力分析工具。我国的证券市场建立不足二十年，还不是一个非常规范的市场，其有效性是广大投资者所关心的问题，本文即采用分形理论来对我国证券市场的有效性进行分析，希望能进一步加强大家对我国证券市场的理解，并能够利用分形理论减小投资风险。2.分形市场理论（FMH）研究情况2.1分形市场理论的提出分形市场理论最早由美籍法国数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）发表的“英国海岸线有多长”的论文中提出的。Mandelbrot将自然界许多类似这样的令人困惑的而且杂乱无章的现象归于分形几何的统一框架之中，从而为分析这些复杂的结构和现象带来了希望。1982年，Mandelbrot出版了专著《自然界的分形几何学》（TheFractalGeometryofNature)，标志着分形理论的初步形成，他甚至指出“fractaleverywhere”，随后分形理论及诸多分形现象引起了人们的广泛关注与研究。分形几何体是关于连续的、非均衡的混沌现象的几何体，其形状缺乏光滑性，因而也缺乏可微分性[3]。近几十年分形理论在传统科学感到困惑的地方如湍流、中医治病原理、地震预报等往往运用自如，特别是越混乱、越无规则、越复杂的领域，分形理论越能显示出它的有效性。其应用已经遍及物理、数学、化学、生物、医学、冶金、材料、计算机、哲学、经济、管理、社会等科学，甚至电影、美术、音乐等领域也有它的应用。1991年Peters提出分形市场的概念，指出分数布朗运动可以更准确的刻画金融市场波动，此后分形理论在金融领域得到广泛研究和应用。2.2分形理论的方法论在分形理论中，R/S分析法是研究分形时间序列的一种常用方法，该方法能从分形时间序列中区分出随机序列和非随机序列，辨别出一种介于随机结构和确定结构之间的统计结构——分形结构。因此R/S分析方法是探索分形结构的重要方法之一，通过Hurst指数可以判定时间序列的分形结构和状态持续性，通过平均循环长度可以估算系统初始条件信息完全丢失的时间长度[4]。2.2.1R/S（重标极差法）介绍重标极差被定义为极差于标准差的商：()nnSRF/=(2.1)其中nS为序列的标准差，级差nR为累积离差的最大值减去最小值，即：()()nixnixRninin,min,max11≤≤≤≤−=Hurst发现，对于一般的时间序列有：()HnncSR*/=（2.2）其中c为常数，n为样本观察值数目，H为Hurst指数。对等式2.2两边取对数得：()()()nHcSRnlog*log/log+=（2.3）由式2.3知，Hurst指数能够由绘制的nSR)/log(与log(n)的图形逼近，并且可通过最小二乘回归解出斜率来估计H值。时间序列的分形维D即为H值的倒数：D=H1（2.4）为了更直观的揭示现在对未来的影响程度，Mandelbrot还引入了相关性度量指标C，（-0.5C1）。C=0时，序列为随机游走序列；-0.5C0时，序列呈现出反持续性；0C1时，序列呈现出状态的持续性，并且C值越接近1，说明现在对未来的影响越大：1212−=−HC（2.5）R/S分析还能够测定序列是否有非周期性循环，并计算出平均循环长度。非周期性循环是指尽管某些事件的确具有循环的特征，但是我们却无法确定其每个循环的长度是多少，不过这样的循环存在一个平均的循环长度。平均循环长度，指的就是时间序列具有“长期记忆”特性的平均长度，即现在的信息将影响未来的平均延续时间，在这个平均循环长度之外，序列的长期记忆特性就消失了，因此我们必须以此平均循环长度之内的数据作为研究对象。Peters认为我们可以借助于V统计量来估计序列的平均循环长度：()nSRVn/=（2.6）其期望值，()()()nSRESREVnn//=（2.7）由2.7知，当R/S统计量与时间长度n的平方根同步增长时，V的散点图将是一条水平线；当R/S统计量比n的平方根增长得快时，散点图出现上升趋势，即持续性发生；当R/S统计量比n的平方根增长得慢时，散点图出现下降趋势，即凡持续性发生。因此散点图由一个趋势变为另一个趋势的拐点就是平均周期点，该点对应的时间长度就是平均循环周期。2.2.2Hurst指数为了将分形时间序列同其它时间序列区分开，Hurst构造了一个Hurst指数用来估计时间序列的分形维以及衡量序列的持久性或反持久性程度。1、Hurst指数的类型有偏随机游走实际上就是一种趋势加上噪声，噪声就是对趋势的千扰。Hurst指数是用来衡量序列数据的参差不齐程度的，其值域为[0,1]，H值越接近于1，表明系统中噪声越少，序列越光滑，趋势越清楚，具有更强的持久性。而H越接近于0，表明序列中的噪声越多，系统发生突变或是逆转的可能性越大，序列越参差不齐，趋势越模糊[5]。可将Hurst指数和相应的时间序列分为三种类型：（1）当H=0.5时（白噪声），D=1.5,C=0。对应的时间序列为随机游走，变量之间相互独立，收益率服从正态分布，现在不会影响未来，即有效市场假说中出现的状态。（2）当0≤H0.5时（粉红噪声），D1.5，C0。时间序列具有反持续性或均值回复。若一个序列在前一时期是向上运动，那么在下一时期它向下运动的概率要高于向上运动的概率，反之亦然。由于频繁的出现逆转，反持续性时间序列具有比随机序列更激烈的波动性，H值越接近0，这种突变性或易变性就越强。（3）当0.5H≤1时（黑噪声），D1.5，C0。为分数布朗运动，时间序列具有持续性，存在长期记忆特征，此时的时间序列称为分形时间序列。H越接近1，正相关关系越强，持续性也就越强。若一个序列在前一时期是向上运动，那么在下一时期它向上运动的概率要高于向下运动的概率，理论上，今天发生的事对未来总有影响。正是这种长期记忆结构，使得时间序列在时间方面显示自相似性，即在不同的时间尺度上有类似的统计特性。2、Hurst指数的作用（1）可以用Hurst指数来区分所研究的时间序列是随机序列（H=0.5），还是非随机序列（H≠0.5）。（2）在判定所研究的时间序列为非随机序列的基础上，进一步判定是持续性序列（0.5H≤1），还是反持续性序列（0≤H0.5）。（3）衡量时间序列的相关性程度，C越大，时间序列的相关程度就越大，现在对未来的影响就越大。（4）比较不同股票的风险大小或股市的有效程度。0.5H≤1时，H值越大，噪声越小，持续性越强，市场风险比较小；H值越接近0.5，市场越接近于正态分布，收益率序列越接近于随机游走，市场越接近于有效市场。2.2.3R/S分析的显著性检验为了判断时间序列的总体特征，判断Hurst指数的可信程度如何，判断时间序列与随机游走是否有显著性差异，应该对Hurst指数进行显著性检验。把高斯情形作为零假设，即H=0.5，检验统计量为：()()HVarHEHu−=（2.8）µ服从标准正态分布N（0，1）。其中，H的期望方差的计算公式由Peters给出：()NHVarn1=（2.9）N为样本中所有的观测值的数目。E(H)的计算方法则类似于H值的计算方法，即先计算()nSRE/，由于())*(/HnncESRE=，两边取对数后得出：()()()nHEcSREnlog*)(log)/log(+=（2.10）通过最小二乘回归便可计算出E(H)。而对于()nSRE/的计算，不同学者基于不同的N的取值范围给出了不同的公式，应用范围受到了一定的限制，后来，还是Peters结合了各家之长得出了一个对任何N值都适用的经验公式：∑−=−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=115.0*2**5.0)/(NrnrrNNNNSREπ（2.11）2.2.4R/S分析步骤首先，把时间序列均分为长度为n（n的初始值取为10）的A个相邻子区间，使得[N]=A*n（N除以n若出现不能整除的情况，则把余数舍去），标志每个子区间为aI，a=1,2,…,A。第二，计算每个区间的F值，记为aF，然后对所有的F值取平均，得出aFF=10。第三，改变n的取值（n=10,11,12,…,N/2），重复前两步的计算，最后得出（N/2-10+1）个F值。第四，利用2.15式计算出()nSRE/，利用2.10式和2.11式计算出V值和V（E（R/S））值。第五，绘制log(R/S)和log(E(R/S))关于log(n)的曲线图，V和V（E（R/S））关于log(n)的曲线图，结合两个图找出序列可能的平均循环长度。第六，用最小二乘法回归，计算出H值和E(H)值。还可顺带计算出D值和C值。第七，进行显著性检验。关于第一步中n的取值，这里做一下说明：一般来说，我们都是从区间长度n=10开始进行回归，因为当0N10时，E(R/S)在双对数图中不是一直线段，而是一上凸的曲线段，如果从N0就开始回归，就会导致E(H)偏大，而用于衡量R/S分析显著性的µ统计量就偏小。为了去除这种不稳定性，我们在下面的分析中都将遵循N10的法则[6]。．实证分析3.1样本数据的选取深证成指是从上市的所有股票中抽取具有市场代表性的40家上市公司的股票作为计算对象，并以流通股为权数计算得出的加权股价指数，它能够综合反映深交所上市A、B股的股价走势。为了更清晰、准确的看到数据的趋势，本文采用的是以上三种指数的日、周、月收盘指数。除了研究各个指数的整体情况外还会分阶段进行研究。1996年12月26日涨跌幅限制制度的实施是一个具有较大意义的事件，标志着我国股市向规范发展的开始，所以本文将以1996年12月26日作为第一个截点，分析该制度实施前后我国股票市场的变化；另外，2005年9月7日股改的全面启动也是一件具有重大意义和转折性的事件，从此我国股市将更为规范和健康，因而本文也将研究股改后我国股市的运行态势，把2005年9月7日作为第二个截点。表3.1各指数的样本区间与样本量指数类型样本区间样本量1991年4月3日-2007年2月12日391719