利率衍生证券定价模型的比较

利率衍生证券定价模型的比较李彪（天津大学管理学院，天津300072）摘要：本文着重于分析研究用于对利率依赖型证券进行定价的各种不同方法和不同模型，并在利率期限结构模型的数学形式基础上对各种定价程序和方法提供一个文献式综述。因而，本文可以被视为对具有显示表达式（在存在它们的情况下）的不同利率模型的参考或者对衍生工具定价和利率期限结构模型各自优缺点分析的参考。关键词：利率；利率期限结构；衍生产品；利率波动；定价1引言本文着重于分析研究用来对利率依赖型证券进行定价的各种不同方法和模型。在与本文相关的一篇论文中，Strickland（1996）检查研究了用于对利率期限结构进行建模的各种方法。本文则将Strickland（1996）的大部分研究成果作为已有结果，并将该文的研究结论扩展到对依赖于收益率曲线水平或者形状的各种利率衍生证券的研究中。写作本文的一部分动机是在利率期限结构模型的数学基础上对衍生证券的定价程序提供一个文献式综述研究。同样地，本文也可以被视为是对相关研究的更早的一篇文献综述Carverhill（1990）的扩展。就像相关的那篇论文Strickland（1996）一样，本文也可以被作为是对具有显示表达式（在存在它们的情况下）的不同利率模型的参考，或者可以被作为对不同衍生工具进行定价和对各定价模型进行各自有缺点分析的参考。本文主要是针对那些能够对折现债券期货和期权进行定价的模型进行分析的，因为在金融市场上许多利率衍生产品可以被分解成这两种衍生工具的投资组合。本文采用于相关的那篇论文Strickland（1996）中的划分方法，对研究利率期限结构的文献进行了相同的类型划分。基本上，它们可以被概括分成三种主要的方法：第一种方法的利率期限结构模型中，仅有一个单一不确定性来源在驱动着收益率曲线的演变过程，代表性论文有Vasicek（1977）、Cox,Ingersoll和Ross（1985）；第二种方法中的利率期限结构模型包括两个状态变量，代表性论文有Longstaff和Schwartz（1991）、Fong和Vasicek（1991）；昀后一种方法中的利率期限结构模型是对整个利率期限结构的动力学过程进行建模，并且以某种方式使得模型自动与初始观测到的收益率曲线相一致，这类方法的代表性论文有Ho和Lee（1986）、Black，Derman和Toy（1990）、Hull和White（1990a）、Heath,Jarrow和Morton（1992）。对上面这三种方法中的每一种，本文对模型中与状态变量相关的潜在假定进行了评论，同时，也解释了在这些假定的基础上如何对利率衍生证券进行定价。2利率衍生证券综览（Surveyofinterestratesecurities）在本节中，本文对昀重要的利率型衍生工具进行了概述。所列出的各种上市证券包括各种昀普遍的利率衍生产品以及与它们的标的工具相关的一些制度细节（institutionaldetail）。本文将货币市场（moneymarket）的债务工具和政府（government）的债务工具分开来进行处理，这两种类型工具之间的主要差别在于它们的违约风险不同，前者存在一定程度上的违约风险，而后者基本上没有违约风险。2.1政府证券债务工具（Governmentsecuritiesdebtinstrument）所谓政府证券债务工具是指由政府发行的证券，在这其中通常所隐含的假定是发行者的违约概率为零。昀基本的政府证券是政府债券，对它们的发行，在英国被称为“金边债券（Gilts）发行”，而在美国则称为“财政部发行的国债”（treasuryissues）。并且，从这些债券的价格中，可以间接地得到无风险利率。付息的政府债券（国债）可以以债券面值或者本金的c%（息票率）的形式进行支付利息，但通常所采用的是一年分两次，每次间隔六个月，每次支付c/2的形式进行支付利息，并且在到期日将利息和本金一同支付。在英国，大约有80种这样的付息债券，息票率在3%到15%之间，而到期日一直可到将来的30年后。此外，在英国也有一类指数联结证券（indexlinkedbonds），它们的息票支付是与通货膨胀的测度大小相关的。而在美国，则有三种不同类型的国债发行：美国发行的短期国债（Ustreasurybills）的到期期限一般在一年以内，而且属于仅在债券到期日发生唯一现金流的折现型工具；中期国债（Treasurynotes）和长期国债（Treasurybonds）则是每半年支付一次利息，且发行的中期国债到期期限一般在7年以内，而长期国债可以任意期限发行，不过通常的昀初到期期限都在10年以上。自从1985年2月份以来，美国财政部还发行了一种本息分离证券（STRIPS，separatetradingofregisteredinterestandprincipalofsecurities），这种证券是从所挑选出的到期期限在10年及其以上的中长期国债中衍生出来的。在美联储的账册上，这些标的中长期国债的本金和息票支付部分被分开来分别记账，由此得到的零息证券可以分割开来被投资者拥有，并且直到到期日才支付利息。期货和期权都是在政府债券的基础上进行交易的。伦敦国际金融期货交易所（LIFFE）的长期金边债券期货合约（longgiltfuturescontract）是英国昀为流行的政府债券衍生产品合约（可参见Strickland（1992）中的有关这种合约的交易细节和实证分析），该种合约是一种在预先设定的日期进行买卖到期期限为20年，名义息票率为9%的债券的权利。这种长期金边债券期货合约的期权是采用与标的合约相同的方式来进行盯住市场，逐日结算的（marked-to-market）。期权也可以针对具体的金边债券进行交易，且这些债券都是从不同到期期限的具有代表性的金边债券种进行选择得到的。2.2货币市场工具在这一类别的债务工具中，主要包括那些不是由政府发行，因而也不能被认为无风险的债券。昀基本的货币市场工具是伦敦银行同业拆解利率（LIBOR,theLondonInterbankofferrate），这是一种在欧洲货币市场银行之间由存款交易确定的浮动参考利率。在任何一个时刻，都可以得到1个月、3个月、6个月和1年期限的LIBOR参考利率。这些利率指得是在即期市场进行借贷以及其后进行利息支付的利率。远期利率协议（forwardrateagreement,FRA）是投资双方之间的一种协定，用来保证在未来某个时刻开始的一段时间内的对名义金额的借贷利率。该合约唯一的现金流发生在合约到期时，且为名义金额的利息支付差额。这些协议的标的参考利率通常都是基于某种LIBOR利率的。基于3个月LIBOR利率的互换交易的期货合约在英国被称为“短期英国货币（shortsterling）”期货，而在美国则被称为“欧洲美元”期货。同时，也可以以这些期货合约为标的工具进行期权交易。上限利率协议（caprateagreement）是昀为流行的利率衍生工具之一，这些协议通常是由投资双方私下之间通过柜台市场（场外市场）（OTC,over-the-counter）进行交易，而不是通过交易所进行的。利率上限协定涉及到了对浮动贷款利率的利率变动进行约束，这个上限保证了贷款利率永远不会超过某个水平，因而所要偿付的利率将是市场利率（theprevailingrate）和上限利率（thecaprate）的较小者。上限利率通常是在3个月、6个月和1年的英国LIBOR利率的基础上协商确定的。例如，现考虑一个投资者，他有一项根据6个月LIBOR利率确定的金额为100百万英镑的浮动利率贷款。该投资者从一个金融机构买入了一个五年期利率上限协议，该协议就把他在将来五年内所要支付的利率上限限定在12%的利率水平上。原始贷款（originalloan）的条款规定每6个月该投资者所要支付的利率被设定为与在该期期初的市场上的6个月LIBOR利率相等，其中，6个月的顺延（6monthsinarrears）是指在6个月的期末。这个上限利率协议保证了如果任何时候6个月的LIBOR利率超过了投资者所要支付的12%的利率水平，则其差额就有该协议的背书者（thewriterofthecap）来承担。由背书者（thewriter）所承担的支付也是在6个月的顺延期内进行的。因而，采用这种方式投资者永远不会对他的浮动利率贷款支付超过12%的利息。利率下限协议（Interestratefloors）和利率领式协议（Interestratecollars）可以采用与利率上限协议（caps）相类似的方式进行定义。利率下限协议（Interestratefloors）对投资者所要支付的利率设定了一个下限。如果市场利率低于这个下限，则借款者是以下限利率进行融资的。而利率领式协议则对投资者所要支付的利率同时设定了上限和下限。利率互换（Interestrateswaps）是两个公司之间签订的私下协定，用以保证对某项名义金额的利息现金流按照预先商定好的规则进行互换。昀简单的一类利率互换是对固定利息支付（比如说，每半年一次）与浮动利息支付（比如说，3个月或者6个月的LIBOR利率）。利率互换是按照期限在2年到10年之间的银行大屏幕报价（banker’sscreens）来进行报价的。利率互换的报价利率是固定利息支付可以用相同时期的浮动利息支付LIBOR来进行互换的利率。在证券市场上，利率互换的期权也越来越广为流行，并将这些衍生工具称之为互换选择权或者掉期期权（swaptions），该类期权赋予持有者要求在未来的某个时刻进行某项利率互换的权利，却并不要求期权持有者承担任何义务。3利率衍生工具的纯折现债券衍生证券投资组合的分解在本节中，本文将要说明许多复杂的利率衍生工具如何被视为纯折线债券期货和期权合约的投资组合来进行定价和风险对冲。这也就使得我们在以后的部分中将注意力更多地放在那些能够对这些问题提供答案的模型上，因为它们甚或能使我们对复杂的利率衍生工具进行定价。3.1付息债券的欧式期权定价当模型中仅存在一个不确定性因子时，可以推导得到折现债券价格之间的解析关系。Jamshidian（1989）提出了一种对付息债券期权进行定价的方法，这种方法是将对付息债券期权定价的问题视为对折现债券期权的投资组合进行定价。现在考虑一个付息债券的欧式看涨期权，其执行价格（exerciseprice）为X，到期时间为T。令当利率水平为r时，s时刻到期，在时刻is（isT，且1,2,...,in=）支付利息ic的折现债券在时刻T的价格为(,,,,)iiBrTscs。如果(,,,,)iiBrTscsX也即式（1）成立，则投资者执行期权。1(,,)niiicPrTsX=∑（1）债券价格是短期利率r的减函数。令*r可使得下面的式（2）成立，即*1(,,)niiicPrTsX==∑（2）如果在时刻T，*rr，则1(,,)niiicPrTsX=∑；反之，如果*rr，则1(,,)niiicPrTsX=∑。可令*(,,)iiXPrTs=，那么在时刻T的期权支付为式（3a）：1max0,(,,)niiicPrTsX=⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∑（3a）或者为式（3b）：1max[0,(,,)]niiiicPrTsX=−∑（3b）式（3a）和式（3b）的结果就意味着付息债券的期权是与具有合适执行价格的各折现债券期权的投资组合相等价的。不过通常而言，期权的投资组合是叫投资组合的期权更为复杂，但在这里它们二者由于都依赖于（*rr−）的符号具有相同的支付而使得这个问题变得简单。3.2作为纯折现债券期权的利率上限协议（caps）、利率下限协议（floors）和利率上下限（collar）协议一项利率上限协议在一段给定期间上将借款者的浮动利率限定在某个固定水平上，也即上限利率。本文接下来将具体说明利率上限协议可以被解释为一系列的零息票债券的看跌期权，因而也就可以采用这种方式来对其进行定价。类似地，利率下限协议也就可以通过对折现债券看涨期权投资组合的溢价进行加和来估价。利率上下限协议则可以通过对由折现债