具有习惯形成的随机内生经济增长模型

具有习惯形成的随机内生经济增长模型谭玉顺南京财经大学应用数学系，江苏南京（210046）E-mail：[e-mail]摘要：本文在Merton模型的基础上，将习惯形成纳入消费者的效用函数，即消费者的效用不仅与当前的消费有关，而且还依赖于消费者过去的消费水平。通过建立连续时间的随机内生增长模型，利用随机最优化方法，分析了习惯形成对最优消费路径及最优投资组合的影响。关键词：习惯形成，最优增长路径，随机内生增长中图分类号：F2241.引言Merton于1970年运用内生经济增长理论，建立了消费与证券组合选择的内生增长模型，得到了昀优的消费水平的显示路径，以及消费者投资于风险资产的昀优比例。但是该模型的一个明显的缺点是仅仅把当前的消费水平作为衡量效用的唯一标准。而事实上，消费者的效用不仅仅依赖于当前的消费，还依赖于消费者过去的消费水平,这就是所谓的习惯形成对消费者的影响。习惯形成的研究在20世纪80年代就引起了西方许多经济学者兴趣。Sundaresan和Constantinides（1990）研究了基于习惯形成(habitformation)的资本资产定价模型[]12−，Able(1990)则构造了一个基于习惯形成和追赶时髦(catchingupwiththeJoneses)的效用函数，并研究了Lucas树经济中资产的价格；ChristopherD.Carroll(2000)的一篇关于在习惯形成存在模型，研究了经济的高速增长将会导致不断增长的储蓄率；JooRicardoFaria（2001）在SidtauskiModel的基础上分析了习惯形成对货币总需求的影响。这些文章对于研究经济增长都具有很大意义，但是这些文章都没有涉及到消费者在收入不确定的条件下，习惯形成对消费水平的昀优路径的影响，以及在习惯存在的情况下经济增长与收入波动的关系。本文是在Merton的消费和证券组合的模型的框架下，利用随机内生增长模型讨论消费者的昀优消费路径的变化情况以及收入波动与经济增长的关系。[3][4]a%[5]2.模型Merton于1970的消费和证券组合选择模型，假设消费者的财富为W，他可以投资在风险资产和无风险资产上，假设无风险资产的回报率为[6]BdRsdt=（1）风险资产的回报率为dzadtdRσ+=（2）其中为布朗运动的增量，与dzzaσ为正常数。假设消费者的总财富W可以用来投资在风险资产与无风险资产上，并且投资在风险资产上的份额为，则投资在无风险资产上的份额为1ww−，这样消费者投资在风险资产上与-1-(1)wW−，假设消费者的消费水平为c。则消费者的预算约束为dzwWdtcaσ+−+−=])1([,即()()dWaswsWcdtwWdσ=−+++⎡⎤⎣⎦（3）假设在时间t时刻的效用函数为1(,)(()())Ucxctxtγγ−=−(4)从方程（4）可以看出，消费者的效用不但依赖于当前的消费ct，而且还依赖于习惯()()xt。假定关于变量与(,)Ucx()ct()xt是2次连续可微的，还假定（更高的当前的消费水平导致更高的效用水平），0cU0xU（增加过去的消费而不改变现在的消费，将减少当前的效用水平）。其中方程（4）中的()xt为()0()()ttsxtecsρρ−−=∫ds(5)该习惯积累方程在1992年Ingersoll用到过，[7]ρ代表过去消费的相对权重，ρ越大，决定()xt过去消费的权重越小。很显然()xt并不是完全外生的，它依赖于过去的消费水平，其动态变化方程为2()0()/()()ttsdxtdtctecsdsρρρ−−=−∫,即()xcxρ•=−(6)从方程(6)可以看到，()xt为局部非随机的，这是因为习惯对消费者在过去消费信息的处理，不可能随机的。此时消费者的问题就是在方程（3）与（6）的预算约束下，选择投资在两种资产上面上的份额、消费水平和财富的积累路径来极大化他的期望效用，即()10,00()()(),(0)maxrtcwEcxedtxdWaswsWcdtwWdcxWWγγσρ∞−−•⎧−⎪⎪⎪==−+++⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎪⎪−=⎩∫（7）为了求得该问题的解，引入值函数1,(,,)max[(()())]rscwtVWxtEecsxsdsγγ−−=−(8)命题1对应于上面问题的昀优条件为(9)1/(1)()(WcxJJγρ−−=−)x-2-[][22221()()2σσ⎤−++−+−++=⎦00W=(10)(11)22()WWasWJwWJσ−+证明：考虑到，因此，昀优化问题等价于极大化下面的Bellman方程(,,)((),())rtVWxteJWtxt−=(){1,2220max()()()1[()]()2cwxcxVWaswsWcJcxwWVWrJγγρσ−′=−+−+−⎡⎤⎣⎦⎫′′+−+−⎬⎭(12)对该Bellman方程分别对消费c，财富W，以及风险资产的份额求导立即可以得到昀优性条件(9)、(10)、(11)。a方程(9)体现了习惯形成对消费——资产组合投资选择的影响，在基于消费的模型中，消费的边际效用等于财富的边际效用，但在本模型中，消费的边际效用等于财富的边际效用减去ρ倍的()xt的边际效用，说明习惯对消费过程有重要的作用。命题2上面问题的显示解，即昀优的消费路径和投资于风险资产的昀优份额为()()()xtcxtuWts∗⎡⎤=+−⎢⎣⎦⎥（13）21(1)asxwsWγσ∗−⎡⎤=−⎢−⎣⎦⎥（14）证明：由方程（9）得1/(1)()WxcxJJγρ−=+−(15)由方程(11)得2()()σ−=−(16)将与代入Bellman方程得到cw22/(1)21()[]()2WWxγγγργσ−−−−−+−−0=(17)由于效用函数中与cx为线性关系，从而可猜测值函数为下面的形式01(,)()JWxkWkxγ=+(18)将值函数代入(17)得21/(1)1/(1)10211()(()12assWxkkrWkxγγγγγγγσ−−−−)0γ−−−+−−+=(19)令,得0W=-3-(1)1/(1)10211(()12askkrkγγγγγγγσ−−−−)0γ−−+−−=(20)令,得0x=21/(1)1/(1)1021(()12askksrγγγγγγγσ−−−−−−+−)0γ−=s(21)由方(20)、(21)可解得11/k=−(22)10()suksγργ−=+(23)其中22()0()(1)2(1)sasurssγγργσγ⎡⎤−=−−⎢+−−⎣⎦⎥,昀后利用(15)、(16)式得到(13)、(14)。可以看出，不考虑习惯形成的Merton模型相比，本模型中消费者在投资在风险资产上的份额更小。直观上，投资者关心他的消费历史时，他将购买风险资产主要是来对冲未来消费的不确定性。下面考虑的动态变化情况，由于在均衡时，ccconstx=，对方程(13)中的项()()xtWts−求导得()()()()xtcxdWtaswsWcdtwdzssρσ∗∗∗⎧⎫−⎡⎤⎡⎤−=−+−−+⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭∗（24）由此得到下面的命题命题3均衡时的经济增长率为()(1)(1)dcxxndtmcccdzρσ=+−+−(25)证明：将(13)、(14)代入（24）得到(()()xtxdWtWndtmdzssσ⎡⎤⎛⎞−=−+⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠)(26)其中222()(212(1)sasn)ργγγσ−−−=+−−(27)利用方程(6)、(13)得到()(1)(1)dcxxndtmcccdzρσ=+−+−.推论1经济增长率的平均值()(1dcxEncc)ψρ==+−(28)-4-由方程(28)可以看出当消费者关心消费习惯时，将会使期望经济增长放慢，但由(1)xmdzcσ−知由于消费习惯的影响，消费路径将变的更加光滑、平稳。推论2增长率与收入波动关系为22()(2(1)2(1)dxasdc24)ψγσγσ−−=−−−（29）当2γ时，20ddψσ；当2γ时，20ddψσ。因此当消费间跨时替代弹性较小时，收入波动越大，经济增长率越低；当消费间跨时替代弹性较大时，收入波动越大，经济增长率越大。但是由于习惯形成的存在，将会降低收入的不确定性对经济增长率的影响。3.结论本文在Merton模型（1970）的基础上，将习惯形成纳入消费者的效用函数，建立消费与证券组合选择的增长模型，利用随机昀优化方法，分析了习惯形成对昀优消费路径及昀优投资组合的影响。一般情况下，消费者关心消费习惯时，消费者在投资在风险资产上的份额将会更小，这样将降低期望经济增长率，但是此时的消费路径将变的更加光滑、平稳；当消费间跨时替代弹性较小时，收入波动越大，经济增长率越低；当消费间跨时替代弹性较大时，收入波动越大，经济增长率越大；同时由于习惯形成的存在，将会降低收入的冲击对经济增长率的影响。该模型对传统的效用函数模型更全面，更符合实际，能更好的执导决策者的消费与投资，因此具有一定的实用价值。参考文献[1]Constantinide.GM,Habitformation:aresolutionoftheequitypremiumpuzzle,JournalofPoliticalEconomy[J],1990，98：519-543[2]SundaresanSM.，Intertemporallydependentpreferencesandthevolatilityofconsumptionandwealth,ReviewofFinancialStudies[J],1989，2（1）：73-89[3]AbelA.,AssetpricesunderhabitformationandcatchingupwithJoneses,AmericanEconomicReview[J],1990，80：38-42[4]ChristopherD.carroll，JodyOverland，andDavidN.Weil，Savingandgrowthwithhabitformation，TheAmericanEconomicReview[J],2000，90：341—355[5]JooRicardoFaria,Habitformationinamonetarygrowthmodel，EconomicsLetters，2001，73：51—55a%[6]MetonR.COptimalconsumptionandportfoliorulesinacontinuoustimemodel,JournalofEconomicTheory[J]1971，3(4)：373-413[7]Ingersoll.J,Optimalconsumptionandportfolioruleswithintertemporallydependentutilityofconsumption,JournalofEconomicDynamicesandcontrol.1992，16：681-712[8]龚六堂，动态经济学方法[M]，北京大学出版社，2001-5-(Dept.ofAppliedMathematics,NanjingUniv.ofFinance&Economy,Nanjing,210046)AbstractThispaperconstructedanutilityfunctionsubjecttohabitformationin