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即期利率、远期利率和平价利率王玉婷本章主要内容•介绍即期利率、远期利率和平价利率的定义•即期利率、远期利率和平价利率与贴现因子之间的关系•即期利率、远期利率和平价利率之间的关系2本章采用案例•全球互换市场16章重要结论•互换市场隐含的利率可以合理地按照以下方法导出：将互换的固定支付部分看作是附息债券，将浮动部分看作价值为面值的浮动利率债券。32.1单利和复利第一章我们学习了用价格和现金流完整的描述一项投资：a.今天成本为101.980的债券，在6个月之后支付103；b.1亿美元1.5年期的远期贷款，6个月后开始，会在两年后支付103797070美元。4但是在现实生活中，投资者和交易员往往喜欢以利率的形式进行报价和思考，以上两种交易一般表达为：a.今天成本为101.980的债券，年利率为2%b.1亿美元1.5年期的远期贷款，6个月后开始，年利率为2.5%。用利率描述的好处：1.将投资收益标准化2.将投资期限标准化5第一种计息惯例：单利计息利息=本金×年度报价利率×投资年数本章采用半年期的计息方式a.今天成本为101.980的债券，年利率为2%，投资6个月投资6个月的债券价格=101.98+101.98×2%2=101.98×1+2%2≈1036第二种计息惯例：半年复利b.1亿美元1.5年期的远期贷款，6个月后开始，年利率为2.5%第一个6个月单利收益：100000000×1+2.5%2=101250000将上式总金额在随后的6个月中再投资：101250000×1+2.5%2=100000000×1+2.5%22=1025156257【注意】本金如果进行单利计息，那么投资一年的收益为100000000×1+2.5%=102500000。与一年复利计息的差额为15625，这正好就是利息的利息。具体地说就是1250000×2.5%2=15625。在第三个半年后，总收益为：102515625×1+2.5%2=100000000×1+2.5%23=1037970708投资面值为F，半年付利一次，复利利率为𝒓，债券在T年年末的价值为：𝑭×𝟏+𝒓𝟐𝟐𝑻本节所讨论的框架都是基于半年复利一次的传统，因为常见的附息债券和利率互换固定利率都是半年支付一次。9第三种计息惯例：连续复利（附录2A）半年复利假设一年付息两次，而且说明了以利率𝑟𝑠𝑎投资的一单位货币T年后收益为1+𝑟𝑠𝑎22𝑇类似的，以年利率𝑟𝑎、月利率𝑟𝑚、日利率𝑟𝑑分别投资T年后收益为1+𝑟𝑎𝑇、1+𝑟𝑚1212𝑇、1+𝑟𝑑365365𝑇10更一般的，如果利率为𝑟，利息每年支付n次，T年后的收益将为：1+𝑟𝑛𝑛𝑇在连续复利的情况下，利息是每一瞬间都支付的，使得终值1+𝑟𝑛𝑛𝑇等于n趋近于无穷大时的极限。因此，假如每瞬间以利率r支付，投资一单位货币T年后的收益为𝐥𝐢𝐦𝐧→∞𝟏+𝐫𝐧𝐧𝐓=𝐞𝐫𝐓等价的，T年后收到的一单位货币的价值为𝐞−𝐫𝐓。112.2由利率互换提取贴现因子互换是两个或两个以上当事人按照商定条件，在约定的时间内，交换一系列现金流的金融交易，它是一种金融衍生工具。可以分为利率互换、货币互换、股权互换、信用互换等。12利率互换是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样的名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算，而另一方的现金流根据固定利率计算。双方进行利率互换的主要原因是双方在固定利率和浮动利率市场上具有比较优势。13【例题】假定A、B公司都想借入5年期的1000万美元的借款，A想借入与6个月期相关的浮动利率借款，B想借入固定利率借款。但两家公司信用等级不同，故市场向他们提供的利率也不同，如下表。请问A和B进行互换的条件是否存在？固定利率浮动利率A公司10.00%6个月期LIBOR+0.30%B公司11.20%6个月期LIBOR+1.00%142010年5月28日，双方协议签订下列条款的利率互换：在接下来的第2个工作日当天，即2010年6月2日，A方同意向B方支付固定利率1.235%、名义金额为1美元，两年后到期，同时B方同意对同样数额的名义本金按3月期LIBOR支付A方现金流，如图2-1.15在这个例子中，交易的一亿美元是互换的名义本金，而不是面值或本金金额，因为它只是用来计算固定利率和浮动利率的支付金额：交易双方都没有支付或者收取这一亿美元。A方支付固定利息并接收浮动利息，固定支付为1.235%2×100000000=617500美元。B方接收固定利息并支付浮动利息，按季度支付浮动利息。16关于这个假设性的支付有三点需要指出：1、由于它们相互抵消，虚构的支付对互换的价值没有影响；2、在固定利率上添加虚构的名义金额使互换看上去像一个附息债券，即一个半年付息、固定利率、到期偿还本金的证券；3、在浮动利率上添加虚构的名义金额使浮动现金流看上去像一个浮动利率债券，即一个半年付息、浮动利率、到期偿还本金的债券。17第16章介绍了浮动利率互换的估值方法，浮动利率现金流加上面值的现值等于其面值，在本例中为到期日的1亿美元。18那么如何在利率互换中导出贴现因子呢？表2-1中显示了2010年5月28日一些短期美元利率互换的数据。第二列给出了互换市场交易的报价和观察到的利率。这表明，交易双方都愿意以固定利率0.875%交换3个月期LIBOR一年，以固定利率1.043%交换3个月LIBOR1.5年等等。19对每一个“债券”写一个等式：现金流的现值等于面值，即100+0.7052𝑑0.5=1000.8752d0.5+100+0.8752𝑑1=100表2-1的第四列和第五列关于即期和远期利率的推导以及这些利率之间的关系，是接下来讨论的重点。202.3即期利率、远期利率和平价利率的定义2.3.1即期利率即期利率是即期贷款的利率。即期贷款是贷款人在签订协议当时立即提供资金给借款人并规定未来某个确定的偿还日期的协议。将半年复利的t年即期利率定义为𝑟𝑡。则根据半年复利公式，现在投资一单位的货币t年将产生收益：1+𝑟𝑡22𝑡（2-8）21将即期利率和贴现因子结合在一起，注意假如1美元t年后增长到式（2-8）中的数量，那么这个数值的现值为1美元。结合贴现因子计算这个数值的现值：1+𝑟𝑡22𝑡d𝑡=1解出d𝑡：d𝑡=11+𝑟𝑡22𝑡（2-10）22表2-1给出了2010年5月28日的美元互换曲线的贴现因子。从该表中提取2年期的贴现因子0.975616带入上式中，求得2年期半年复利一次的即期利率为d2=11+𝑟222×2=0.975616解得𝑟2=1.238%。根据式（2-8），这个利率意味着100美元的投资2年后增长到：100美元×1+1.238%22×2=102.499美元232.3.2远期利率远期利率是远期贷款的利率。远期贷款是一项约定在未来某一时刻借款并在之后还款的协议。本节关注的重点是6个月期的一系列远期利率。设函数f(t)为t-0.5年的贷款在t年后归还的远期利率。从t-0.5年投资一单位的货币，6个月后，即第t年产生地收益为：𝟏+𝒇𝒕𝟐24接下来，将远期利率和即期利率结合在一起【注意】无套利原则期限（𝐭−𝟎.𝟓）年的即期贷款+（𝐭−𝟎.𝟓）到𝐭年的远期贷款=相同投资区间𝐭年的即期贷款1+𝑟𝑡22𝑡=1+𝑟𝑡−0.522𝑡−0.51+𝑓𝑡2=1+𝑟𝑡−0.522𝑡−11+𝑓𝑡225这一逻辑可以进一步扩展，把t期即期利率写成所有直到f(t)的远期利率函数：1+𝑟𝑡22𝑡=1+𝑓0.521+𝑓12⋯1+𝑓𝑡2最后，以贴现因子形式表示远期利率，将等式（2-10）替代（2-14）中的即期利率𝟏+𝒇𝒕𝟐=𝒅𝒕−𝟎.𝟓𝒅𝒕26根据表2-1美元互换的数据，利用表中2年和2.5年的即期利率或贴现因子，以及公式（2-14）或公式（2-16），推导出f(2.5)=2.301%。这值意味着2年后100美元的投资，2.5年后将值100美元×1+2.301%2=101.151美元【注意】如果即期利率期限结构是平的，那么所有即期利率是相同的，即所有的t都有𝑟𝑡=𝑟。根据公式（2-14），每个远期利率必须等于相同的𝑟而且远期利率的期限结构也是平的。27补充：连续复利的即期利率和远期利率（附录2B）记𝑟𝑐𝑡为0时刻到t时刻连续复利即期利率，记𝑓𝑐𝑡为t时刻连续复利远期利率，记𝑓𝑐𝑡−∆𝑡为从t−∆t时刻到t时刻的连续复利远期利率，当∆t→0时，𝑓𝑐𝑡−∆𝑡→𝑓𝑡。根据前面的讨论，连续复利即期利率被定义为：𝐝𝒕=𝒆−𝒓𝒄𝒕𝒕连续复利远期利率类似前面的推导：e𝑟𝑐𝑡−∆𝑡−∆𝑒𝑓𝑐𝑡−∆，𝑡∆=𝒆𝒓𝒄𝒕𝒕28将（2-37）中的两个即期利率带入上式并移项得：𝑒𝑓𝑐𝑡−∆，𝑡∆=𝑑𝑡−∆𝑑𝑡两边取ln并移项，两边同取极限，得：𝒇𝒄𝒕=−𝒅′𝒕𝒅𝒕292.3.3平价利率考虑面值或名义本金为100的半年付息的固定利率资产，或固定利息支付为100×𝑐2，最后在T年的支付为100。这个T年期的债券，半年付息的平价票面利率是C(T)，满足该资产的现值等于面值，即100。根据本章前面对互换利率的定义，互换利率也就是平价利率。30在表2-1中，假设2年期互换利率（平价利率）为c，根据前面提到的未来现金流的现值等于面值，我们可以得到等式：𝑐2𝑑0.5+𝑑1+𝑑1.5+𝑑2+100𝑑2=100将贴现因子代入可以得到c=1.235%那么平价利率与贴现因子的关系式可由刚才的例子推导出来：31一般来说，一个半年支付一次利息，T年后到期的一单位价值的资产：𝑪𝒕𝟐𝒅𝒕𝟐𝟐𝑻𝒕=𝟏+𝒅𝑻=𝟏其中，求和的部分被称为年金因子，即在每一个付息日收到的一单位货币直到到期时间T年的价值，记为A(T)。那么对于每半年支付一次现金流：A𝑇=𝑑𝑡22𝑇𝑡=1将年金因子代入（2-19）可得平价票面利率的等式为：𝑪𝒕𝟐𝑨(𝑻)+𝒅𝑻=𝟏32【注意】假如即期或远期期限结构在某个水平上是平的，则平价利率期限结构也是平的，并且等于这个水平。（附录2C）在本小节结束之前，我们需要注意一点：价值为面值的债券或者互换的固定利率现金流的价值等于面值的互换，只在瞬间满足价值等于面值。随着贴现因子或者利率的变化，这些债券或互换的现值也会随之改变。332.3.4概要：用半年复利一次名义即期利率、远期利率和平价利率报价本节使用贴现因子、年金因子和三种利率来给单位票面金额的固定利率资产进行报价，以此来说明他们之间的关系。资产价格为P，票面利率c，半年付息一次直到T年并最后归还票面金额。1、使用贴现因子和年金因子𝐏=𝒄𝟐𝑨𝑻+𝒅𝒕342、使用即期利率𝐏=𝒄𝟐𝟏𝟏+𝒓𝟎.𝟓𝟐+𝟏𝟏+𝒓𝟏𝟐𝟐+⋯+𝟏𝟏+𝒓𝑻𝟐𝟐𝑻+𝟏𝟏+𝒓𝑻𝟐𝟐𝑻353、使用远期利率𝐏=𝒄𝟐𝟏𝟏+𝒇𝟎.𝟓𝟐+𝟏𝟏+𝒇𝟎.𝟓𝟐𝟏+𝒇𝟏𝟐+⋯+𝟏𝟏+𝒇𝟎.𝟓𝟐𝟏+𝒇𝟏𝟐⋯𝟏+𝒇𝑻𝟐+𝟏𝟏+𝒇𝟎.𝟓𝟐𝟏+𝒇𝟏𝟐⋯𝟏+𝒇𝑻𝟐364、使用平价利率C(T)由式（2-21）以及式（2-22）得到：𝐏=𝟏+𝒄−𝑪𝑻𝟐𝑨(𝑻)372.4即期利率、远期利率和平价利率的特征特点一：每一个即期利率几乎等于期限内远期利率的平均值。以2.5年的即期利率为例：1.450%≈0.705%+1.046%+1.384%+1.820%+2.301%538在数学上，2.5年期的即期贷款的收益和这五个远期贷款所得款项的收益是相等的：1+𝑟2.525=1+𝑓0.521+𝑓121+𝑓1.521+𝑓221+𝑓2.5239特点二：当远期利率高于即期利率时，即期利率随着期限的增加而增