9机械波g

波动是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械波。声波、水波9.1机械波的产生和传播9.2平面简谐波的波动方程9.3波的能量9.4波的衍射干涉9.5驻波9.6多普勒效应9.7电磁波*9.8非线性波简介9-1机械波的产生和传播一、机械波的形成1、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的介质纵波和横波横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。0t4/Tt2/Tt43/TtTt45/Tt结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。波场--波传播到的空间。波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态传到的波面。波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。简谐波:波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面二、描述波动的几个物理量振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速，也称之相速。1、波速uGu在固体媒质中纵波波速为//YuG、E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为介质的密度在固体媒质中横波波速为在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些TuT为弦中张力，为弦的线密度在弦中传播的横波波速为:在液体和气体只能传播纵波，其波速为：Bu//B为介质的容变弹性模量为密度理想气体纵波声速:molMRTpu为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量，T为热力学温度，R为气体的普适常数，为气体的密度3、波长2、波的周期和频率12TuuT波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用表示。同一波线上相邻的位相差为2的两质点的距离。介质决定波源决定一、平面简谐波的波动方程平面简谐波简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）9-2平面简谐波的波动方程一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，x轴即为某一波线设原点振动表达式：)cos(0tAyxypuOxy表示该处质点偏离平衡位置的位移x为p点在x轴的坐标p点的振动方程：)(cosuxtAyt时刻p处质点的振动状态重复uxt时刻O处质点的振动状态xypuOxO点振动状态传到p点需用uxt沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程ux沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为p点的振动落后与原点振动的时间])(2cos[xTtAy])22cos[xtAy])(2cos[xutAy])(cos[xutkA2k波矢，表示在2长度内所具有的完整波的数目。沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程)(cosuxtAy二、波动方程的物理意义])([cosuxtAy1、如果给定x，即x=x0yOtTTx0处质点的振动初相为02x02x为x0处质点落后于原点的位相为x0处质点的振动方程则y=y(t))2(cos)(0xtAty若x0=则x0处质点落后于原点的位相为2是波在空间上的周期性的标志2、如果给定t，即t=t0则y=y(x)221212xxx])([cos0uxtAy表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布,即给定了t0时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差XYOux1x221212Tt)tt(同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的周期性的标志3.如x,t均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形])([cos)(uxtAxyxyuOxtttx])([cos),(utuxttAttxxyt时刻的波形方程t+t时刻的波形方程])([cos)(uxttAxyt时刻,x处的某个振动状态经过t，传播了x的距离])([cosuxtA)t,x(y)tt,xx(y在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x行波)t,x(y)tt,xx(yxyuOxtttx例9-1一平面谐波，波动方程为y＝0.03cos(4πt－0.05x)m，t的单位是s，试问该列波向哪个方向传播？其波长、频率、振幅、传播速度各为多少？(画出t=0.25s时刻的波形图)cos[()]0.03cos[4()]()80xxyAttmu解因为x前为“－”，所以此波向x轴正方向传播0.03Am振幅：42()22Hz频率：180251.2()ums波速：251.2125.6()2um波长：•例一平面余弦波在T=3/4T时波形图如下，•（1）画出T=0时波形图；•（2）求O点振动方程；•（3）求波动方程。解：（1）T=0时波形图即把时波形自-X方向平移3/4T个周期即可，见上图中下面的结果。（2）设O处质点振动方程为可知：T=0时，O处质点由平衡位置向下振动，由旋转矢量图知初相位（3）一、波的能量和能量密度波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波])([cosuxtAy质量为在x处取一体积元dVdVdm质点的振动速度])([sinuxtAty9-3波的能量体积元内媒质质点动能为dmdEk221dVuxtA])([sin21222体积元内媒质质点的弹性势能为dVuxtAdEp])([sin21222体积元内媒质质点的总能量为：pkdEdEdEdVuxtA])([sin2221）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。说明2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。能量密度单位体积介质中所具有的波的能量。])([sin222uxtAdVdEw平均能量密度一个周期内能量密度的平均值。2221AwdtuxtATwdtTwTT])([sin1122020T2sin02ddVuxtAdE])([sin222能流:单位时间内通过介质中某一截面的能量。二、波的能流和能流密度Swup平均能流：在一个周期内能流的平均值。SuwSwup能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。uwSpIuAI22212米单位：瓦uuS在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等,2211TSITSISSS21TSAuTSAu22221212212121AA所以,平面波振幅相等。2224rS2211rArA;4211rS所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为A/r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：])([cosurtrAyTSAuTSAu222212122121在均匀不吸收能量的媒质中传播的球面波的振幅与离波源的距离成反比。三、波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为dx的介质IdxdIxeII0是介质的吸收系数波强的衰减规律：处波的强度和分别是、xxxII009-4波的衍射、干涉一、惠更斯原理波的衍射惠更斯原理：介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后任一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。平面波t+t时刻波面····ut波传播方向t时刻波面球面波··············tt+tt时刻波面t+t时刻波面波的传播方向如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?(若广播台、电视台都在山前侧)二、波的叠加原理波的干涉各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的独立性原理或波的叠加原理：说明：振动的叠加仅发生在单一质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。相干条件具有恒定的相位差振动方向相同两波源具有相同的频率满足相干条件的波源称为相干波源。波的干涉传播到p点引起的振动分别为：)cos(11010tAy)cos(22020tAy在p点的振动为同方向同频率振动的合成。设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇。合成振动为：)cos(21tAyyy)2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAycos22122212AAAAA其中：2112)(2rr)cos(tAy对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,...3,2,1,0222112kkrr21maxAAAA||21minAAAA相长干涉的条件：相消干涉的条件：cos22122212AAAAA,...3,2,1,0)12(22112kkrr当两相干波源为同相波源时，相干条件写为,...3,2,1,0,12kkrr,...3,2,1,0,2)12(12kkrr相长干涉相消干涉称为波程差例9-3位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，取A点的振动方程:1cos()AyAt在X轴上A点发出的行波方程：12cos()AxyAtB点的振动方程:2cos()ByAtBAXxm30x30O12cos()AxyAtB点的振动方程:2cos()ByAt在X轴上B点发出的行波方程：22(30)cos[]BxyAt因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：)()(123022kxx,...2,1,0kBAXxm30x30O相干相消的点需满足：kx230mu4因为：,...2,1,0215kkxmx29,27,25,......9,7,5,3,1)12()30(22kxx,...2,1,0kBAXxm30x30O9-5驻波二、驻波的波动方程)(2cos1xtAy)(2cos2xtAytxAyyy2cos2cos221xAxA2cos2)(一、驻波的形成：驻波是两列振幅、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。)x,t(y)tux,tt(y函数不满足它不是行波它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。12cosxxAxA2cos2)(振幅最大，波腹AxA2)(kx2