南开大学计量经济学

第二章:一元线性回归模型§2.1模型的假定§2.2参数的最小二乘估计§2.3最小二乘估计量的性质§2.4系数的显著性检验§2.5预测误差和预测区间§2.1模型的假定1,2tttYXutntttYXu被解释变量解释变量随机扰动项§2.1模型的假定220000,tttstttttEuVaruEuutsXXEXuuN（1）（2）（3）即不相关（4）是确定性量，即不是随机变量，有（5）varvartttttEYXXYu上述假设下：无论收入变化多少，消费变动的幅度保持不变。§2.2参数的最小二乘估计22,,,ttttttttttttttttYXXXYXXYXXeYXuYXQeYX假设估计直线：为参数估计当残差：误差：残差平方和：§2.2参数的最小二乘估计22()():0,0:2020ttttttttOLSordinaryleastsquaresQQQYXYXXYXXYnXYXnX最小二乘法求出参数估计量使达到最小值.正规方程:即§2.2参数的最小二乘估计222222:XXttYYttXYttttXXXYXYXXSXXXnXSYYYnYSXXYYXYnXYSSSS定义则式变为:YX§2.2参数的最小二乘估计2:ˆtttXXYYbXXaYbXYabX最小二乘估计:估计的回归方程§2.2参数的最小二乘估计t12345678910X19202224293137404042Y18192021242830333736例2-1230.426.699561030.4714.4565.60.791726.60.791730.42.532ˆˆ:,,,?XXXYttttXYSSbaYabXabXeYYe思考题得到利用求出对应的§2.2参数的最小二乘估计222:ˆ,00ˆ0ˆˆtttttttttXYYabXeXeeYYYYYYY估计回归方程的性质（1）一定在估计直线上（2）（3）（4）（5）§2.2参数的最小二乘估计222:TSS(totalsumofsquares)ˆ:()ESS(explainedsumofsquares)ˆ:RSS(residualsumofsquares):TSS=ESS+RSSttttYYYYYY总离差平方和回归平方和解释平方和残差平方和即§2.2参数的最小二乘估计222222:101=0.880%.,1,2ttttXYXXYYttESSRSSRRTSSTSSRXYRXYtnrXXYYSrSSXXYY定义决定系数≤≤表示给出模型中对的解释能力，如，则解释能力为给定样本相关系数定义如下:§2.3最小二乘估计量的性质1.线性特性（Linear）20111tttttttttttXXtttttttXXttttttYbwYavYwvXXYYXXYbSXXXX估计量a,b均可由被解释变量线性表出，即：,均为确定性变量。令：,满足：,令§2.3最小二乘估计量的性质2.无偏性（unbiased）tttttttEaEbbwYwXuEbbwu§2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（efficiency）22222112222αβ,.var()ttnntXXabbEbEbEbbwuwuwuEbwS在，的各种线性无偏估计中，最小二乘估计量具有最小的方差§2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（efficiency）222222var1txxaEaEaEavXnS§2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（efficiency）****,:var()varvar()varabba具有最小方差的含义设为的任一线性无偏估计有≥设为的任一线性无偏估计有≥§2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（efficiency）**()001ttttttttttttttttdYdXuddXduEddXddX假设:则§2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（efficiency）**2222222222(*):varvar?2:0ttttXXtttttttttttttttdudbwSdwddwwdwd由而讨论≥是否成立=注意§2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（efficiency）Gauss—Markov定理：满足性质1、2、3的最小二乘估计量是最优线性无偏估计量（bestlinearunbiasedestimator：BLUE）§2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（efficiency）22222222:,,ˆˆ2(1)(2)(3)tttttttttttttttYXueYYYYuubXXeuuuubXXbXX的估计量模型:包含三个未知参数§2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（efficiency）2222222222222223,((2))2,((1))1(1),(2),(3)122:2,XXXXttESEEnSEenneSnESS由定义则即是的一个无偏估计§2.4系数的显著性检验定理1222(1),1,,XXXXabXaNnSbNS最小二乘估计量的概率分布分别为§2.4系数的显著性检验定理122222(2)RSS2,ttttnSRSSabbwuavu残差平方和与之比同独立，且服从自由度为n-2的分布从下面的等式讨论§2.4系数的显著性检验定理222121XXXXattnXSnSbttnSS§2.4系数的显著性检验证明：222222220,1222221XXXXXXbNSnSRSSnbnSbnSbtnSS且同独立。§2.4系数的显著性检验2221ˆˆˆ.ˆ.2.2.XXXXXSvaraSvarbnSSseavaraasebvarbbattnseabttnseb称为的标准差称为的标准差则§2.4系数的显著性检验最小二乘估计量的大样本性质：12,,,:lim()1b,bplimXYnXXnSbbbbSbPbb随着样本容量的变化得到序列可以证明有如下性质表明依概率收敛于称为的一致性估计量.记作:§2.4系数的显著性检验lim()1plimnnaPaa同样为的一致估计量,即有记作§2.4系数的显著性检验01:0:002111tttXXXXYXuHHbbttnSSSS中的，的显著性检验则显著水平置信度§2.4系数的显著性检验20.0250.052,:ntt如果：，自由度如图所示§2.4系数的显著性检验22222222:11:11:11XXXXXXXXXXXXbbptptSSSSbtSbtSSSXXatSatSnSnS显然有≥≤=1-的置信区间为≤≤+同样的置信区间为≤≤+§2.4系数的显著性检验:23159473917:ˆˆ(2):(3)XYYXuvaravarb例题给出下列数据(1)估计模型给出方差对系数作显著性检验§2.4系数的显著性检验222220.025ˆ(1)11.751.241.7570(2)0.5231ˆˆ0.30.0125(3)1.82615.6531(3)3.182XXXXXXYabXXTSSESSSnXSvaraSvarbnSSabttsebXSnSt解:§2.4系数的显著性检验,=0t接受=0的假设拒绝的假设.当样本容量n=30左右，≥2时则至少以0.05的显著水平拒绝零假设。§2.5预测误差和预测区间000000000000000000ˆˆˆˆ0,ttYabXXXYabXYYXueYYabXXuabXuEeEYEY给定，则的实际值是：预测误差：即：§2.5预测误差和预测区间0020220200202ˆ1var110,1ˆ0,1110XX0XXXXYYXXenSXXeNnSYYtNXXnS称为的无偏预测，可以得到，则构造统计量：§2.5预测误差和预测区间2222002002(2)2ˆ(2){2}2ˆ21100XXnSnYYnSntnvareYYtnXXSnS，即§2.5预测误差和预测区间22002020ˆ2111ˆ210XX0XXYYtnXXSnSYXXYtnSnS给定显著水平由≤得置信区间为