9第九章机械振动

1第九章机械振动（一）简谐振动（二）简谐振动的合成（三）阻尼振动（四）受迫振动与共振目录2第九章机械振动（一）简谐振动机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动.振动：描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化.特征：⑴重复性、周期性；⑵对任意周期的运动，可采用傅里叶展开分析,2,12cos0ntfcxtxnnnn在数学上,一个周期为T的函数可被展开为一系列不同频率的简谐函数的叠加－傅里叶级数展开：tx其中而被称为基频．Tfnffn/111，简谐振动:不能进一步分解，是最基本的、成分单纯的振动3理想模型——轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹性力作用下的直线运动.kxF由牛顿定律：kxdtxdm22弹簧振子的运动一、简谐振动的特征及其表达式2mk令0222xdtxd第九章机械振动4方程的解为：)cos(0tAx—简谐振动的运动方程速度表达式：)2cos()sin(00tAtAdtdxv加速度表达式：)cos()cos(020222tAtAdtxda第九章机械振动5二.描述简谐振动的特征参量振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值周期T：完成一次全振动所需时间2TmkkmT2频率：mkT211角频率：T22第九章机械振动62020)(vxA000xvtg相位：决定简谐运动状态的物理量）（t初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量00,,0vvxxt00cosAx00sinAv设初始条件决定振幅和初相位相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态.第九章机械振动7例题9.1设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期.证明：质点m受力分析3233eeGmMGmrˆˆF(M)rrrrRRoyFrR第九章机械振动223dtydmyRGmMe33eeyGmMGmMFFsinrsinyRR建立oy坐标系8思考：巴黎与伦敦两城市直线距离为300Km。现用一条直的地下铁道将其连接，两城市间的火车仅在重力作用下运行，试求火车的最大速度以及从伦敦出发到达巴黎所需时间（地球的半径为6400Km，g=9.8m/s2，忽略摩擦力）。满足简谐振动微分方程，故为简谐振动。0322yRGMdtyde其周期：min3.842TeGMR32即第九章机械振动9三、常见的简谐振动（1）竖直悬挂的弹簧振子选平衡位置为坐标原点平衡时klmg位移x时kxxlkmgF)(故物体仍做简谐振动xlO第九章机械振动10（2）单摆重力形成的力矩，在角度很小时有Mmglsinmgl根据转动定律22dmgldtI220dgdtl表明：单摆的运动也是简谐振动，故glTlg2,mglO第九章机械振动IM2Iml又有11（3）复摆:一可绕水平固定轴摆动的刚体类似单摆写出方程为：mglmgldtdIsin22Imgldtd22,22mglgILTILmglgOClmg结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力，即202()()xdVFxkxkdx其中称为等值单摆长．LIml第九章机械振动121.旋转矢量图示法x0t+0Opt=0AAM说明:旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法;不能把M的运动误认为简谐振动。四、简谐振动的表示法模振幅A作坐标轴ox,自原点作一矢量()AOM与x轴的夹角相位0t角速度角频率初始与x轴的夹角初相0第九章机械振动旋转矢量简谐振动13P点坐标、速度和加速度都作简谐振动矢端M在x轴投影的运动规律：P点的坐标)cos(0tAx即M点位矢在x轴上的投影速度)sin(0tAv即M点速率在x轴上的投影加速度)cos(02tAa即M点向心加速度在x轴上的投影0t+0Opt=0AAM第九章机械振动14例题9.2一物体沿x轴作简谐振动,振幅为0.24m,周期为2s,当t=0时x0=0.12m,且向x轴正方向运动.试求:1)振动方程;2)从x=－0.12m,且向x轴负方向运动的状态,回到平衡位置所需的时间.当t=0时,x0=0.12m,v00为确定初相,画出t=0时旋转矢量的位置T2由题知m24.0As2T解:1)设振动方程为)cos(0tAxOpxt=0AM第九章机械振动提示:用旋转矢量图示法求解15Ax0cos振动方程为:m)3cos(24.0tx33500或由图得到2)从x=0.12m,且向x轴负方向运动的状态,回到平衡位置所需的时间xDOpAMsst83.06565DDD第九章机械振动162.x-t曲线图示法简谐振动也可用x-t的振动曲线表示，如下图所示，图上已将振幅、周期、和初相标出.0txxTtA0T20O0P0PP1P1P2P'0O第九章机械振动P2x17第九章机械振动x(v)Otx(a)Ot)cos(0tAx)cos(20tAdtdxv)cos(0222tAdtxda2DD18解：设运动表达式)cos(0tAx又当t=1s时，0)4cos(21x0)4sin(21vt(s)O2-22x(m)140由图可见，A=2m，当t=0时有：2cos200x0sin200v例题9.3已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。第九章机械振动19)443cos(2tx解得：43第九章机械振动3.复数法利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数描述：)(0tiAex)(tieAx或注：上式有意义的是实数部分（或虚数部分）。0iAAe其中是复数，称为复振幅。20五、简谐运动的能量设在某一时刻,振子速度为v则系统的动能：212kEmv该t时刻物体的位移为Ｘ,则系统的势能：212pEkx系统的总能量：221kAEEEpk谐振动的总能量与振幅的平方成正比,其值由初始条件决定第九章机械振动2011[1cos2()]22kAt22201sin()2mAt220201cos()211[1cos2()]22kAtkAt21能量平均值EkAdttAmTETK2141)(sin211202220EkAdttmkATETP2141)(cos21120220第九章机械振动EP(1/2)E22221122110coscossinsinAAAAarctg)cos(212212221AAAAA（二）简谐振动的合成合成结果仍为简谐运动合振动与分振动在同一方向,且有相同频率一、同方向同频率谐振动的合成)cos(222tAx)cos(111tAx12xxx合振动的运动方程：A2A1x0Ax2x1x任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成。第九章机械振动0cos()At23讨论：21AAA2,1,0,212kk1)相位差同相同相,合振幅最大2,1,0,)12(12kk21AAA2)相位差反相反相,合振幅最小当A1=A2时,质点静止3)一般情况（相位差任意）2121AAAAA相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用第九章机械振动24二、两个同方向不同频率谐振动的合成)cos(2222tAx)cos(1111tAx设一质点同时参与了角频率分别为的两个同方向的简谐振动21、设两振动的振幅相同，初相为111coscos2xAtAt222coscos2xAtAt合振动的运动方程为：122121cos2)cos(2)22xxxAtt（第九章机械振动25讨论:两频率都较大,而频率差很小的情况表明:一个高频振动受一个低频振动的调制212合振动频率tA22cos2121合振动振幅xtx2tx1t注意：周期应有|2v1-v2)/2|T=决定第九章机械振动26合振幅出现时大时小的现象—拍现象1211Dv振幅变化的周期为：拍频：12Dv拍现象的应用：用标准音叉振动校准乐器测定超声波测定无线电频率调制高频振荡的振幅和频率等上述结果也可用旋转矢量合成法描述At2121若，如图，以的角速度旋转，则相对以的角速度旋转，则合矢量的变化角频率为.121A2A1A12A211At12At2t)(12注：这里│A1│=│A2│第九章机械振动27三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成)cos(22tAy)cos(11tAx消去参数t，得轨迹方程)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差.合运动是简谐振动，角频率与初相不变，振幅为2221AAA讨论：0121)轨迹：xAAy12两个分振动同相合振动坐标的参量方程第九章机械振动28122)轨迹：合运动是简谐振动，角频率与初相不变，振幅为2221AAAxAAy12－两个分振动反相y比x位相超前/2,故椭圆轨道运动的方向是顺时针,即右旋的.3)1222212AyAx轨迹：212第九章机械振动290D42434523474)1222212AyAx轨迹：y比x位相滞后/2,故椭圆轨道运动的方向是逆时针,即左旋的.当A1=A2时,正椭圆轨道将变为圆轨道,即质点作圆周运动.2312第九章机械振动30四、两个相互垂直的不同频率谐振动的合成可看作两频率相等而2-1随ｔ缓慢变化,合运动轨迹将按上页图依次循环地缓慢变化.ｔ1.两分振动频率相差很小)()(1212Dt第九章机械振动31合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比关系时，是稳定的封闭曲线，称为利萨如图形（如图）。2.两振动的频率相差很大利萨如图形的应用利用利萨如图形的形状判断二分振动的频率比，再由已知频率测量未知频率。工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差。第九章机械振动32例9.4有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为，cm)2cos(41txcm)2/2cos(32tx1)求它们的合振动方程；cm)2cos(233tx问:当3为何值时,x1+x3的振动为最大值？当3为何值时,x1+x3的振动为最小值？解：1)两个振动方向相同,频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动,合振动方程为)2cos(0tAx)cm(5)cos(212212221AAAAA43coscossinsintan221122110AAAA2)另有一同方向的简谐振动第九章机械振动33所求的振动方程为540)cm()5/42cos(5tx2)当时，相位相同。2,1,0213kk320,1,2,kk即振幅最大2101213，，kk当时，相位相反。，振幅最小，，即210123kk根据已知条件，t=0时，合矢量应在第二象限，故第九章机械振动34一、阻尼振动定义：振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。（三）阻尼振动dtdxvfr粘滞阻力d