在宏观经济分析过程中

在宏观经济分析过程中，来自各种渠道的统计资料、典型调查、生产数据以及实验报告等，其中大量数据是灰色量，因而，所编投入产出表中必然含有各种不同的灰数，此外，作为一个动态的经济系统，投入产出问题中的各种参数也必然是处于不断变化之中，因而这些参数也始终是一个具有上界或下界的灰数，本章把灰色系统理论的方法与投入产出结合起来，研究了灰色投入产出问题，主要内容包括灰色投入产出的基本概念和基本理论、灰色投入产出优化模型、灰色产业关联系数、灰色动态投入产出分析和灰色大道模型等。11．1灰色投入产出的基本概念定义11.1.1设为j部门消耗i部门产品的价值总量，称为流量矩阵。定义11.1.2设为j部门消耗i部门产品的价值总量，为j部门的总产出，称为直接消耗系数。直接消耗系数的含义是生产单位j产品消耗i部门的数量，它反应了j部门对i部门的依赖程度，越大，说明j部门与i部门的联系越密切。),,2,1,(njixijnnnnnnxxxxxxxxxQ212222111211),,2,1,(njixijjxnjixxajijij,2,1,;ijaija定义11.1.3称为直接消耗系数矩阵。命题11.1.1对于A中任意元素，有证明因j部门的总产出，j部门消耗i部门的价值量，从而命题11.1.2A中任一列元素之和小于1，即.证明反设存在k，使，由，得。即k部门的总产出小于或等于该部门消耗各部门产品的价值量。这样，k部门根本无法进行生产活动。所以是不可能的。由k的任意性，可得成立。由于信息获取困难，因此，j部门消耗i部门的价值总量实际上是一个灰数。nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211ijanjiaij,2,1,;0njiaij,2,1,;00jx0ijxnjixxajijij,2,1,;0niijnja1),2,1(111niikakikikxxakniikxx1kx11niikaniijnja1),2,1(1njixij,2,1,),(定义11.1.4称为完全消耗系数矩阵.定义11.1.5称为灰色流量矩阵.当流量为灰数时,显然直接消耗系数亦为灰数.定义11.1.6称为灰色直接消耗系数矩阵.命题11.1.3设为总产出向量,为最终产品向量,为新创造价值向量,为价格向量,为灰色直接消耗系数矩阵,则有;（11.1.1）.(11.1.2)EAEC1)(nnijxQ)]([)(njixxajijij,2,1,;)()(nnijaA)]([)(TnxxxX],,,[21TnyyyY],,,[21TnsssS],,,[211YAEX1)]([2SAEPT1)]([命题11.1.4上述(11.1.1)和(11.1.2)可用方程组的方式表达为(11.1.3)(11.1.4)命题11.1.5上述(11.1.3)和(11.1.4)可化为(1.1.1.5)(11.1.6)式(11.1.5)表明i部门总产出为各部门消耗i部门产品和i部门最终产品之和,通常称为分配方程组.式(11.1.6)表明j部门的总产出为j部门消耗各部门产品和j部门新创造价值之和,通常称为生产方程组.定义11.1.7称为灰色完全消耗系数矩阵.灰色投入产出模型反映了经济系统各部门之间以及最终产品与总产品之间、价格与物质消耗、新创造价值之间的灰关系,是研究产业结构、分析经济系统运行机制的基础.1.,,2,1;)(1nixyxaiijnjij2.,,2,1;)(1njpspajjiniij1.,,2,1;)(1nixyxiinjij.,,2,1;)(21nixsxjjnjijoEAEC1)]([)(11.2灰色非负矩阵的P-F定理上节中讨论的灰色流量矩阵和灰色直接消耗系数矩阵皆为灰色非负矩阵.因而关于灰色非负矩阵的谱半径及特征根的研究构成了灰色投入产出模型求解的理论基础.本节将给出灰色非负矩阵的Perron-Frobenius(P-F)定理的数学证明.定义11.2.1设灰元,若为连续灰数,则称为灰元的均值白化数;为离散灰数,为灰元的可取值,则称为灰元的均值白化数.(注:若某为灰元,则取.)记,称为的扰动灰元.定义11.2.2设灰色矩阵,其中灰元,记,这里的为灰元的均值白化数,是在基础上的扰动灰元,则相应地有aaaa],,[aaaa],,[1)(21ˆaaa2),2,1](,[niaaainiiana11ˆ)(kaaaaaakkk],,[)(kkaaˆaˆaˆ)()(,)(ijnnAGAijijijijijaaaa],,[ijijijaˆijaˆijijijijaˆAAAˆ)(nnnnnnijaaaaaaaaaaAˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆ(ˆ212222111211nnnnnnijA212222111211)(称为灰色矩阵的均值矩阵,为灰色矩阵在基础上的扰动灰色矩阵.定义11.2.3,若的均值矩阵则称为灰色非负矩阵.定义11.2.4,设为的灰特征根,,则称为的谱半径.显然,灰色矩阵的谱半径一般亦为灰元.命题11.2.1,则,即灰色矩阵之谱半径的均值白化数等于其均值矩阵的谱半径.定义11.2.5,若的均值矩阵满足以下条件存在,且则称为灰色M矩阵.Aˆ)(AA)(AAˆnnGA)()(A0ˆA)(AnnGA)(),,2,1(ˆ)(niiii)(Akiˆ}ˆmax{kkˆ)()(AnnGA)()ˆ())((ˆAA)(AnnGA)()(A)ˆ(ˆijaA1jiaij,0ˆ21ˆA0ˆ1A)(A命题11.2.2,其均值矩阵,则为灰色M矩阵定义11.2.6,满足,则称为灰色P矩阵.命题11.2.3,，则为灰色M矩阵为灰色P矩阵.引理11.2.1设为灰色非负矩阵,且其均值矩阵不可约,则有一个灰色特征根,其中.证明只需证明均值矩阵有正特征根,考虑集合则S是紧凸集,在S上作映射nnGA)(0ˆA)(AE1)ˆ(AnnGAAAˆ)(),,2,1(0),,(ˆdet1nkiiAk)(AnnGA)(jiaij,0ˆ)(AAˆ)(A)ˆ())((**AA0)ˆ(*AAˆniiXXXS1}1,0{XAXAXfSSfˆˆ)(,:由的非负性知,从而为连续映射,由Brouwer不动点定理可知S在映射下有不动点,亦即存在使得,此即:记,则,且引理11.2.2设为灰色非负矩阵,且其均值矩阵不可约,则的任意k(kn)阶主子矩阵为灰色P矩阵.证明先证的任意k(kn)阶主子矩阵为灰色M矩阵.,设为的任意k(kn)阶主子矩阵,作矩阵B,显然,且,于是的主子矩阵)(A0ˆXASSf:SX***)(XXf***ˆˆXXAXA**ˆ)ˆ(XAA***)ˆ(ˆXAXA0)ˆ(*A)(AAˆ)())((AEA)())((AEAkAˆAˆnnkAB000ˆ0ˆBA)()ˆ(),ˆ()(BAABkAEAˆ)ˆ()ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(AAEAAEAkkkk且由命题11.2.2可知为灰色M矩阵,再有命题11.2.3知为灰色P矩阵.定理11.2.1(P-F定理-1)设为灰色非负矩阵,且其均值矩阵不可约,则有以下结论:有一个灰色特征根其均值白化数;为所对应的灰色特征向量,且,则其均值向量;;与的元素按相同方向漂移；是的“单根”.1)ˆ()ˆ())ˆ(ˆ(AAAAkk)())((kkAEA)())((kkAEA)(AAˆ1)(A))((*A0*2)(*X))((*A***ˆ)(XXX0ˆ*X3))(())((*AA4))((*A)(ijAij5))((*A)(A证明是引理11.2.1和命题11.2.1的直接结果.视引理11.2.1证明中的集合S为特征向量的均值向量集合.由,知.设不成立,不妨假定,其中,由,将作相应的分块得,但.所以,此与不可约矛盾，这就表明必有.设为的任一特征根,为所对应的特征向量,,写成分量的形式两端同时取均值白化数,有12)(XSX*ˆ0ˆ*X0ˆ*XTXXX]ˆ,ˆ[ˆ*2*1*0ˆ,0ˆ*2*1XX***)ˆ(ˆˆXAXA*2*1**2*122211211ˆˆ)ˆ(ˆˆˆˆˆˆXXAXXAAAA0ˆˆ*121XA0ˆ,0ˆ*121XA0ˆ21AAˆ0ˆ*X3)()(A)(X)(()()()()XAXniXXjnjiji,2,1);()()(1niXaXnjjiji,2,1;ˆˆˆˆ1再取其绝对值记则有(11.2.1)又有非负,不可约,知且不可约.注意到,得用在式(11.2.1)两边作内积,有由知,又任意,所以为的谱半径.只需证的均值白化数为的均值白化数的增函数.设、皆为非负矩阵,其均值矩阵、都不可约且。由、可知，、分别有灰色特征根、，其对应的特征向量为、满足),2,1(ˆˆˆˆˆˆ11niXaXaXnjjijnjjiji0),ˆ,ˆ,ˆ(ˆ21TnaXXXXaaXAXˆˆˆˆ)(AAˆ0ˆTA)ˆ()ˆ(**AAT***ˆ)ˆ(ˆˆXAXATTX*ˆ)ˆˆ)(ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆ******aTaTTaTaTaTXXAXXAXAXXXXX0ˆˆ*aTXX)ˆ(ˆ*A)()ˆ())((**AA)(A4))(ˆ(*Aij)(A)('AAˆ'ˆA'ˆˆAA12)(A)('A))(ˆ(*A))(ˆ('*A)(*X)(*'X*ˆ()0,A*'ˆ()0,A*ˆ0,X0'ˆ*X再由及得(11.2.2)在式（11.2.2）两边以作内积,并注意到,于是有因为，所以.由和引理11.2.2知，为灰色P矩阵，因.作多项式：，求导可得这就证明了是的“单”根.*'*ˆˆˆˆXAXA***ˆˆˆ)ˆ(XAXA*'**ˆˆˆ)ˆ(XAXATX*ˆ)ˆ()ˆ('*'*AAT)ˆˆ)(ˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆ(**''**'*'****XXAXXAXAXXXATTTTT0ˆˆ**XXT)ˆ()ˆ('**AA53)())((*kkAEA0)(ˆ))(ˆ(det*kkAEA)ˆdet()(AEf'ˆ()det(),kkfEA0)ˆˆdet()ˆ(**'kkAEf))((*A)(A定理11.2.2(P-F定理2)设为灰色非负矩阵,则有一个灰色特征根，其均值白化数.若为所对应的特征向量，且，则..当的任意元素漂移时，或则不变，或则按相同方向漂移.证明若均值矩阵不可约,结论自明.设可约，则可表示为其中或是0方阵，或为不可约方阵，。注意到，，，即得证，下面证明。作矩阵)(A1)(A**ˆ)(0ˆ*2)(*X))((*A***ˆ)(XXX0ˆ*X))(())((*AA34)(Aij))((*AAˆAˆAˆrrAAAAˆˆˆˆ2211iiA