导数在经济学中的应用

导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到xx0，则：xxcxxc)()(00称为c(x)在)(00xxx，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00xxx，内的平均变化率。而xxc/)(称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。例1，设有某种商品的成本函数为：xxxc30135000)(其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400xxc吨）（元/2740010800)(400xxxc如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(ccxc728.13504.686)()(500400xxxxxcxxc这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(ccxc7495.1317495.13)(1400xxxxc表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。产量由400吨减少1吨，即x=-1时，总成本的变化为：7505.13)400()399()(ccxc7505.1317505.13)(1400xxxxc表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义：定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即：xxcxxc)()(00边际成本其中x=1或=-1。由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨)1(x的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨)1(x的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有：xxcxxcxcx)()(lim)(0000由极限存在与无穷小量的关系可知：axcxxcxxc)()()(000（1）其中0lim0x，当x很小时有：)()()(000xcxxcxxc（2）产品的增加x=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当x=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为)(0xc，即：75.131513)()(400400400xxxxdxxdcxc误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导数如果存在就是唯一确定的。因此，现代经济学把边际成本定义为总成本函数c(x)在x0处的导数，这样不仅克服了定义1边际成本不唯一的缺点，也使边际成本的计算更为简便。定义2：设总成本函数c(x)为一可导函数，称xxcxxcxcx)()(lim)(0000为产量是x0时的边际成本。其经济意义是：)(0xc近似地等于产量为x0时再增加（减少）一个单位产品所增加（减少）的总成本。若成本函数c(x)在区间I内可导，则)(xc为c(x)在区间I内的边际成本函数，产量为x0时的边际)(0xc为边际成本函数)(xc在x0处的函数值。例2：已知某商品的成本函数为：241100)(QQc（Q表示产量）求：（1）当Q=10时的平均成本及Q为多少时，平均成本最小？（2）Q=10时的边际成本并解释其经济意义。解：（1）由241100)(QQc得平均成本函数为：QQQQQQc4110041100)(2当Q=10时：5.12104110100)(10QQQc记QQcc)(，则3220041100QcQc令0c得：Q=20而0401)20(200)20(3c，所以当Q=20时，平均成本最小。这个不能省去的，见课本P155（第二充分条件）（2）由241100)(QQc得边际成本函数为：QQc21)(51021)(10xQc则当产量Q=10时的边际成本为5，其经济意义为：当产量为10时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将近似地增加（减少）5个单位。2、总收益、平均收益、边际收益总收益是生产者出售一定量产品所得以的全部收入，表示为R(x)，其中x表示销售量（在以下的讨论中，我们总是假设销售量、产量、需求量均相等）。平均收益函数为xxR)(，表示销售量为x时单位销售量的平均收益。在经济学中，边际收益指生产者每多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的销售总收入。按照如上边际成本的讨论，可得如下定义。定义3：若总收益函数R（x）可导，称xxRxxRxRx)()(lim)(0000为销售量为x0时该产品的边际收益。其经济意义为在销售量为x0时，再增加（减少）一个单位的销售量，总收益将近似地增加（减少）)(0xR个单位。)(xR称为边际收益函数，且0)()(0xxxRxR3、总利润、平均利润、边际利润总利润是指销售x个单位的产品所获得的净收入，即总收益与总成本之差，记L(x)为总利润，则：)()()(xcxRxL（其中x表示销售量）xxL)(称为平均利润函数定义4：若总利润函数L(x)为可导函数，称xxLxxLxLx)()(lim)(0000为L(x)在x0处的边际利润。其经济意义为在销售量为x0时，再多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的利润。根据总利润函数，总收益函数、总成本函数的定义及函数取得最大值的必要条件与充分条件可得如下结论。由定义，)()()(xcxRxL)()()(xcxRxL令)()(0)(xcxRxL则，结论1：函数取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本。又由L(x)取得最大值的充分条件：0)(0)(xLxL且可得：)()(xcxR结论2：函数取得最大利润的充分条件是：边际收益等于边际成本且边际收益的变化率小于边际成本的变化率。结论1与结论2称为最大利润原则。例3：某工厂生产某种产品，固定成本2000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益R为年产量Q的函数，且400,800004000,21400)(2QQQQQRR问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？解：由题意总成本函数为：QQcc1002000)(从而可得利润函数为：)()()(QcQRQLL400100600004000213002QQQQQ，，令3000)(QQL得01)(300QQL所以Q=300时总利润最大，此时L(300)=25000，即当年产量为300个单位时，总利润最大，此时总利润为25000元。若已知某产品的需求函数为P=P(x)，P为单位产品售价，x为产品需求量，则需求与收益之间的关系为：)()(xPxxR这时)()()(xPxxPxR其中)(xP为边际需求，表示当需求量为x时，再增加一个单位的需求量，产品价格近似地增加)(xP个单位。关于其它经济变量的边际，这里不再赘述。我们以一道例题结束边际的讨论。例4：设某产品的需求函数为Px5100，其中P为价格，x为需求量，求边际收入函数以及x=20、50和70时的边际收入，并解释所得结果的经济意义。解：由题设有)100(51xP，于是，总收入函数为：25120)100(51)(xxxxxPxR于是边际收入函数为：)2100(515220)(xxxR8)70(0)50(12)20(RRR，，由所得结果可知，当销售量（即需求量）为20个单位时，再增加销售可使总收入增加，多销售一个单位产品，总收入约增加12个单位；当销售量为50个单位时，总收入的变化率为零，这时总收入达到最大值，增加一个单位的销售量，总收入基本不变；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收入约减少8个单位，或者说，再少销售一个单位产品，将使总收入少损失约8个单位。（二）弹性与弹性分析弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。1．问题的提出设某商品的需求函数为)(PQQ，其中P为价格。当价格P获得一个增量P时，相应地需求量获得增量Q，比值PQ表示Q对P的平均变化率，但这个比值是一个与度量单位有关的量。比如，假定该商品价格增加1元，引起需求量降低10个单位，则10110PQ；若以分为单位，即价格增加100分（1元），引起需求量降低10个单位，则10110010PQ。由此可见，当价格的计算单位不同时，会引起比值PQ的变化。为了弥补这一缺点，采用价格与需求量的相对增量QQPP及，它们分别表示价格和需求量的相对改变量，这时无论价格和需求量的计算单位怎样变化，比值PPQQ都不会发生变化，它表示Q对P的平均相对变化率，反映了需求变化对价格变化的反应程度。2、弹性的定义定义1：设函数)(xfy在点)0(00xx的某邻域内有定义，且0)(0xf，如果极限00000000/)(/)]()([lim/)(/limxxxfxfxxfxxxfyxx存在，则称此极限值为函数)(xfy在点x0处的点弹性，记为0xxExEy；称比值000000/)(/)]()([/)(/xxxfxfxxfxxxfy为函数)(xfy在xxx00与之间的平均相对变化率，经济上也叫做点xxx00与之间的弧弹性。由定义可知：00)(00xxxxdxdyxfxExEy，且当1x时，有：000/)(/xxxfyExEyxx即点弹性近似地等于弧弹性。如果函数)(xfy在区间（a、b）内可导，且0)(xf，则称)()(xfxfxExEy为函数)(xfy在区间（a、b）内的点弹性函数，简称为弹性函数。函数)(xfy在点x0处的点弹性与xxxxf00)(与在之间的弧弹性的数值可以是正数，也可以是负数，取决于变量y与变量x是同方向变化（正数）还是反方向变化（负数）。弹性数值绝对值的大小表示变量变化程度的大小，且弹性数值与变量的度量单位无关。下面给出证明。设)(xfy为一经济函数，变量x与y的度量单位发生变化后，自变量由x变为*x，函数值由y变为*y，