微积分(第二版吴传生)第一章 第六节 经济学中常用的函数教案

第六节经济学中的常用函数一、需求函数如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为Q是P的函数。记作)(PfQ则f称为需求函数.需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．,QbaP线性需求函数：常见的需求函数：2cPbPaQ二次曲线需求函数：bpAeQ指数需求函数：0,ba幂函数：,0,0aQkPakabc(其中、、、A　0)例1设某商品的需求函数为)0,(babaPQ.00时的价格时的需求量和讨论QP解,0bQP时它表示价格为零时的需求量为b，称为饱和需求量；,0abPQ时它表示价格为,时ab无人愿意购买此商品.二、供给函数如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为Q是P的函数。记作)(PGQ则G称为供给函数.供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数：0,,babaPQ其中幂函数：指数函数：0,0,kAkPQA其中0,0,bAaeQbP其中在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格.E0P0Q供需平衡点供需平衡价格三、生产函数生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素.为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况.例2)(22)2()()(xgcxxgcxxgxgxaaaa由于间的函数关系为与产出设投入时，可见，当1a规模报酬不变；时，当1a如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；时，当1a如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增.四、成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.可变固总CCC支付固定生产要素的费用支付可变生产要素的费用产量可变成本固定成本产量总成本平均成本QQCQCQQCACC)()(21即例3已知某种产品的总成本函数为求当生产100个该产品时的总成本和平均成本．.81000)(2QQC解由题意，求产量为100时的总成本,225081001000)100(2C5.221002250)100(AC平均成本为五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用Q表示出售的产品数量，R表示总收益,表示平均收益，则RQQRRQRR)(,)(如果产品价格P保持不变，则PRPQQR,)(例4设某商品的需求关系是3Q+4P=100,求总收益和平均收益．解,43100QP价格函数为,43100)(2QQQPQR所以总收益为1003()().4QAPQPQ平均收益为六、利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即)()()(QCQRQL例5设某种商品的总成本为若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产10件的总利润．解,20（万元）由题意知P).(110)105.0101820()10(2万元LQQPQR20)(总收益为,5.0220)(2QQQC)()()(QCQRQL所以)5.0220(202QQQ25.01820QQ七、库存函数设某企业在计划期T内，对某种物品总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分n次进货，每次进货批量为，进货周期为.假定每件物品的贮存单位时间费用为，每次进货费用为，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为，nQqnTt1C2C2q在时间T内的总费用E为qQCTqCE2121.2121为进货费用为贮存费，，其中qQCTqC八、戈珀兹(Gompertz)曲线戈珀兹曲线是指数函数tbkay在经济预测中，经常使用该曲线.初始期发展期饱和期k.100lg时，图形如上页所示，当ba且无限增大时，，曲线当由图可见0t，接近其无限与直线ky且始终位于该直线下方.在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和.1.设需求函数由P+Q=1给出，（1）求总收益函数P;(2)若售出1/3单位，求其总收益。2.某工厂对棉花的需求函数由4.1PQ=0.11给出,（1）求其总收益函数R;（2）P(12),R(10),R(12),R(15),P(15),P(20)。3.若工厂生产某种商品，固定成本200,000元，每生产一单位产品，成本增加1000元，求总成本函数。练习题4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产100件，每日的固定成本为150元，每件的平均可变成本为10元,(1)试求该厂此元器件的日总成本函数及平均成本函数;（2）若每件售价14元，试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。5.某产品之需求函数为dQ=20-3P,供给函数为sQ=5P-1,求该商品的静态均衡价格。6.某工厂生产某产品年产量为x台，每台售价为250元，当年产量在600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传后又可多出售200台，每台平均广告费为20元，生产再多，本年就售不出去了。试建立本年的销售总收入R与年产量x的关系。;1000200000)(.3;037.0)15(,041.0)12(,044.0)10(,0017.0)20(,0034.0)12(,0025.0)15(,11.0.2;92)21(,.14.02QQCCRRRPPPQRRQQR练习题答案；元）（元元)1000)((4150)()3(;1000)(14)()2();1000(10150)();1000)((10150)()1.(4XXXLXXXRXXXCXXXC;821.6800,200230600250800600),600)(20250(6002506000,250.5ePxxxxxR