微积分在经济中的应用

1《高等数学》知识在经济学中的应用举例复利与贴现问题.....................................................................................2复利公式...............................................................................................2实利率与虚利率..................................................................................3数e的经济解释..................................................................................3贴现问题...............................................................................................4增长率...................................................................................................4级数应用举例.........................................................................................5银行通过存款和放款“创造”货币问题..........................................5投资费用...............................................................................................6库存问题..................................................................................................8（一）成批到货，不允许短缺的库存模型................................8（二）陆续到货，不允许短缺的模型......................................11（三）成批到货，允许短缺的模型..........................................122由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。复利与贴现问题复利公式货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利”。下面推出按福利计息方法的复利公式。现有本金A0，年利率r=p%，若以复利计息，t年末A0将增值到At，试计算At。若以年为一期计算利息：一年末的本利和为A1=A0（1+r）二年末的本利和为A2=A0（1+r）+A0（1+r）r=A0（1+r）2类推，t年末的本利和为At=A0（1+r）t（1）若把一年均分成m期计算利息，这时，每期利率可以认为是rm，容易推得0(1)mttrAAm（2）公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算At的复利公式。若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m，这时，由于000lim(1)lim[(1)]mmtrtrtrmmrrAAAemm所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是0rttAAe3例1A0＝100元，r=8%，t＝1，则一年计息1期1100(10.08)108()A元一年计息2期210.08100(1)108.16()2A元一年计息4期410.08100(1)108.243()4A元一年计息12期1210.08100(1)108.300()12A元一年计息100期10010.08100(1)108.325()100A元连续复利计息0.081100108.329()Ae元实利率与虚利率由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率为8％，一年计息1期，确实按8％计算利息；一年计息2期，实际上所得利息是按8.16％计算的结果；一年计息4期，实际上所得利息是按8.243％计算；一年计息12期，实际上是按8.3％计算；一年计息100次，实际所得利息是按8.325计算利息。这样，对于年期以下的复利，我们称年利率8％为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。如8.16％为一年复利2期的实利率，8.3％为一年复利12期的实利率，8.329％为一年连续复利的实利率。记r为名义年利率，rm为一年计息m期的实利率，本金A0，按名义利率一年计息m期，一年末将增值到A0（1+rm）m，按实利率计息，一年末将增值到A0（1+rm）。于是，有1+rm＝（1+rm）m，即(1)1mmrrm是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。若记rm为连续复利的实利率，由于lim(1)mrmrem所以，实利率与虚利率之间的关系为1rmre。数e的经济解释设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为)()11(lim元emmm这就是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e元。这可作为4数e的经济解释。由于71828.2e，所以，这是的实利率大约为172％。贴现问题我们已经知道，初时本金A0，年利率r，t年末的本利和At，以年为期的复利公式是ttrAA)1(0，一年均分为m期的复利公式是mttmrAA)1(0，连续复利公式是rtteAA0。若称A0为现在之，At为未来值，一只现在值求未来值是复利问题，与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题，这时利率r称为贴现率。由复利公式，容易推得：离散的贴现公式为ttrAA)1(0mttmrAA)1(0连续的贴现公式为rtteAA0例2设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元。这里，贴现率r=6.5％，未来值At=1200，t=16。所以，现在值（元）15.4248292.212001200120004.116065.00eeeAArtt增长率设变量y是时间t的函数y=f(t)，则比值)()()(tftfttf为函数f(t)在时间区间],[ttt上的相对改变量；如果f(t)可微，则定义极限)()()()()(lim0tftftfttfttft为函数f(t)在时间点t的瞬时增长率。对指数函数rteAy0而言，由于reAreAydtdyrtrt00，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。5这样，关系式rtteAA0（*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（*）式来描述。因此，指数函数rteA0中的“r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。如果当函数rteA0中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。例3某国现有劳动力两千万，预计在今后的50年内劳动力每年增长2%，问按预计在2056年将有多少劳动力。由于未来值A0=2000，r=0.02，t=50，所以，50年后将有劳动力（万）56.543671828.2200020005002.050eA例4某机械设备折旧率为每年5％，问连续折旧多少年，其价值是原价值的一半。若原价值为A0，经t年后，价值为021A，这里r=-0.05。由teAA05.00021，若取6931.02ln，易算出t=13.86（年），即大约经过13.86年，机械设备的价值是原价值的一半。级数应用举例银行通过存款和放款“创造”货币问题商业银行吸收存款后，必须按照法定的比率保留规定数额的法定准备金，其余部分才能用作放款。得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保留法定准备金，其余部分作为放款。如此继续下去，这就是银行通过存款和放款“创造”货币。设R表示最初存款，D表示存款总额（即最初存款“创造”的货币总额），r表示法定准备金占存款的比例，r1。当n趋于无穷大时，则有rRrRrRrRrRRDn)1(11)1()1()1(2若记rKm1它称为货币创造乘数。显然，若最初存款是既定的，法定准备率r越低，银行存款和放款的6总额越大。这是一个等比级数问题。例如设最初存款为1000万元，法定准备率20%，求银行存款总额和贷款总额。这里，R=1000，r=0.2，存款总额D1由级数1000+1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+…决定，其和)(50002.01000)2.01(110001万元D贷款总额D2由级数1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+…决定，显然D2=4000（万元）投资费用这里，投资费用是指每隔一定时期重复一次的一系列服务或购进设备所需费用的现在值。将各次费用化为现值，用以比较间隔时间不同的服务项目或具有不同使用寿命的设备。设初期投资为p，年利率为r，t年重复一次投资。这样，第一次更新费用的现值为rtpe,第二次更新费用的现值为rtpe2，以此类推。如此，投资费用D为下列等比级数之和：nrtrtrtpepepepD2于是11rtrtrtepeepD例如，建造一座钢桥的费用为380000元，每隔10年需要油漆一次，每次费用为40000元，桥的期望寿命为40年；建造一座木桥的费用为200000元，每隔2年需油漆一次，每次费用为20000元，其期望寿命为15年，若年利率为10%，问建造哪一种桥较为经济？钢桥费用包括两部分：建桥的系列费用和油漆的系列费用。对建钢桥，p=380000，r=0.1，t=40，因440)1.0(tr，则建桥费用1114444241epeeppepepD查表知598.544e，于是78.3870901598.54598.543800001D同样，油漆钢桥费用8.6327817183.27183.240000140000101.0101.02eeD故建钢桥总费用的现值)(6.45036921元DDD类似的，建木桥费用2574401482.4482.40000201000020511.0511.03eeD油漆木桥费用8.11024311.22141.22140002010002021.021.04eeD故建木桥总费用的现值)(8.367683435元DDD由计算知