扩展的单方程计量经济模型理论及方法

第七章扩展的单方程计量经济模型理论及方法在上一章讨论了经典的单方程计量经济模型理论及方法。讨论局限于常参数、线性、揭示变量间因果关系的单方程模型，在模型估计过程中仅利用样本信息，主要依靠对经济理论与行为规律的理解确定模型的结构形式。本章将讨论各种扩展模型，主要包括将常参数扩展为变参数的模型、将线性关系扩展为非线性关系模型、将因果关系扩展为非因果关系回归模型、将仅利用样本信息的估计方法扩展为利用非样本信息的估计方法、将主要依靠经济理论和行为规律确定模型结构形式扩展为利用数据关系确定模型的结构形式。当然这里介绍的远不是全部。如在模型结构方面还有分布滞后模型、无参数回归模型等；在估计方法方面还有局部回归估计、核权估计、广义矩估计等；在样本数据方面还有利用平行数据作为样本数据模型、被解释变量观测值为离散数据的离散选择模型、被解释变量观测值受到限制的受限被解释变量模型、被解释变量观测值为持续时间的持续被解释变量模型等。3．1变参数单方程计量经济模型在第二章里，形式如下的消费模型ntbxayttt,,2,1,，认为参数在样本期内是常数，即认为产生样本观测值的经济结构保持不变，解释变量与被解释变量的影响保持不变，而实际问题中变参数情形是常发生的。（1）确定性变参数模型考虑变参数模型ntxbayttttt,,2,1,（3.1.1）若ttba,是确定性变量，但非随机变量，则称该模型为确定性变参数模型。常见下列类型：（1）参数随某变量呈规律性变化若有ttttpbbbpaaa1010,，此处1010,,,bbaa是常数，即表示模型（3.1.1）的参数随着某变量变化。在实际问题中，p往往是政策变量。如对消费模型ntbxayttt,,2,1,，从经济学角度，参数b表示边际消费倾向，边际消费倾向与边际储蓄倾向之和应为1，而边际储蓄倾向与当时的利率相关，所以边际消费倾向也随利率变化，此时p表示利率。于是ntxpbxbpaaytttttt,,2,1,1010（3.1.2）因为p为确定性变量，与随机误差项不相关，可用普通最小二乘法估计，得到参数估计量1010,,,bbaa，可通过检验10,bb是否为零来检验变量p是否对ba,有影响。(2)参数作间断性变化若ttttpbbbpaaa1010,，其中ntnpntptt00,11,0（3.1.3）表示参数在0n发生了突变。在实际问题中往往表示政策的实施所产生的影响。分三类情况：（2．1）0n已知。则可分段建立模型，分段估计模型。将模型改写为0100,,2,1,ntxbayttt，nntxbbaayttt,,1,)()(021010（3.1.4）分别估计该两方程，得到参数估计量1010,,,bbaa。也可以建立一个统一模型nntxDbbDaayttttt,,1,)()(021010（3.1.5）其中D为虚变量，其样本观测值是ntnntD00,11,0，直接估计（3.1.5），得到参数估计量1010,,,bbaa。上述对该模型的处理可推广到多阶段和多解释变量情形。（2．2）0n未知，但)()(21ttVarVar。此时一般可选择不同的0n按照2．1的方法理想试估计，从多次试估计中选择最优者，选择的标准只使（3.1.4）中两段方程的残差平方和最小。（2．3）0n未知，但)()(21ttVarVar。此时将0n看成待估参数，模型采用（3.1.4）的形式，假定),0(~),,0(~222211NNtt，且不存在自相关。1973年Goldfeld和Quandt提出极大似然方法进行估计，构造了关于0n的对数似然函数为nntttntttxbbaayxbaynnnnnbL1210101222002120100200))()((21)(21ln)(ln)2ln(2,ln取遍n,,2,1作为0n的可能值，代入对数似然函数，选择使得对数似然函数最大的0n值作为突变点的估计值。3．随机变参数模型对于模型（3.1.1），若参数ttba,不仅是变量，而且也为随机变量，则称模型（3.1.1）为随机参数模型。有下列几类型：（3．1）参数在一常数附近随机变化：若随机参数只在一常数附近随机变化，即ttttbbaa,，其中tt,为具有零均值的随机项。则有tttwbxay（3.1.6）其中tttttxw，满足0)(,0tttwxEEw，EwVart)(22222222)()()()(tttttttttxxEEEx。显然，模型（3.1.6）具有异方差性，且已推导出随机误差项的方差与解释变量间的函数关系，所以可采用上一章第六节给出的估计方法，如加权最小二乘法。（3．2）参数随某变量作规律性变化，且受随机因素影响：此时参数可表示为ttttttpbbpaa,，这样模型（3.1.1）可表示为ntxxpbxpayttttttttt,,2,1,（3.1.7）可证明（3.1.7）为一异方差性的多元线性模型，也采用上一章第六节给出的估计方法，如加权最小二乘法。（3．3）自适应回归模型：若模型（3.1.1）中参数ta可表示为11tttaa，其中bbVarEttt,)(,0)(2，则称该模型为自适应回归模型。它是由影响ta的变量具有一阶自相关性引起的。如tttttpppaa10,，则tttpaa10，当1时就具有高度的自相关性，从而出现自适应回归模型。现在将11tttaa代入（3.1.1）得到ntbxayttttt,,2,1,11，选取aan1，则有11111,,,nnnnnnnaaaaaa，这样模型可化为ntbxaytnnttt,,2,1,11，这相当于22)(,)(,tttttVarVarwbxay以及2121222332)1(1)1(2)1(1)(nnnnwCov，且22。当已知时，采用广义最小二乘法估计模型参数；当未知时，可选择不同的值试估计，选择拟合最优者。自适应回归模型的另一形式是a不变，b具有一阶自相关性，即ntbbxbayttttttt,,2,1,,11。该模型同样具有代表性，如实际问题中，在消费方程里tb表示边际消费倾向，在生产方程里tb表示某种投入要素的产出弹性，前面已知影响边际消费倾向的利率、影响投入要素产出弹性的投入要素的比例，都具有一阶自相关性，从而tb具有一阶自相关性。假定22)(,)1()(ttVarVar，其中10，为简单起见，假设,均为单位矩阵，取bbn1。类似于上述模型的推导和估计过程，可得到该模型的估计。3．2非线性单方程计量经济模型1．非线性单方程计量经济模型概述（1）解释变量非线性问题：实际经济问题多呈现以非线性关系，通常利用一定的变换化为线性问题处理。（2）可以化为线性的包括参数非线性问题：模型一旦包含参数非线性，一般情况下通过简单的变换难以化为线性问题，但考虑非线性问题研究的困难，还应该尽量化为线性问题处理。（3）不可以化为线性的包含参数非线性问题：其一般表达式为niBXfyiii,,2,1,),(，其中f为非线性函数，nbbbBxxxXTkkiiii,),,,(),,,,(2121为样本容量。如对生产函数，假定随机误差项直接服从正态分布，在引入随机误差项后模型化为：Cobb-Dauglass生产函数模型LAKQ以及不变替代弹性生产函数模型121LKAQ，此为典型的非线性模型。对这类模型，上一章的模型估计方法不再适应，必须用新的方法，如非线性最小二乘法及非线性极大似然函数方法。2．非线性普通最小二乘法（1）普通最小二乘法原理：对非线性模型niBXfyiii,,2,1,),(，若随机误差项服从零均值、同方差的正态分布，且无序列相关。将该非线性模型写为nibxfyiii,,2,1,),(。假定参数估计值已经得到，则应使得残差平方和最小，即niiibxfyBS12)),(()(最小。该式取得极小值的必要条件为0bddS，即0),()),((1niiiibdbxdfbxfy。若用矩阵表示得到模型为NBXfY),(，残差平方和表示为)),(()),(()(BXfYBXfYBST，该式取得极小值的必要条件为0)),(()),((BXfYBXfBT。（2）高斯—牛顿（Gauss-Newton）迭代方法：给定参数估计值b的初始值)0(b，将式niiibxfyBS12)),(()(中的非线性进行Taylor展开，取一阶近似有)(),(),(),()0()0()0(bbbdbxdfbxfbxfbiii，令bdbxdfbzii),()(，从而niiiniiiiniiibbzbybbbzbxfybxfyBS12)0()0(12)0()0()0(12))()(()))((),(()),(()(（*）其中)0()0()0()0()(),()(bbzbxfybyiiii。这样，给出参数估计值b的初始值)0(b，可求出上式中的)(),(~)0()0(bzbyii确定的观测值，也即极值问题化为上式。若有一线性模型满足iiibbzby)()(~)0()0(，易求得其参数b的普通最小二乘法估计值)1(b，该估计值使残差平方和niiibbzbybS12)1()0()0()1())()(()(最小，该式与（*）式比较满足该式取得最小的估计值同时也为使（*）式取得最小的b。换句话说，线性模型的普通最小二乘法估计值就为（*）式的一近似值，记其为参数估计值b的第一次迭代值，将)1(b作为新的给定值，对式niiibxfyBS12)),(()(中的非线性在)1(b处进行Taylor展开，取一次近似值构造一新的模型，仿照上述得到第二次迭代值)2(b，一直下去直到收敛。简述其步骤如下：Step1给出参数估计值b的初始值)0(b，将),(bxfi在)0(b进行Taylor展开，取一次近似值；Step2求)0(),(biibdbxdfz及)0()0(),(~bzbxfyyiiii的样本观测值；Step3利用普通最小二乘法估计模型iiibzby)(~，得到b的估计值)1(b；Step4用)1(b代替Step1中的)0(b，重复上述过程，直至收敛。3．牛顿—若福森（Newton-Raphson）迭代方法：给出参数估计值b的初始值)0(b，直接对式niiibxfyBS12)),(()(在)0(b进行Taylor展开，取二次近似值，即2)0(22)0()0()()(21)()()()()0()0(bbbdbSdbbbdbdSbSbSbb，使该式取得极小值的条件为0)(bdbdS。从中解得)0()0()()(122)0(bbbdbdSbdbSdbb，此处得到的b不是最后的参数估计值，将其作为第一次迭代值)1(b，再重复进行上述过程，直至收敛。上面两种方法都存在一问题，即如何保证迭代岁逼近的总