第一章一元线性回归与证券投资回归分析

第一章一元线性回归与证券投资回归分析在这一章，我们通过三方面的介绍引导读者进入本书。一是介绍两个证券投资回归分析模型，它们在理论上成熟，应用广泛，能引起读者兴趣。二是介绍一元线性回归的统计理论与方法，为不熟悉这方面的读者作理论铺垫。三是介绍与本书配套的软件在算例中的使用。一元线性回归模型是从求解一元线性经验公式XY10ββ+=引起的，这是一个矛盾方程组。为什么会矛盾呢？这个经验公式只有两个未知的待定参数0β和1β，论说只要有两次观测就可以求解了，可是实际问题里两次观测很难反映整体趋势。要反映整体趋势，就必须多观测一些，多取一些数据。多取了观测数据，方程个数多了，就是矛盾方程组。求解矛盾方程组，要体现照顾大多数的原则，于是产生了最小二乘法，使误差平方和达到最小。矛盾方程组可以表述为niXYii,,2,1,10L=+≈ββ，也可以表述为+=0βiYiiXεβ+1,。后者可以引入概率统计的理论成果，为回归分析所采用。这里ni,,2,1L=iε是随机变量，且本章假定，或者。引入了随机变量，就可以作参数估计（点估计、区间估计）、假设检验。在一元回归情形，估计值为2)(,0)(σεε==iiDE),0(~2σεNiXXXYSS=1ˆβ，XY10ˆˆββ−=，其中∑==niiXnX11，∑==niiYnY11，∑=−−=niiiXYYYXXS1))((，只需在里将Y换为XXSXYSX。回归模型是否成立，需要作假设检验，这需要假定。此时，～),0(~2σεNi~iY),(210σββiXN+1ˆβ),(21XXSNσβ，于是可以对假设0:10=βH作出检验。如果要进一步考察回归效果，可以看全相关系数R，同时看拟合效果图。实际回归计算还需要注意数据的单位，一般采用科学计数法，去掉10的幂，使参与计算的数据保留一位整数，至多两位整数，这对于避免计算溢出有所帮助。如果数据变化严重偏离线性变化，还需要作数据变换。DASC软件可以完成资本资产定价模型和下一章套利定价理论的计算。1第一节证券价值与风险回归评估本节通过简要介绍两个证券分析模型引进一元线性回归问题。它们分别研究证券的价值评估与证券投资风险。研究侧重点不一样，但都离不开线性回归，而且线性回归的质量对模型的成败起着关键作用。一、普通股票价值评估的每股盈余回归评估法证券价格及其波动是投资者最关心和最敏感的问题，投资者一般应该先研究评估有价证券的价值有多大。如果证券价值超过其市场价格，可以买入；如果证券价值低于其市场价格，应该卖出。这里所谓证券价值，是指各种证券的真实价值，也就是单位证券所应当有的最合理的价格。证券按每期收益固定与否可分为两大类。一是每期收益固定不变的证券，如政府债券、公司债券及优先股票，其价值评估比较简单，这里不作讨论。二是普通股票，其每期收益变化大，折现率不易确定，价值评估困难而复杂。普通股票价值评估主要有三种方法，即资产价值法（又称净值法），折现法（又称真值法）和每股盈余评估法。资产价值法通常用于企业破产之时，或发行公司的资产即为证券等，一般较少使用。折现法是利用某一折现率将股东未来各期可收到的股利或发行公司未来各期的盈余折为现值而评估普通股票价值的方法。它所使用的折现公式是各种金融证券折现时普遍使用的：()L++++++=+=∑∞=3322110)1()1(11kdkdkdkdtttυ（1.1.1）式中为期末每股现金股利，为折现率，则tdtk0υ为普通股每股的目前价值。此时是对股利折现，故称股利模式。我们也可以对每股盈余加以折现。到底是对股利折现还是对每股盈余折现，折现率如何确定，还需要一些复杂的假设和数学推导，这里我们并不深入讨论。我们需要深入讨论的是每股盈余评估法。它是以普通股的本益比和每股盈余之乘积来评估股票价值的方法，公式为：iiiieeυυ=（1.1.2）式中iυ为某种股票在第i期时的价值，为第i期该股票每股正常盈余，ieiieυ称为该股的价值盈余比。从形式上看，（1.1.2）式是同义反复，但实际上该式应理解为将股票的本益比与每2股盈余相乘，即为该股价值。现在问题是如何分别估计本益比iieυ与每股盈余。ie要估计本益比，可从（1.1.1）式考虑。股利是变量，不妨设它也按一定比率增长，即。于是td(ttgdd+=10)()()∑∞=++=1011tttikgdυ两边同除以，并注意上式右边是一无穷递缩等比数列，公比为iekg++11，则有gkgedkgedeittiii−+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∑∞=111010υ（1.1.3）于是我们看到影响每股本益比的因素有三个，付息率ied0，股利（或盈余）增长率，折现率。例如，如果某公司付息率为75%，折现率为10%，盈余增长率为5%，则其股票本益比为gk25.1505.01.005.0110075=−+⋅=iieυ研究数据表明，影响股票本益比最主要的因素是盈余增长率。估好了本益比iieυ，现在需要估计每股盈余。每股盈余的历史数据是有的，问题是要作出其预测。常用来预测每股盈余的方法有一元线性回归法、指数平滑法、估测纯益率法、比较法等。我们这里就引入了最常用的一元线性回归法。ie要对每股盈余（现在为了回归模型符号统一，我们不记而记）作出回归预测，就要选择自变量。常用的自变量有销售额（单位：元），或直接选年度序号()作自变量。也可以选上一年的自身数据。将数据代入回归模型iYieiYiXn,,2,1LnibXaYiii,,1,L=++=ε（1.1.4）可以估计出参数。然后在模型中代入新的，就可以作出的预测。下面给出算例。ba,iXiY算例1.1.1台积电每股赢余对销售额回归、对年度回归、自回归已知台积电(TSMC)销售额与每股盈余有12个历史数据，要求进行每股盈余的回归预3测。表1.1.1.1台积电(TSMC)12年的每股盈余与销售额（单位Y:元；X:百万元）年度T每股盈余Y销售额X年度T每股盈余Y销售额X19911.34.48020619974.443.93562719922.336.51076619982.5450.23300819936.9812.33392319993.2473.131206199410.8619.33607120005.71166.228420199510.4828.76599120010.83125.88800319967.3139.40017920021.14160.961329进入我们的DASC软件，点击回归分析按钮，就进入了回归分析主菜单。如下图：图1.1.1.1可以看到软件主菜单由三个窗口组成。左上窗口（A区）负责输入、读入、显示原始数据矩阵，可以同时处理5个数据矩阵；右边窗口（B区）输入、读入、显示计算控制参数，包括基本控制参数和过程控制参数；左下窗口（C区）负责显示计算过程、提示计算控制参数意义、显示计算结果，包括文字和图像。选择线性回归子菜单，再选择一元线性回归例1.1.1项，程序自动选入的是例数据文件，以及与例数据配套的计算控制参数。点击开始计算，计算结果就在左下窗口显示出来了。下面是第一次回归，Y对X回归，自变量选的是销售额（百万元）。回归方程Y=6.0223+-0.0207X14残差平方和:119.919回归平方和:16.1369误差方差的估计:11.9919标准差=3.46293回归方程整体显著性F检验,H0:b0=b1=0，显著性水平0.05F统计量:1.48022，F临界值F(1,11)：4.8443全相关系数R:0.3444回归系数逐一显著性t检验,H0:b1=0t临界值t(11)：1.79591回归系数b1的t值:3.3166预测的自变量数据来自A区最后的1个数据：200.0000预测结果为：1.879162打印拟合数据：Y的观测值Y的拟合值差值1.30005.9295-4.62952.33005.8874-3.55746.98005.76681.213210.86005.62175.238310.48005.42645.05367.31005.20612.10394.40005.1121-0.71212.54004.9817-2.44173.24004.5073-1.26730.83003.4144-2.58441.14002.6879-1.54795.71002.57883.1312计算结束。下面我们打印出软件C区显示的Y的观测值与Y的拟合值曲线。一般来说，一元线性回归不大可能做到精确拟合，它所反映的是基本的整体趋势。图1.1.1.2如果取横轴为等距离的序号1，2，3，…，12，则显示的图像如图1.1.1.3。此时拟合5线不再一定是直线。结合序号的图像可以推广到多元回归，为本书所广泛采用。下面我们进行第二次回归，这次选的是Y对年份数1，2，…，12回归。为节省篇幅，就不打印计算结果，仅列出图像图1.1.1.3。使用DASC软件可以看到演算结果。图1.1.1.3第三次回归选的自变量是上一年度每股盈余数，形成所谓自回归模型NibYaYiii,,1,1L=++=−ε注意此时参与计算的实际观测数据要少一个，只有11个点。图1.1.1.4显示拟合图像，由于全相关系数已经大为提高，所以拟合效果也大为提高。通过本例三次回归，读者不仅可以了解每股盈余的三种回归法，而且对于这个回归软件的使用也基本了解了。本软件使用的是电子统计数表查、t的临界值。它可以更精确，更随意，比如能查到FF0.9247（n,m）等，所以本书没有附书面统计数表。图1.1.1.46二、资本资产定价模型（CAPM）与证券投资风险回归分析股票投资风险一般指投资的未来收益的不确定性，即实际收益率可能偏离预期收益率的幅度。1952年，芝加哥大学的H.Markowitz教授在其发表的《资产组合选择》一文中，首次采用股票收益率历史数据的方差来作为度量投资风险的指标。他将投资风险分为系统风险与非系统风险两类。系统风险如购买力风险、利率风险、政策风险、市场风险等，与证券市场的整体运动相关联，不能通过投资分散化加以消除。非系统风险如公司破产风险、流动性风险、违约风险、管理风险等，可以通过投资分散化即同时投资于多种股票而加以削弱。在投资者总是期望效用最大化的假设基础上，Markowitz建立起投资决策的均值（收益）—方差（风险）模型。在这个模型里，复杂的投资决策问题被简化为均值、方差的二维选择，即在相同的期望收益条件下，投资者应选择风险最小的证券组合；而在相同的投资风险下，投资者应选择预期收益率最大的证券组合。W.Sharpe教授在Markowiz均值—方差模型基础上建立了均衡的证券定价理论，即著名的资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel），简称CAPM。它可以简要推导如下（仔细的经济假设这里未能述及）。设证券A、B的收益率分别为与，其方差（风险）分别为ArBr2Aσ与，它们的投资组合2BσP的收益率为BBAAPrxrxr+=（1.1.5）这里1=+BAxx，Ax与分别为BxA与B的投资比例。使用概率论基本公式：，，则该组合的期望收益率与风险为：()bEYaEXbYaXE+=+()(YXabCovDYbDXabYaXD,222++=+))()()(BBAAprExrExrE+=（1.1.6）BAABBABBAApxxxxσσρσσσ222222++=（1.1.7）当Ar与完全正相关（Br1=ABρ）或完全负相关（1−=ABρ）时，BBAApxxσσσ±=（1.1.8）在平面直角坐标系()()pprE,σ上，A，B是两个固定的点，它们的横坐标代表它们的风险，纵坐标代表它们的收益。（1.1.6）与（1.1.8）结合，令参数Ax=θ,θ−=1Bx，则投资组合P的收益与风险随θ变化，为经过A，B两点的直线段。7图1.1.2.1图1.1.2.2线段与轴的交点为无风险组合的收益。若与不相关，)(prEFArBr0=ABρ，则[]⎪⎩⎪⎨⎧−+=−+=)10.1.1()1()9.1.1()()1()()(212222BApBAprErErEσθσθσθθ为一条经过A、B的曲线。此时一般不可能达到无风险收益，但