平面向量的数量积及运算律(4篇)

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参考资料,少熬夜!平面向量的数量积及运算律(4篇)【导读指引】三一刀客最漂亮的网友为您整理分享的“平面向量的数量积及运算律(4篇)”文档资料,供您学习参考,希望此文档对您有所帮助,喜欢就分享给朋友们吧!平面向量的数量积及运算律1教学目的:1掌握平面向量数量积运算规律;2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;3掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题教学重点:平面向量数量积及运算规律教学难点:平面向量数量积的应用授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪内容分析:启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质教学过程:一、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量与,作=,=,则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫与的夹角2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角是θ,则数量叫与的数量积,记作,即有,(0≤θ≤π)并规定与任何向量的数量积为03.“投影”的概念:作图定义:叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当时投影为||;当时投影为4.向量的数量积的几何意义:数量积等于的长度与在方向上投影的乘积5.两个向量的数量积的性质:设、为两个非零向量,是与同向的单位向量=;=0当与同向时,=||||;当与反向时,特别的=||2或参考资料,少熬夜!;6.判断下列各题正确与否:若=,则对任一向量,有=0(√)若,则对任一非零向量,有0(×)若,=0,则=(×)若=0,则、至少有一个为零(×)若,=,则=(×)若=,则=当且仅当时成立(×)对任意向量、、,有(×)对任意向量,有2=||2(√)二、讲解新课:平面向量数量积的运算律1.交换律:=证:设,夹角为,则=|||,∴=2.数乘结合律:()证:若0,(,,,若,)=|||3.分配律:(+=在平面内取一点o,作=,=,=,∵+(即)在方向上的投影等于、在方向上的投影和,即|+∴|||+1+||||+)=+即:(++说明:(1)一般地,(•)≠(•)(2)•=•,≠=参考资料,少熬夜!(3)有如下常用性质:2=||2,(+)(+)=•+•+•+•(+)2=2+2•+2三、讲解范例:例1已知、都是非零向量,且+3与7垂直,与7垂直,求与的夹角解:由(+3)(72=0①(+82=0②两式相减:=2代入①或②得:2=2设、的夹角为,则例2求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解:如图:abcd中,,,=∴||2=而=∴||2=∴||2+||2=2=例3四边形abcd中,=,=,=,=,且•=•=•=•,试问四边形abcd是什么图形?分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解:四边形abcd是矩形,这是因为:一方面:∵+++=0,∴+=-(+),∴(+)2=(+)2即||2+2•+||2=||2+2•+||2由于•=•,∴||2+||2=||2+||2①同理有||2+||2=||2+||2②由①②可得||=||,且||=||即四边形abcd两组对边分别相等∴四边形abcd是平行四边形另一方面,由•=•,有(-)=0,而由平行四边形abcd可得=-,代入上式得•(2)=0即•=0,∴⊥也即ab⊥bc综上所述,四边形abcd是矩形评述:(1)在四边形中,,,,是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即+++=,应注意这一隐含条件应用;(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习:1下列叙述不正确的是()参考资料,少熬夜!a向量的数量积满足交换律b向量的数量积满足分配律c向量的数量积满足结合律d•是一个实数2已知||=6,||=4,与的夹角为60°,则(+2)•(-3)等于()a72b-72-363||=3,||=4,向量+与-的位置关系为()a平行b垂直c夹角为不平行也不垂直4已知||=3,||=4,且与的夹角为150°,则(+)2=5已知||=2,||=5,•=-3,则|+|=______,|-|=6设||=3,||=5,且+λ与-λ垂直,则λ=参考答案:1c2b3b425-1+256±五、小结通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的5个重要性质解决相关问题六、课后作业1已知||=1,||=,且(-)与垂直,则与的夹角是()30°45°2已知||=2,||=1,与之间的夹角为,那么向量=-4的模为c63已知、是非零向量,则||=||是(+)与(-)垂直的()充分但不必要条件必要但不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4已知向量、的夹角为,||=2,||=1,则|+|•|-|=5已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么•=6已知⊥、与、的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则(+2-)2=______7已知||=1,||=,(1)若∥,求•;(2)若、的夹角为60°,求|+|;若-与垂直,求与的夹角8设、是两个单位向量,其夹角为60°,求向量=2+与=2-3的夹角参考资料,少熬夜!9对于两个非零向量、,求使|+t|最小时的t值,并求此时与+t的夹角参考答案:1d2b3c45–636117(1)-(2)8120°9七、板书设计(略)八、课后记及备用资料:1常用数量积运算公式:在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即(+)2=2+2•+2,(-)2=2-2•+2上述两公式以及(+)(-)=2-2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2应用举例例1已知||=2,||=5,•=-3,求|+|,|-|解:∵|+|2=(+)2=2+2•+2=22+2×(-3)+52=23∴|+|=,∵(|-|)2=(-)2=2-2•+2=22-2×(-3)×52=35,∴|-|=.例2已知||=8,||=10,|+|=16,求与的夹角θ(精确到1°)解:∵(|+|)2=(+)2=2+2•+2=||2+2||•||cosθ+||2∴162=82+2×8×10cosθ+102,∴cosθ=,∴θ≈55°平面向量的数量积及运算律2(第二课时)一、教学目标1.掌握平面向量的数量积的运算律,并能运用运算律解决有关问题;2.掌握向量垂直的充要条件,根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直;由两个向量垂直确定参数的值;3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;5.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质及运算律的应用,培养学生的应用意识。二、教学重点平面向量的数量积运算律,向量垂直的条件;教学难点平面向量的数量积的运算律,以及平面向量的数量积的应用。参考资料,少熬夜!三、教学具准备投影仪四、教学过程1.设置情境上节课,我们已经给出了数量积的定义,指出了它的(5)条属性,本节课将研究数量积作为一种运算,它还满足哪些运算律?2.探索研究(1)师:什么叫做两个向量的数量积?生:(与向量的数量积等式的模与在的方向上的投影的乘积)师:向量的数量积有哪些性质?生:(1)(2)(3)(4)(5)(6)师:向量的数量积满足哪些运算律?生(由学生验证得出)交换律:分配律:师:这个式子成立吗?(由学生自己验证)生:,因为表示一个与共线的向量,而表示一个与共线的向量,而与一般并不共线,所以,向量的内积不存在结合律。(2)例题分析例1求证:(1)(2)分析:本例与多项式乘法形式完全一样。证:注:(其中、为向量)答:一般不成立。例2已知,,与的夹角为,求.解:∵注:与多项式求值一样,先化简,再代入求值。例3已知,且与不共线,当且仅当为何值时,向量与互相垂直。分析:师:两个向量垂直的充要条件是什么?生:解:与互相垂直的充要条件是即∵∴参考资料,少熬夜!∴∴当且仅当时,与互相垂直。3.演练反馈(投影)(1)已知,为非零向量,与互相垂直,与互相垂直,求与的夹角。(2),为非零向量,当的模取最小值时,①求的值;②求证:与垂直。(3)证明:直径所对的圆周角为直角。参考答案:(1)(2)解答:①由当时最小;②∵∴与垂直。(3)如图所示,设,,(其中为圆心,为直径,为圆周上任一点)则∵,∴即圆周角4.总结提炼(l)(2)向量运算不能照搬实数运算律,如结合律数量积运算就不成立。(3)要学会把几何元素向量化,这是用向量法证几何问题的先决条件。(4)对向量式不能随便约分,因为没有这条运算律。五、板书设计课题:1.数量积性质2.数量积运算律例题123演练反馈总结提炼平面向量的数量积及运算律3(第一课时)一、教学目标1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题;参考资料,少熬夜!3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识。二、教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用教学难点平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解。三、教学具准备直尺,投影仪四、教学过程1.设置情境师:我们学过功的概念:即一个物体在力的作用下产生位移,那么力所做的功:,其中表示一个什么角度?表示力的方向与位移的方向的夹角。我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量、,来规定的含义。2.探索研究(l)已知两个非零向量和,在平面上任取一点,作,,则叫做向量与的夹角。你能指出下列图中两向量的夹角吗?①与的夹角为,②与的夹角为,③与的夹角是,④与的夹角是.(2)下面给出数量积定义:师:(板书)已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量,叫做向量与的数量积或(内积)记作即并规定师:在平面向量的数量积的定义中,它与两个向量的加减法有什么本质区别。生:向量的数量积结果是一个数量,而向量的加法和减法的结果还是一个向量。师:你能从图中作出的几何图形吗?表示的几何意义是什么?生:如图,过的终点作的垂线段,垂足为,则由直角三角形的性质得:所以叫做向量在向量上的投影,叫做在上的投影。师:因此我们得到的几何意义:向量与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的积。注意:1°投影也是一个数量,不是向量。2°当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q=0°时投影为|b|;当q=180°时投影为-|b|。向量的数量积的几何意义:数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。参考资料,少熬夜!(3)下面讨论数量积的性质:(每写一条让学生动手证一条)设,都是非零向量,是与的方向相同的单位向量,是与的夹角,则①②③当与同向时,,当与反向时,。特别地④⑤3.演练反馈(投影)(通过练习熟练掌握性质)判断下列各题是否正确(1)若,则对任意向量,有()(2)若,则对任意非零量,有()(3)若,且,则()(4)若,则或()(5)对任意向量有()(6)若,且,则()参考答案:(l)√,(2)×,(3)×,(4)×,(5)√,(6)×.4.总结提炼(l)向量的数量的物理模型是力的做功。(2)的结果是个实数(标量)(3)利用,可以求两向量夹角,尤其是判定垂直。(4)二向量夹角范围.(5)五条属性要掌握。五、板书设计课题1.“功”的抽象2.数量积的定义3.(5)条性质(1)(2)(3)(4)(5)4.演练反馈5.总结提炼平面向量的数量积及运算律4教学目的:1掌握平面向量的数量积及其几何意义;2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂参考资料,少熬夜!直的问题;4掌握
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