潘省初计量经济学——第七章

第七章时间序列分析(TimeSeriesAnalysis)第一节时间序列分析的基本概念经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉及的变量的均值和方差是常数，不随时间而变。然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间序列变量并不满足这一假设，从而产生所谓的“伪回归”问题(‘spurious’regressionproblem)。为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统估计方法的改进建议，其中最重要的两项是对变量的非平稳性(non-stationarity)的系统性检验和协整(cointegration)。协整协整分析被认为是上世纪八十年代中期以来计量经济学领域最具革命性的进展。简单地说，协整分析涉及的是一组变量，它们各自都是不平稳的（含义是随时间的推移而上行或下行），但它们一起漂移。这种变量的共同漂移使得这些变量之间存在长期的线性关系，因而使人们能够研究经济变量间的长期均衡关系。如果这些长时间内的线性关系不成立，则对应的变量被称为是“非协整的”。误差修正模型一般说来，协整分析是用于非平稳变量组成的关系式中长期均衡参数估计的技术。它是用于动态模型的设定、估计和检验的一种新技术。此外，协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估计，这是因为短期参数的估计可以通过协整方法使用长期参数估计值，采用的模型是误差修正模型(errorcorrectionmodel)。在介绍上述方法之前，下面先介绍所涉及的一些术语和定义。一．平稳性（Stationarity）1.严格平稳性(strictstationarity)如果一个时间序列Xt的联合概率分布不随时间而变，即对于任何n和k，X1,X2,…Xn的联合概率分布与X1+k,X2+k,…Xn+k的联合分布相同，则称该时间序列是严格平稳的。由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们用随机变量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和协方差代替之，即所谓的“弱平稳性”。2.弱平稳性(weakstationarity)一个时间序列是“弱平稳的”，如果：（1）均值E(Xt)=μ，t=1,2,…（7.1）（2）方差Var(Xt)=E(Xt-μ)2=σ2，t=1,2,…（7.2）（3）协方差Cov(Xt,Xt+k）=E[(Xt-μ)(Xt+k-μ)]＝rk，t=1,2,…，k≠0（7.3）3.平稳性和非平稳性通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳性。一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任何时间保持恒定，并且两个时期t和t+k之间的协方差仅依赖于两时期之间的距离（间隔或滞后）k，而与计算这些协方差的实际时期t无关，则该时间序列是平稳的。只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。例如，在图7.1中，某国的私人消费（CP）和个人可支配收入（PDI）这两个时间序列都有一种向上的趋势，几乎可以断定它们不满足平稳性条件（7.1），因而是非平稳的。图7.1某国私人消费和个人可支配收入，1960—1995年度数据单位：百万美元（1970年不变价）10000020000030000040000050000060000019601965197019751980198519901995CPPDI二．几种有用的时间序列模型1、白噪声（Whitenoise）白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满足:（1）E(εt)=0,对所有t成立；（2）Var(εt)=σ2，对所有t成立；（3）Cov(εt,εt+k)=0，对所有t和k≠0成立。白噪声可用符号表示为：εt～IID(0,σ2)（7.4）注：这里IID为IndependentlyIdenticallyDistributed（独立同分布)的缩写。2、随机漫步（Randomwalk）随机漫步是一个简单随机过程，由下式确定：Xt=Xt－1+εt（7.5）其中εt为白噪声。Xt的均值：E(Xt）=E(Xt-1+εt）=E(Xt－1)+E(εt)=E(Xt－1)这表明Xt的均值不随时间而变。为求Xt的方差，对（7.5）式进行一系列置换：Xt=Xt－1+εt=Xt－2+εt-1+εt=Xt－3+εt-2+εt-1+εt=……=X0+ε1+ε2+……+εt=X0+∑εt其中X0是Xt的初始值，可假定为任何常数或取初值为0，则2110)()()(tVarXVarXVarttttttt这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条件（7.2）不满足，因此，随机漫步时间序列是非平稳时间序列。可是，若将（7.5）式Xt=Xt－1+εt写成一阶差分形式：ΔXt=εt（7.6)这个一阶差分新变量ΔXt是平稳的，因为它就等于白燥声εt，而后者是平稳时间序列。3、带漂移项的随机漫步(Randomwalkwithdrift)Xt=μ+Xt－1+εt（7.7）其中μ是一非0常数，εt为白燥声。μ之所以被称为“漂移项”，是因为（7.7）式的一阶差分为ΔXt=Xt－Xt-1=μ+εt这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于μ的符号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序列也是非平稳时间序列。4、自回归过程随机漫步过程（7.5）（Xt=Xt－1+εt）是最简单的非平稳过程。它是Xt=φXt－1+εt（7.8）的特例，（7.8）称为一阶自回归过程(AR(1))，该过程在－1＜φ＜1时是平稳的，其他情况下，则为非平稳过程。更一般地，（7.8）式又是Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt（7.9）的特例，（7.9）称为q阶自回归过程(AR(q))。可以证明，如果特征方程1－φ1L－φ2L2－φ3L3－……－φqLq=0（7.10）的所有根的绝对值均大于1，则此过程（7.9）是平稳的，否则为非平稳过程。三．单整的时间序列（Integratedseries）从（7.6）可知，随机漫步序列的一阶差分序列ΔXt=Xt－Xt-1是平稳序列。在这种情况下，我们说原非平稳序列Xt是“一阶单整的”，表示为I(1)。与此类似，若非平稳序列必须取二阶差分(Δ2Xt=ΔXt－ΔXt-1)才变为平稳序列，则原序列是“二阶单整的”，表示为I(2)。一般地，若一个非平稳序列必须取d阶差分才变为平稳序列，则原序列是“d阶单整的”(Integratedoforderd)，表示为I(d)。由定义不难看出，I(0)表示的是平稳序列，意味着该序列无需差分即是平稳的。另一方面，如果一个序列不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则称为“非单整的”。第二节平稳性的检验平稳性检验的方法可分为两类：传统方法和现代方法。前者使用自相关函数(Autocorrelationfunction)，后者使用单位根(Unitroots)。单位根方法是目前最常用的方法，因此本节中，我们仅介绍单位根方法。一．单位根考察（7.8）式的一阶自回归过程，即Xt=φXt－1+εt（7.11）其中εt为白噪声，此过程可写成Xt－φXt－1=εt或（1－φL）Xt=εt（7.12）其中L为滞后运算符，其作用是取时间序列的滞后，如Xt的一期滞后可表示为L(Xt），即L(Xt）=Xt－1由上节所知，自回归过程Xt平稳的条件是其特征方程的所有根的绝对值大于1。由于这里特征方程为1－ΦL=0，该方程仅有一个根L=1/φ，因而平稳性要求－1＜φ＜1。因此，检验Xt的平稳性的原假设和备择假设为：H0：∣φ∣≥1Ha：∣φ∣＜1接受原假设H0表明Xt是非平稳序列，而拒绝原假设（即接受备择假设Ha）则表明Xt是平稳序列。实践中，上述原假设和备择假设采用如下形式：0:1:1aHH这是因为，首先，可以假设，因为绝大多数经济时间序列确实如此；其次，意味着是爆炸性的，通常不予考虑，这意味着备择假设实际上是。01tX01单位根检验方法的由来在Φ=1的情况下，即若原假设为真，则（7.11）就是随机漫步过程（7.5），从上节得知，它是非平稳的。因此，检验非平稳性就是检验Φ=1是否成立，或者说，就是检验单位根是否存在。换句话说，单位根是表示非平稳性的另一方式。这样一来，就将对非平稳性的检验转化为对单位根的检验，这就是单位根检验方法的由来。（7.11）式Xt=φXt－1+εt两端各减去Xt-1，我们得到Xt－Xt－1=ΦXt－1－Xt－1+εt即ΔXt=δXt－1+εt（7.13）其中Δ是差分运算符，δ=Φ－1。前面的假设H0：φ=1Ha：φ＜1可写成如下等价形式：H0：δ=0Ha：δ＜0在δ=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程是非平稳的。换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为Φ=1或δ=0。从而我们可以将检验时间序列Xt的非平稳性的问题简化成在方程（7.11）的回归中，检验参数Φ=1是否成立或者在方程（7.13）的回归中，检验参数δ=0是否成立。这类检验可用t检验进行，检验统计量为：或（7.14）其中，和分别为参数估计值和的标准误差，即这里的问题是，（7.14）式计算的t值不服从t分布，而是服从一个非标准的甚至是非对称的分布。因而不能使用t分布表，需要用另外的分布表。Φˆ1tSˆtSΦSSˆˆΦˆ()SSeˆ()SSe二．Dickey-Fuller检验（DF检验）迪奇（Dickey）和福勒（Fuller）以蒙特卡罗模拟为基础，编制了（7.14）中tδ统计量的临界值表，表中所列已非传统的t统计值，他们称之为τ统计值。这些临界值如表7.1所示。后来该表由麦金农（Mackinnon）通过蒙特卡罗模拟法加以扩充。表7.1Dickey-Fullerτ统计量临界值表取更小值的概率样本容量0.010.0250.050.100.900.950.9750.99无常数项无时间项(统计量τ)25-2.66-2.26-1.95-1.600.921.331.712.1650-2.62-2.25-1.95-1.610.911.311.662.08100-2.60-2.24-1.95-1.610.901.291.642.03250-2.58-2.23-1.95-1.620.891.291.632.01500-2.58-2.23-1.95-1.620.891.281.622.00∞-2.58-2.23-1.95-1.620.891.281.622.00有常数项无时间项(统计量τμ)25-3.75-3.33-3.00-2.62-0.370.000.340.7250-3.58-3.22-2.93-2.60-0.40-0.030.290.66100-3.51-3.17-2.89-2.58-0.42-0.050.260.63250-3.46-3.14-2.88-2.57-0.42-0.060.240.62500-3.44-3.13-2.87-2.57-0.43-0.070.240.61∞-3.43-3.12-2.86-2.57-0.44-0.070.230.60有常数项有时间项(统计量τT)25-4.38-3.95-3.60-3.24-1.14-0.80-0.50-0.1550-4.15-3.80-3.50-3.18-1.19-0.87-0.58-0.24100-4.04-3.73-3.45-3.15-1.22-0.90-0.62-0.28250-3.99-3.69-3.43-3.13-1.23-0.92-0.64-0.31500-3.98-3.68-3.42-3.13-1.24-0.93-0.65-0.32∞-3.96-3.66-3.41-3.12-1.25-0.94-0.66-0.33有了τ表，我们就可以进行DF检验了，DF检验按以下两步进行：第一步：对（7.13）式执行OLS回归，即估计△Xt=δXt-1+εt（7.15）得到常规tδ值。第二步：检验假设H0：δ=0Ha：δ＜0用上一步得到的tδ值与表7.1中查到的τ临界值比较，判别准则是：若tδτ，则接受原假设H0，即Xt非平稳。若tδ＜τ，则拒绝原假设H0，Xt为平