股票期权的性质

第九章股票期权的性质2010-7-132主要内容：1、讨论影响股票期权价格的一些因素。2、通过套利理论探讨欧式期权价格、美式期权价格和标的资产价格之间的关系。3、讨论美式期权是否应该提前执行。3本章结构9.1影响期权价格的因素9.2假设和符号9.3期权价格的上下限9.4看跌期权与看涨期权之间的平价关系9.5提前执行：不付股利股票的看涨期权9.6提前执行：不付股利股票的看跌期权9.7红利的影响49.1影响期权价格的因素有六种因素影响股票期权的价格：1、股票的现价，S02、执行价格，K3、到期期限，T4、股票价格的波动率，5、无风险利率，r6、期权有效期内预计发放的红利5股票价格和期权价格如果看涨期权在将来的某一时间执行，则其损益为股票价格与执行价格的差额，随着股票价格的上升，看涨期权的价值也就越大；随着执行价格的上升，看涨期权的价值就越小。对于看跌期权来说，由于其损益为执行价格与股票价格的差额，因此，看跌期权价值的变化刚好与看涨期权相反。6股票价格——欧式期权价格7执行价格——欧式期权价格8到期期限当期权的到期期限增加时，美式看跌期权和看涨期权的价值都会增加。这是因为对于其他条件相同但是到期日不同的两个期权而言，有效期长的期权其执行的机会不仅包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而且它的获利机会会更多。因此，有效期长的期权价值总是大于或等于有效期短的期权价值。另外需要说明的一点是，随着有效期的增加，欧式看跌期权和看涨期权的价值通常增加，但并不总是这样。例如：有基于同一股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为1个月，另一个到期期限为2个月。假定预计在6周后支付大量的红利，红利会使股票价格下降。这就有可能使有效期短的期权的价值超过有效期长的期权的价值。9到期期限——欧式期权价格10波动率随着波动率的增加，股票价格上升很高或下降很低的机会随着增加。对于股票的持有者来说，这种变动趋势是可以相互抵消的。但对于期权的持有者而言，则不能抵消。看涨期权的持有者从股价上升中获利，但当股价下跌时，期权持有者的最大损失就是期权费，这个损失是有限的。与此类似，股价上升时，看跌期权持有者的损失也是有限的。因此，随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。11波动率——欧式期权价格12无风险利率当整个经济中的利率增加时，股票价格的预期增长率也倾向于增加，期权持有者收到的未来现金流的现值将减少。这两种影响都将增加看涨期权的价值，而减少看跌期权的价值。无风险利率的变化对期货价格的变化可用下图表示：13注意：在讨论无风险利率时，我们假定了利率变化时，股票的价格保持不变。但现实中，当利率上升（或下降）时，股票价格也将下降（或上升）。考虑利率变化和随之而来的股价降低的净效应，看涨期权的价值可能减少而看跌期权的价值可能增加，反之亦然。以上各图描述了当S0=50，K=50，r=5%p.a.,T=1年，不支付红利的情况下，欧式看涨期权与看跌期权价格与前5种因素之间的关系，在这种情况下，看涨期权的价格为7.116，看跌期权的价格为4.66714未来的红利在除息日后，红利将减少股票的价格。对于看涨期权的价值来说这是一个坏消息，而对于看跌期权的价值来说则是一个好消息。因此看涨期权的价值与预期未来红利的大小成反方向变动，而看跌期权的价值与预期未来红利成正方向变动。15以上各小节所揭示的各个因素与期权价格的关系可用表9.1（p206）表示。即：169.2假设和符号假定存在一些市场参与者，并且这些参与者满足以下条件：1、没有交易费用。2、所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率。3、可以按无风险利率借入和贷出资金。同时，我们可以假定市场中不存在套利机会。17符号定义：S0：股票现价K：期权执行价格ST：到期时刻股票的价格r：在T时刻到期的投资的连续复利无风险利率C：购买一股股票的美式看涨期权价值P：出售一股股票的美式看跌期权价值c：购买一股股票的欧式看涨期权价值p：出售一股股票的欧式看跌期权价值189.3期权价格的上下限9.3.1期权价格的上限美式看涨期权或欧式看涨期权的持有者有权以某一确定的价格购买一股股票。在任何情况下，期权的价值都不会超过股票的价值。因此，股票价格是期权价格的上限：套利机会出现在上等式不成立的时候，此时套利者可以够买股票并卖出看涨期权。00cSS和C19美式看跌期权或欧式看跌期权的持有者有权以K的价格出售一股股票。无论股票价格变得多么低，期权的价值都不会超过K。因此，对于欧式期权来说，在T时刻，期权的价值不会超过K，因此，现在期权的价值不会超过K的现值：套利机会出现在上式不成立时，此时套利者可以出售期权并将所得收入以无风险利率进行投资。pKPK和rTpKe209.3.2不付股利的看涨期权的下限不付股利的欧式看涨期权的下限：例：假定考虑欧式看涨期权的价格等于$3,即小于理论上的最小值$3.71。套利者可以买入看涨期权并卖空股票。则现金流为$20-$3=$17。如果$17以无风险利率10%投资1年，则一年后变为$18.79。在这一年的年末，期权到期。0rTSKe00.10$20,$18,10%,120183.71rTSKrTSKee。则21（1）如果股票价格高于$18，套利者以$18的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利$18.79-$18=$0.79。（2）如果股票价格低于$18，则套利者不执行期权，并从市场上购买股票将股票空头平仓，这时，套利者可获得更高的利润。例如，如果股票价格为$17，则套利者的盈利为$18.79-$17=$1.7922正式证明：组合A：一个欧式看涨期权加上金额为的现金（）组合B：一股股票（）在组合A中，现金如果按无风险利率投资，则在T时刻变为K。如果ST＞K，在T时刻应执行看涨期权，则在组合A中的价值为ST-K+K=ST。如果ST＜K，在T时刻不执行看涨期权，则在组合A中的价值为K。所以，在T时刻，组合A的价值为max（ST,K）在T时刻，组合B的价值为ST。因此，在T时刻，组合A的价值通常不低于T时刻组合B的价值，即V（A）≥V(B)。根据无套利原理，即由于对于一个看涨期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期时价值为零，这意味着期权的价值必须为正值，即，因此有-------------（9.1）rTpKe239.3.3不付股利的欧式看跌期权的下限不付股利的欧式看跌期权的下限：例：假定考虑欧式看跌期权的价格等于$1,即小于理论上的最小值$2.01。套利者可以借入$38，期限6个月，同时用所借资金购买看跌期权和股票。在6个月末，套利者将支付$38.96。0rTKeS00.050.50$37,$40,5%,0.540372.01rTSKrTKeSe。则24（1）如果股票价格低于$40，套利者执行期权以$40的价格卖出股票，归还所借款项本金和利息，则可获利$40-$38.96=$1.04。（2）如果股票价格高于$40，则套利者不执行期权，在市场中卖出股票并归还所借款项本金和利息，这时，套利者可获得更高的利润。例如，如果股票价格为$42，则套利者的盈利为$42-$38.96=$3.04。25正式证明组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票（）组合D：金额为的现金（）在组合C中：如果ST＜K，在T时刻应执行看跌期权，则在组合C中的价值为K。如果ST＞K，在T时刻看跌期权的价值为零，则在组合C中的价值为持有股票的价值ST。所以，在T时刻，组合C的价值为max（ST,K）在组合D中：现金如果按无风险利率投资，则在T时刻的价值变为现金K。因此，在T时刻，组合C的价值通常不低于T时刻组合D的价值，即V（C）≥V(D)。根据无套利原理，有即由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期时价值为零，这意味着期权的价值必须为正值，因此有-------------（9.2）rTpKe269.4看跌期权与看涨期权的平价关系承接9.3.2和9.3.3两小节，我们考虑如下两个组合：组合A：一个欧式看涨期权加上金额为的现金（）组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票（）在期权到期时，两个组合的价值均为：max（ST,K）由于是欧式期权，所以有如下等式成立。-------------（9.3）这就是所谓的欧式看涨期权价格和看跌期权价格之间的平价关系（put-callparity）。它表明具有某一确定执行价格和到期日的欧式看涨期权的价值，可根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。9.4.1基于不受红利影响的欧式期权27如果等式（9.3）不成立，则存在套利机会。(1)c+Ke-rt＜p+S0假定股票价格S0=$31,执行价格K=$30。无风险年利率r=10%，3个月期的欧式看涨期权价格为c=$3，3个月期的欧式看跌期权的价格p=$2.25。组合A：c+Ke-rt=$3+$30e-0.1x3/12=$32.26组合C：p+S0=$2.25+$31=$33.25相对于组合A来说，组合C被高估了。正确的套利策略是买入组合A中的证券并卖空组合C中的证券。这一策略将会产生如下正的现金流：-$3+$2.25+$31=$30.25将这笔现金流按无风险利率进行投资时，在3个月后，这个现金流增加为：$30.25e0.1x0.25=$31.02如果在期权到期日股票的价格高于$30，将执行看涨期权。如果股价低于$30，看跌期权的空头将被执行。在任何一种情况下，投资者均按$30购买一股股票。该股票可用来平仓原空头股票。因此净利为：$31.02-$30.00=$1.0228(2)c+Ke-rt＞p+S0假定股票价格S0=$31,执行价格K=$30。无风险年利率r=10%，3个月期的欧式看涨期权价格为c=$3，3个月期的欧式看跌期权的价格p=$1。组合A：c+Ke-rt=$3+$30e-0.1x3/12=$32.26组合C：p+S0=$1+$31=$32.00相对于组合C来说，组合A被高估了。正确的套利策略是买入组合C中的证券并卖空组合A中的证券。这一策略的初始投资为：$31+$1-$3=$29以无风险利率借入资金时，3个月后须偿付$29e0.1x0.25=$29.73，此时无论是执行看涨期权还是看跌期权都将会使股票以$30.00的价格售出，因此净利为：$30.00-$329.73=$0.27书中表9.2（p213）总结了这两种情况，同时在商业剪影9.1中说明了公司的债权人和股东可以利用期权和该平价关系分析他们的头寸情况。29309.4.2基于不受红利影响的美式期权看涨与看跌期权之间的平价关系仅适用于欧式期权。但也可以推导出不付红利股票的美式期权之间的某种关系。即:--------------（9.4）例9-3（p215）00rTSKCPSKe看跌-看涨期权之间的平价关系只适合欧式期权。但也可以推导出不付股利股票的美式期权之间的关系：319.5提前执行：不付股利股票的看涨期权观点：提前执行不付股利股票的美式看涨期权是不明智的。举例：考虑一个不付股利股票的美式看涨期权，距到期日还有一个月，股票价格为$50，执行价格为$40。期权的实值额很大，期权的持有者可能很想立即执行它。然而，如果投资者计划持有该股票超过一个月，那么提前执行就不是最优的策略。更好的方案是持有期权，并在期权的到期日执行它。32原因：①除了来自股票的收益外，投资者还可获得本金为$40、期限为一个月的利息。②股票价格在这一个月内还有可能（无论可能性多小）会低于$40。结论：如果投资者计划在期权的有效期内持有股票（在本例中为一个月）,则提前执行期权没有好处。如果投资者认为股票现在被高估，是否应该执行期权并卖出股票呢？在这种情况下，投资者最好是出售该期权而不是执行它。哪些想持有股票的投资者将会购买该期权。这类投资者是一定存在的。否则股票的现价就不会是$50。由于上述提到的原因，收取的期权费将大于期权的$10的内在价值。33为了得出一般结论，我们用等式（9.1)由于美式看涨期权的持有