西南财经大学5-固定收益证券（24）

第4章久期与凸度4.1债券价格的利率敏感性4.2债券的久期4.3债券的凸度4.1债券价格的利率敏感性思考：如何从经济学意义上解释债券价格与收益之间存在反向变动关系？4.1.1债券定价法则关于债券价格的利率敏感性，以下6条法则已经得到证明：1）债券价格与收益呈反向变动关系：当收益上升时，债券价格下降；当收益下降时，债券价格上升。2）债券收益变化引起的价格变化具有不对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度低于由收益的等规模（相同的基本点）下降引起的价格上升的幅度。3）长期债券比短期债券具有更强的利率敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券价格的变动幅度大于短期债券。4）当到期期限增加时，价格对收益变化的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。5）债券的息票利率越高/低，由收益变动引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说，息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低于息票利率较低的债券。6）当债券的初始到期收益率较低时，价格的利率敏感性较高。图4-1中四种债券的收益-价格关系曲线可以说明上述6条法则。4.1.2影响利率敏感性的因素上述6条法则中的后面4条指出了影响利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、息票利率和到期收益率。从表4-1中的数据可以看出这三个因素是如何影响利率敏感性的。同时，第1条和第2条法则也能够由表中的数据得到体现。表4-19种债券的价格息票利率（％）到期期限（年）到期收益率（％）10.009.008.007.000.00561.3964.3967.5670.890.001523.1426.7030.8335.630.00305.357.139.5112.698.00592.2896.04100.00104.168.001584.6391.86100.00109.208.003081.0789.68100.00112.4710.005100.00103.96108.11112.4710.0015100.00108.14117.29127.5710.0030100.00110.32122.62137.424.2债券的久期4.2.1久期的含义久期也称为麦考利期限，或有效期限，它是债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均，权重则是每一时点的现金流的现值在总现值（即债券价格）中所占的比例。一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct（1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益率为y。则债券的价格为（4-1）债券久期为1(1)TtttCPy（4-2）例、息票利率为8％和零息票两种债券。表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果表明，零息票债券的久期就等于它的到期期限，而息票债券的久期比它的到期期限短。思考：结合上例，如何来理解久期与到期期限的区别？1(1)[]ttTtCyDtP表4-2两种债券的久期计算名称(1)至支付的时间/年(2)支付/元(3)半年5%折现支付/元(4)权重(5)(1)×(4)债券A8％债券0.54038.0950.03950.01981.04036.2810.03760.03761.54034.5530.03580.05372.01040855.6110.88711.7742总计964.5401.00001.8853债券B零息票债券0.5～1.500002.01000822.701.02总计822.701.024.2.2利用久期测度利率敏感性将式（4-1）看作P与1+y之间的函数，可以有对于P和1+y的微小变化，有（4-3）这表明，债券价格的利率敏感性与久期成比例。111(1)(1)1TttttCdPPDdyyy(1)1PyDPy令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可以写为（4-3’）通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式（4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。因此，修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险暴露程度。思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？*PDyP4.2.3什么决定久期影响利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和到期收益率。以下的8个法则归纳了久期与这三个因素之间的关系。图4-2表明了这些法则。久期法则1：零息票债券的久期等于它的到期时间。久期法则2：到期日相同时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。久期法则3：当息票利率相同时，债券的久期通常随着债券到期期限的增加而增加，但久期的增加速度慢于到期期限的增加速度。久期法则4：在其他因素都不变，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。久期法则5：无限期债券的久期为。久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：这里，T为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。1yy1(1)1TyTyy久期法则7：息票债券的久期等于这里，c为每个支付期的息票利率，T为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。久期法则8：当息票债券以面值出售时，法则7可简化为11()[(1)1]TyyTcyycyy11[1](1)Tyyy4.3债券的凸度4.3.1久期的局限性根据式（4-3’），债券价格变化的百分比作为到期收益率变化的函数，其图形是一条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为998.875元。然而，从图4-1以及关于债券价格的利率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差。图4-3表明了这一点。债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切，同时也与久期法则预期的价格变化百分比的直线相切于该点。这说明，对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。但随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确。从图4-3还可以看到，久期近似值总是在债券实际价格的下方。也就是说，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。债券A和债券B在初始处有相同的久期，但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相同。对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具有更大的凸度。4.3.2债券凸度的计算价格-收益曲线的曲率就称为债券的凸度（convexity）。凸度意味着债券的价格-收益曲线的斜率随着收益率而变化：在较高收益率时变得平缓，即斜率是较小的负值；在较低收益率时变得陡峭，即斜率是较大的负值。因此，凸度实际上是价格-收益曲线斜率的变化率。由式（4-3’）可以得可见，D*是价格-收益曲线的斜率。凸度定义为。1*dPDPdy221dPPdy由此定义，可得付息周期数为n，周期收益率为y的债券的凸度计算公式如下：其中，Ct为t时刻的现金支付。利用下面的公式可把分期限计算的凸度转化为按年计算的凸度：其中m为每年的付息次数。对于零息票债券，有21(1)1(1)(1)ntttttCPyy凸度2m凸度(分期限算)凸度(按年算)2(1)(1)nny零息票债券凸度4.3.3考虑凸度的利率敏感性考虑凸度后，式（4-3’）可以修正为：（4-4）由式（4-4）可知，对于有一正的凸度的债券（不含期权的债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。21*()2PDyyP凸度第5章固定收益资产组合的管理5.1消极的债券管理5.2积极的债券管理5.3利率掉期5.4金融工程与衍生利率5.1消极的债券管理回顾：有效市场假定EMH。消极的投资管理者相信市场有效假定，他们认为债券的市场价格是公平的，并仅仅试图去控制他们持有的固定收入资产组合的风险。在固定收入市场中，经常使用两种消极管理策略：指数策略和免疫策略。虽然都属于消极投资策略，但指数策略和免疫策略在对利率风险的处理方式上有很大区别。指数策略是通过分散化的机制使债券组合的风险-收益和与之相联系的债券市场指数的风险-收益状况相当；免疫策略则试图建立几乎是零风险的资产组合。5.1.1债券指数基金主要的债券指数在美国的股票市场，有很多股票指数基金完全按标准普尔500指数的成分股名单来选择股票，并且每种股票购买的数量与这些公司的当前市值在指数中的比重成比例。债券指数基金也使用类似的策略。在美国的债券市场中有三个重要的指数：所罗门兄弟大市投资分级指数(SalomonBrothersBroadInvestmentGrade(BIG)Index)、莱曼兄弟总指数(LehmanBrothersAggregateIndex)和美林国内标准指数(MerrillLynchDomesticMasterIndex)。三种指数均包括政府债券、公司债券、抵押支撑债券和扬基债券。表5-1美国主要债券指数的资产组合项目莱曼兄弟指数美林指数所罗门指数债券种数6500种以上5000种以上5000种以上上述债券的期限≥1年≥1年≥1年不包括的债券垃圾债券、可转换债券、鲜花债券、浮息债券垃圾债券、可转换债券、鲜花债券垃圾债券、可转换债券、浮息债券权重市值市值市值月内现金流再投资无有（特殊债券）有（以一月国库券利率）每日计算是是是表5-2中国主要债券指数分类项目交易所银行间跨市场国债中国交易所国债总指数中国银行间国债总指数中国国债总指数上证国债指数中国银行银行间国债指数中信国债指数同业中心国债指数金融债中国金融债总指数中银金融债指数企业债中信企业债指数中国企业债指数综合中信银行间债券指数（含企债）中国债券指数（不含企债）中银银行间综合指数（不含企债）中信全债指数（含企债）同业中心债券综合指数（含企债）表5-3中国主要债券指数的资产组合项目中信国债指数上证国债指数同业中心银行间债券指数中银银行间国债指数中国债券指数中信全债指数市场交易所交易所银行间银行间交易所、银行间交易所、银行间样本范围国债国债国债国债国债、金融债、企业债国债、金融债、企业债剩余期限≥1年≥1年≥1年≥1年≥1年≥1年息票类型所有上交所市场国债（含浮息券）固息和一次还本付息固息固息零息券、利随本清、附息券、含期权券固息和一次还本付息表5-3中国主要债券指数的资产组合（续）项目中信国债指数上证国债指数同业中心银行间债券指数中银银行间国债指数中国债券指数中信全债指数权重发行量发行量发行量发行量以发行量为权重进行市值加权并对单只债券品种对债券指数的贡献率进行流动性调整。发行量利息收入再投资指数指数，并在月末最后一个交易日从指数中剔除指数指数指数指数债券指数基金的困难1）以美国为例，上述三种指数都包括了5000种以上的证券，这使得按它们的市值比重购买十分困难。2）指数样本中的许多债券在市场中交易量很小，流动性很差，这意味着很难以一个公平的价格去购买它们。3）当一只债券的到期年限低于1年时，就会从指数中被剔除，而新发行的债券则不断补充进来。因此，同股票指数相比，债券指数的样本处于不断的变化中。这意味着债券指数基金必须在调整或重新平衡他们的资产组合方面做更多的工作，以便使他们持有的资产组合的结构与指数中包括的债券结构尽可能一致。4）债券带来的大量利息收入必须要再投资，这也使债券指数基金的管理工作复杂化。分层抽样法由于债券指数基金不可能