证券投资优化问题

1证券投资优化问题经济管理系查德鑫刘强林宝鹏摘要证券投资的决策问题，是我们在经济活动中经常遇到的项目投资问题。传统的投资项目评估及决策过程，只注重于对给定的项目进行成本效益分析，计算其现金流量，并求得项目投资的净现值NPV，最后以NPV是否大于0来决定投资与否。(参见Damodaran,A.(1996)和傅家骥、仝允桓(1996))。一个最优策略具有这样的性质，即不论初始状态与初始策略如何，对于先前决策所造成的状态而言，余下所有决策必构成最优决策。通过这些方法我们可以给该项目一个可行性评估分析，得到最优化解。在本文中，我们主要研究多种证券的组合投资问题，根据题目所给的信息，在一定的条件下，多目标规划模型。并对问题一、二、三分别使用上述模型进行求解得到多种组合方案，解决资源约束条件下多项目的优化选择问题。一、问题重述证券投资分析某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；23）所购证券的平均到期年限不超过5年。表1证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？二、模型假设1．A.B.C.D.E每类证券投资金额分别是x1,x2,x3,x4,x5,即采用不同的投资来建立模型2．证券投资中，我们只考虑最后收益，信用年限，信用程度与投资金额之间的关系，而不去考虑证券是个随机变化的函数对投资的影响。3．在建立投资与最后利益关系中，我们建立方程只是看是否选取某个证券而的最大利益。34．在建立投资与最后利益关系中，我们建立方程只考虑某固定时间还借款而不是分期还款。三．参数说明：1.x(i)……………A.B.C.D.E证券投资金额数量2.a………………A类证券b………………B类证券c………………C类证券d………………D类证券e………………E类证券3.n………………第n年还清（其中n=2,3,4,9,15）四．问题的分析及模型的建立：１．怎样分配资金，即A，B，C，D，E五种证券各分资金多少才能使利润最大，用x1、x2、x3、x4、x5分别表示A、B、C、D、E五种投资的金额。第一问中的钱可看成自己公司的资金，也就是说没有利息。当买这五种债权时，不管买哪个都是有利润的，只是利润大小的问题，由于五种证券的收益率是不同的，考虑到最大利润时，应根据约束条件分别购买不同价值数量的证券。是否选取某种证券用0、1表示，选取则为1，否为0。获得最大的利润用数学为表达式表达：95400000012332000045max**[(14.3)1]**0.5*[(15.4)1]**[(15)1]**0.5*[(14.4)1]**[(14.5)1]axbxcxdxex……（1）第二问由于资金是借的，是有利息的，所以在购买时要应考虑怎样还4借款的同时，获得最大的利润。考虑到证券的运行方式，是到了到期年限才能得到利润，所以还借款的必须到到期年限后才能还，可以根据各种证券类型的到期年限确定还款时期n，当采用两年还完借款时，e=1;当采用三年还完借款时，d=1；当采用四年还完借款时，c=1;当采用九年还完借款时，b=1当采用十五年还完借款时,a=1。获得最大的利润用数学为表达式表达：915400000012332000045max**[(14.3)1]**0.5*[(15.4)1]**[(15)1]**0.5*[(14.4)1]**[(14.5)1]100*[(10.0275)1]naxbxcxdxex……（2）第三问只要把第一问的4.3%变为4.5%,5.0%变为4.8%即可。２．投资证券受到各种因素的约束，即：政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元b*x2+c*x3+d*x4=400;总投资共1000万元,所以总购买资金不能超过1000万元：a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+d*x5=1000;所购证券的平均信用等级不低于1.4：2*a*x1+2*b*x2+1*c*x3+1*d*x4+5*e*x51.4;a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5所购证券的平均到期年限不超过５年：(9*a*x1+15*b*x2+4*c*x3+3*d*x4+2*e*x5)/(a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5)=5;该市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税；经理证券投资问题就归结为如下方程：5915400000012332000045max**[(14.3)1]**0.5*[(15.4)1]**[(15)1]**0.5*[(14.4)1]**[(14.5)1]100*[(10.0275)1]naxbxcxdxex…（２）b*x2+c*x3+d*x4400(3)b*x2+c*x3+d*x41000(4)(2*a*x1+2*b*x2+1*c*x3+1*d*x4+5*e*x5)/(a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5)1.4(5)(9*a*x1+15*b*x2+4*c*x3+3*d*x4+2*e*x5)/(a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5)5(6)其中：（1）用于第1、3问，（2）用于第2问，第2问中没（3）约束。五．模型求解第一问：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。4）市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。由题中所给的数据及假设的参数，我们可以建立如下方程：95400000012332000045**[(14.3)1]**0.5*[(15.4)1]**[(15)1]**0.5*[(14.4)1]**[(14.5)1]faxbxcxdxex……（1-1）12345123459**15**4**3**2**5*****axbxcxdxexaxbxcxdxex…………………………（1-2）12345123452**2**1**1**5**1.4*****axbxcxdxexaxbxcxdxex…………………………（1-3）234***400bxcxdx……………………………………………………（1-4）234***1000bxcxdx…………………………………………………（1-5）12345*****1000axbxcxdxex……………………………………（1-6）6由这几个方程建立的模型，我们可以用lingo8.0软件计算出其最优值f=max=200.9468;其中a=1,b=0,c=0,d=1,e=1;x1=336,x2=0,x3=0,x4=648,x5=16.由此可知分A证券336万元，D证券648万元，E证券16万元.第二问：分析1：当n=2时，x5只有大于96.58万元时，才能还清本息和，这时信用等级5*0.96581.4，不符合要求；分析2：当n=3时，程序如下：9154000000123323000045max**[(14.3)1]**0.5*[(15.4)1]**[(15)1]*0.5*[(14.4)1]**[(14.5)1]100*[(10.0275)1]axbxcxxex…………………………………………………………………………………（2-1-1）12345123459**15**4**3*2**5****axbxcxxexaxbxcxxex…………………………（2-1-2）12345123452**2***5**1.4****axbxcxxexaxbxcxxex………………………………（2-1-3）2200005(14.5)100*(12.75)0x………………………………………（2-1-4）32345x*(1+0.054)+e*x*(1+0.045)-100*(1+0.0275)=0;……………………（2-1-5）12345a*x+b*x+c*x+x+e*x=100（2-1-6）由这几个方程建立的模型，我们可以用lingo8.0软件计算出其最优值f=max=2.325185万元；a=1,b=1,c=0,d=1,e=0;x1=0,x2=7.3546,x3=0,x4=92.6454,x5=0.由此可知分B证券77.3546万元，D证券92.6454万元.分析3：当n=4时，程序如下：954000000123324000045max**[(14.3)1]**0.5*[(15.4)1]*[(15)1]**0.5*[(14.4)1]**[(14.5)1]100*[(10.0275)1]axbxxdxex…（2-2-1）12345123459**15**4**3*2**5****axbxcxxexaxbxcxxex………………………（2-2-2）12345123452*a*x+2*b*x+x+d*x+e*5*x1.4a*x+b*x+x+d*x+e*x……………………………………（2-2-3）4324345x*(1+0.05)+d*x*(1+0.054)+e*x*(1+0.045)-100*(1+0.0275)0………（2-2-4）12345a*x+b*x+x+d*x+e*x100…………………………………………（2-2-5）2200005(14.5)100*(12.75)0x………………………………………（2-2-6）32345x*(1+0.054)+e*x*(1+0.045)-100*(1+0.0275)0………………………（2-2-7）由这几个方程建立的模型，我们可以用lingo8.0软件计算出其最优值f=max=3.402368万元；a=0,b=1,c=1,d=1,e=0;x1=0,x2=8.299833,x3=91.70017,x4=0,x5=0.由此可知分B证券8.299833万元，C证券91.70017万元.分析4：当n=9时，程序如下：在第9年还利息时，由于CDE证券所得的收益分别小于其贷款利息，即利润为负所以不能投资C、D、E证券，同时A、B证券平均到期年限大于5，不符合条件，由此n=9时没有最优方8案。分析5：当n=15时，无论xi(i=1,3,4,5)等于多少，A,C,D,证券到期所的收益都小于本身金额9年的利息，所以只有B类证券时，利润可能最大，但是此时证券到期年限155,不符合题意，由此n=9时没有最优方案。综上所述，四年还清利息所得的利润大于三年还清的利息所得的利润，所以利润最大时的方案为B证券8.299833万元，C证券91.70017万元.max=3.402368万元第三问：经过分析可知，只要把第一问的4.3%变为4.5%,5.0%变为4.8%即可。○1max=a*x1*0.4861+b*x2*0.5*1.2009+c*x3*0.10775+d*x4*0.5*0.1379+e*x5*0.092;(9*a*x1+15*b*x2+4*c*x3+3*d*x4+2*e*x5)/(a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5)=5;(2*a*x