经济类数学分析经济类数学分析的地位在科学技术不断发展的二十一世纪,学科间的交叉和融合越来越普遍。而数学方法作为一种重要的工具,在现代经济学的研究中占有越来越重要的地位。特别是随着信息技术的发展,数学方法大量运用在经济学、管理学研究和金融、保险、统计等行业中。从1969年颁发第一届诺贝尔经济学奖开始,到2001年共有49人获得这一殊荣。他们的所有获奖工作几乎都是与数学有关的,有一半以上主要是由于数学成果而获奖。在这些获奖者中有16人是数学专业出身(即获得过数学学位),占33%。1994年的诺贝尔经济学奖获奖的三位全是数学家(普林斯顿大学的JohnF.Nash,波恩大学的ReinhardSelton,加州大学伯克利分校的JohnC.Harsanyi),他们是由于在非合作对策论中的均衡分析方面的工作而获奖。经济类数学分析在经济学、管理学中的应用,主要体现在三个领域:1.将经济理论和数学相结合形成数理经济学。这主要是运用微积分、线性代数、集合论、拓扑学等数学工具来表述经济理论并进行推理、证明。2.将经济理论、数学和统计学相结合形成计量经济学。计量经济学即根据经济理论关于经济变量间的相互关系,用联立方程构建数学模型,再根据实际经济统计资料,对模型的参数进行估计,最后反过来检验理论的正确与否已经进行经济预测。3.在纯经验分析中,也是通过对大量统计资料的分析而归纳出某些经济规律。经济类数学分析的地位因此现代经济学研究必须掌握两大法宝:一是良好的数学功底。作为基础的基础,《数学分析》是近代数学中最伟大的成就之一,是对数学要求较高专业的一门必修的专业基础课。一方面,它对学习后继数学课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法;另一方面,它通过各个教学环节,逐步培养具有比较熟练的基本运算能力和自学能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力、初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。经济类数学分析的地位(现代经济学研究必须掌握两大法宝:)二是较强的数学建模能力。为了培养定量思维能力和创造能力,就必须在数学教育中培养学生的建模能力与数值计算含数据处理的能力,加强在应用数学方面的教育。使学生具有应用数学知识解决实际问题的意识和能力。经济类数学分析的地位全国大学生数学建模竞赛关于教学大纲和教学内容“三基”:基本概念、基本理论、基本方法星号*和小号字内容不要求掌握,补充内容要求掌握关于学习方法三个环节关于多媒体教学的特点速度、笔记。。。相关问题和要求:关于答疑课堂答疑:课前、课间和课后时间参考书目:1.《数学分析学习指导书(上下册)》华东师范大学数学系吴良森等高等教育出版社2.《数学分析讲义第4版(上下册)》刘玉琏、傅沛仁等高等教育出版社3.《工科数学分析基础(上下册)》王绵森等高等教育出版社4.《高等数学习题集》同济大学应用数学系高等教育出版社5.《高等数学第五版(上下册)》同济大学应用数学系高等教育出版社第一章函数数学分析研究的是实数集上定义的函数,因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质.第一节集合与实数系元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.Ma(或Ma)..Ma注:M为数集*M表示M中排除0的集;M表示M中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束表示法:(1)列举法:按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合naaaA,,,21niia1自然数集,,,2,1,0Nnn(2)描述法:xMx所具有的特征例:整数集合ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqpp与q互质实数集合Rxx为有理数或无理数开区间),(xbabxa闭区间],[xbabxa机动目录上页下页返回结束)(aa无限区间点的邻域a其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:机动目录上页下页返回结束是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称A.BA若且则称A与B相等,.BA例如,显然有下列关系:,,若Ax,Bx设有集合,,BA记作记作必有机动目录上页下页返回结束AcABB定义3.给定两个集合A,B,并集xBA交集xBA且差集\xBABx且定义下列运算:ABBA余集)(\ABBABcA其中直积),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABA\BBABA机动目录上页下页返回结束或机动目录上页下页返回结束二、实数系记号与术语N:(0)自然数集包含R:实数集Z:整数集Q:有理数集:存在R:负实数集:任意+R:正实数集+N:正整数集机动目录上页下页返回结束1。实数集的基本性质命题1设Rba,,则三个关系式:bababa,,中必有且只有一个关系式成立。命题2设Rba,且,,cbba则ca命题3设Rba,且ba则必存在实数r使得bra命题4对于任意给定的Ra,必有大于a的自然数存在。命题5实数集具有连续性。R2。绝对值.0,0,||aaaaa||aa的绝绝对实数定义为:实数的绝对值性质:.0||0;0||||)1(aaaa时当且仅当.||||)2(aaa,||)3(hahha.||hahha||||||||||)4(bababa(三角形不等式)..||||||)5(baab||(6)(0).||aabbb3。区间与邻域4。数集的界定义1R,.SS设(1)R,,,MxSxMM若使得则称为,.SS的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,LxSxLL若使得则称为,.SS的一个下界称为有下界的数集.S则称为有界集(3),S若既有上界又有下界:0,,||.MxSxM其充要条件为使有(1),,SS若不是有上界的数集则称无上界即00R,,.MxSxM使得(2),,SS若不是有下界的数集则称无下界即00R,,.LxSxL使得(3),,SS若不是有界的数集则称无界集即000,,||.MxSxM使得10R,1,2;1,MMxMM若取若[]102[]1,MxMM取因此S无上界.证,,2LxSxn则故S有下界.取L=1,{2|N},.nSn证明数集无上界有下界例1例22+31N.2nSnn证明数集有界证22+3331111N,1,22222nnnnnn.S因此有界:R.R,满足若设SS定义2.sup,SS记为的上确界是则称;,)i(xSx若数集S有上界,则必有无穷多个上界,而其中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为上确界.同样,若S有下界,则最大的下界称为下确界.上确界与下确界;,,0)ii(00xSx使存在:R.R,满足若设SS定义2.sup,SS记为的上确界是则称;,)i(xSx;,,0)ii(00xSx使存在注1条件(i)说明是的一个上界,条件(ii)说明S比小的数都不是的上界,从而是最小的上S界,即上确界是最小的上界.定义3R,.R:SS设若满足(i),;xSx00(ii),,;xSx.inf,SS记为的下确界是则称00,.xSx0,(ii),下确界定义中的亦可换成注2注1由定义,下确界是最大的下界.证先证supS=1.;111,i)(nxSx.,211000xSx,则取若(ii)1.设例211,1,2,,Sxxnn设求证.0inf1supSS,.1supS因此,00,10,,,n若则令由阿基米德性000011.1,1.xSxnn使得令则R,.,;SSSS设若有上界则必有上确界定理1.1(确界原理),.SS若有下界则必有下确界.sup,SS记无上界若.inf,SS记无下界若定义域1.函数的概念定义4.设数集,RD则称映射为定义在D上的函数,记为Dxxfy,)(f(D)称为值域函数图形:),(yxCDx,)(xfyxy)],[(baDabxy)(DfD机动目录上页下页返回结束自变量因变量第二节函数概念DxfDxxfyyDfy),()((对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值•定义域•对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束例4.已知函数1,110,2)(xxxxxfy求)(21f及,)(1tf解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义并写出定义域及值域.定义域),0[D值域),0[)(Df机动目录上页下页返回结束设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf说明:还可定义有上界、有下界、无界为有界函数.在I上有界.机动目录上页下页返回结束注:如果这样的M不存在,即对任何的正常数M,总存在Mxf)(0Ix0第三节函数的几种特性使得,则称函数)(xf在I上无界。例1.3.1(2)单调性,Dx使若对任意正数M,均存在,)(Mxf则称f(x)无界.称为有上界称为有下界,)(,Mxf),(,xfM当,,21Ixx21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调增函数;单调减函数.xy1x2xxyoxx(3)奇偶性,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch偶函数xyoxexexych双曲余弦记机动目录上页下页返回结束xyo又如,2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切记xyth机动目录上页下页返回结束(4)周期性,0,lDx且,Dlx则称)(xf为周期函数,xo2y2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,0机动目录上页下页返回结束第四节反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y=f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.)(xfyxy),(abQxyo机动目录上页下页返回结束指数函数(2)复合函数1),(Duufy1)(DDg且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①机动目录上页下页返回结束②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,函数链:,arcsinuy函数但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:Zn02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu),(,2