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证券投资学第8章1第第88章章因素模型因素模型z第一节单因素模型z第二节多因素模型z第三节市场模型z第四节因素风险和非因素风险z第五节因素模型参数估计z第六节因素模型与资本资产定价模型比较现代证券组合理论篇现代证券组合理论篇证券投资学第8章2z因素模型是一种生成资产期望收益率的统计模型，试图找出影响所有资产收益率的共同因素。z因素模型认为各个资产收益率之间之所以存在一定的相关性，是因为它们受到一个或多个共同的因素的影响；z单个资产收益率不能被共同因素所解释的部分，被认为是该种资产的个性，与其他资产的个性无关。z因素模型通过找出影响所有资产收益率的共同因素，并利用一种线性结构方程来描述这些因素对各种资产收益率的影响。z在清楚各资产收益率与这些共同影响因素之间的关系后，根据因素的预测值和方差，就可以估计出资产组合的期望收益率和方差，进而可以简便地确定最优投资组合。证券投资学第8章3第一节第一节单因素模型单因素模型z所谓单因素模型是指资产之间的相关性是由一个共同因素所引起的。z则各个资产的收益率可以由以下模型来描述：（8-1）这一模型称为单因素模型，其中表示资产在期的实际收益率；为常数（零因素值）；为资产对因素的敏感性；为期的因素值；表示资产在期的残差项。itiititrabFε=++itrtiaibiFtFtitεitz单因素可以是某一种对所有资产影响较大的因素，如GDP、市场利率等。i证券投资学第8章4z当期的因素值为0时，资产的收益率就等于。z由于因素模型假设资产收益率不能被因子解释的部分是该资产的个性部分，因此与是不相关的。z通常表示为除因素之外的比较次要又难量化的一切因素；模型中常假设是一个零均值，标准差为的随机变量。tiiitaε+itεtFitεFitεiεσ证券投资学第8章5证券投资学第8章6证券投资学第8章7证券投资学第8章8证券投资学第8章9z由单因素模型可以得到资产的期望收益率、方差和协方差为：（1）期望收益率(8-4)（2）方差(8-5)（3）协方差(8-6)其中表示因素的预期值；是因素的方差；是随机误差项的方差；表示任意两个资产和之间的协方差；为资产对因素的敏感性。()()iiiErabEF=+2222iiiFbεσσσ=+2ijijFbbσσ=()EF2FσF2iεσiεijσijjbjF证券投资学第8章10z单因素模型极大地简化了资产的期望收益率、方差及资产间的协方差的计算。z在完成这些计算后，可按照马克维茨模型确定有效边界，然后，投资者可以根据个人的无差异曲线，确定最优投资组合。证券投资学第8章11证券投资学第8章12第二节第二节多因素模型多因素模型z通常，资产价格或收益率的变化不会仅仅受一个因素的影响，通常影响因素很多，除了GDP的预期增长率之外，还有银行存款利率、汇率、国债价格等影响因素。z当一个因素不足以解释资产的收益率以及各资产收益率之间的相关性时，考虑不同的影响因素，可以大大提高模型的准确度。z这样因素模型就从单因素模型扩展到多因素模型。z单因素可以是某一种对所有资产影响较大的因素，如GDP、市场利率等。证券投资学第8章13z多因素模型中最简单的就是双因素模型，即假设资产的收益率普遍受到两个因素和的影响，可以建立双因素模型来描述资产收益率的生成过程：（8-7）其中，和是两个对资产回报率具有普遍性影响的因素；和分别是资产对两个因素的敏感性；是随机误差项，是当两个因素都取0时资产的预期回报率。双因素模型双因素模型1122itiitititrabFbFε=+++1tF2tF1ib2ibiitεia证券投资学第8章14z在利用双因素模型估计各资产的期望收益率、方差、协方差需要先估计以下参数和变量：（1）因素模型的参数、、；（2）随机误差的标准差或方差；（3）因素的预期值（和）以及因素的方差（和）；（4）两个因素的协方差。ia1ib2ibiεσ2iεσ()1EF()2EF12Fσ22Fσ12,FFσ证券投资学第8章15z在估计出以上参数和变量后，就可以计算出各资产的期望收益率、方差和协方差：（1）期望收益率（8-8）（2）方差（8-9）（3）协方差（8-10）公式（8-9）和（8-10）的证明可参见（8-5）和（8-6）的证明。和单因素模型一样，一旦完成上述计算，就可以导出马克维茨模型中的有效边界，再根据投资者的无差异曲线就可以确定投资者的最优投资组合。()()()1122iiiiErabEFbEF=++12122222221212,2iiiFiFiiFFbbbbεσσσσσ=+++()12122211221221,ijijFijFijijFFbbbbbbbbσσσσ=+++证券投资学第8章16证券投资学第8章17证券投资学第8章18证券投资学第8章19z多因素模型还包括三个及更多因数的模型，如：（8-13）某资产普遍受到个因素的共同影响，分别表示资产对这个因素的敏感性，其他符号同前所述。其他多因素模型其他多因素模型i11itiitikktiKKtitrabFbFbFε=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++K1iikiKbbb⋅⋅⋅⋅⋅⋅iK证券投资学第8章20z根据多因素模型，可以得到资产的期望收益率：（8-14）资产的方差（8-15）资产和资产之间的协方差：（8-16）()()()()11iiiikkiKKErabEFbEFbEF=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ii2222,12kPqtKKiikFipiqFFkpqbbbεσσσσ==++∑∑()2,1kpqKKijikjkFipiqipjqFFkpqbbbbbbσσσ==++∑∑证券投资学第8章21第三节第三节市场模型市场模型z市场模型是单因素模型的一个特例，又称为指数模型，该模型中，因素为市场指数的收益率，表达式为：（8-17）其中，表示资产在期的回报率；表示市场指数在期的回报率；表示跟因素无关的收益率，是截距；表示资产对市场指数的敏感性，是斜率；是随机误差项。ititiiItitrabrε=++itrItrItiαiβiIitε证券投资学第8章22z由市场模型同样可以得到资产的期望收益率、方差和协方差为：（1）期望收益率（8-18）（2）方差（8-19）（3）协方差（8-20）()()iiiIErbbEr=+2222iiiIbεσσσ=×+2ijijFbσβσ=证券投资学第8章23证券投资学第8章24证券投资学第8章25第四节第四节因素风险和非因素风险因素风险和非因素风险z在因素模型下，资产或资产组合的总风险可以分解成因素风险和非因素风险。z投资分散化的结果是因素风险趋于平均化，非因素风险将不断减少而趋于0。z因素风险与系统风险类似，非因素风险与非系统风险类似。证券投资学第8章26z以单因素为例，来分析资产的风险构成。z如（8-5）式，资产的总风险拆成两个部分：因素风险（），即跟因素相关的风险；非因素风险（），即资产的个别风险，用随机误差项的方差来测度：（8-5）单个资产的因素风险和非因素风险单个资产的因素风险和非因素风险ii22iFbσF2iεσitε2222iiiFbεσσσ=+证券投资学第8章27z根据单因素模型，种资产的收益率可以表示为：（8-22）z假设某投资组合中，种资产的投资权重分别是，则投资组合的收益率可以表示为：（8-23）资产组合的因素风险和非因素风险资产组合的因素风险和非因素风险n11112222ttttttntnntntrabFrabFrabFεεε=++⎧⎪=++⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪=++⎩Pn1ω2nωω⋅⋅⋅1nPiiirrω==∑证券投资学第8章28z将（8-22）代入（8-23），可以得到资产组合的单因素模型：（8-24）其中，，，。可以看出资产组合的截距（）、敏感性（）和随机误差项（）分别是各资产的截距（）、敏感性（）和随机误差项（）的加权平均，权重等于各资产在组合中的投资权重。()1111nPiiiiinnniiiiiiiiiPPPrabFabFabFωεωωωεε=====++⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠=++∑∑∑∑1nPiiiaaω==∑1nPiiibbω==∑1nPiiiεωε==∑PaPbPεiaibiε证券投资学第8章29z资产组合的总风险用其收益率的方差来表示为：（8-25）其中，。z由于因素模型假设任意两种资产的随机误差之间不相关，则资产组合的随机误差项的方差可以表示为：（8-26）式（8-25）表明，任何资产组合的总风险（）可以看成由两个部分构成：资产组合的因素风险（），资产组合的非因素风险（）。2222PPPFbεσσσ=+221nPiiibbω=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑2221Piniiεεσωσ==∑2Pσ22PFbσ2Pεσ证券投资学第8章30z随着组合中资产更加分散时（即资产的数量更大，权重更小），资产组合的因素风险趋于平均化，但非因素风险则趋近于0。也就是说资产组合分散掉的是非因素风险，而不是因素风险z对于因素风险，由于资产组合的是组合中各资产的加权平均，没有理由认为增加分散性会显著减小或增大的值，从而减小或增大资产组合的因素风险（）。z例如，由于经济前景好时，大多数股票价格上涨，反之经济前景不好时，大多数股票价格下跌，因此不管分散化程度如何，经济前景对股票组合的影响依然存在；z只是随着分散化程度的增加，股票组合更接近市场组合，其因素风险也更接近市场平均的因素风险。风险分散效应风险分散效应niωPbibPb22PFbσ证券投资学第8章31z但随着分散化程度增加，资产组合中各资产的个别风险（即，非因素风险）对资产组合的影响越来越小，得以分散。z如浦发银行董事会改选，可能会影响浦发银行股票的走势，但基本上不影响资产组合中其他资产的价格走势；z随着组合中资产数量增加，浦发银行股票在资产组合中的权重减小，浦发银行董事会改选对整个资产组合的价格走势来说，影响越来越小。证券投资学第8章32z非因素风险的分散效应也可以通过如下证明来体现。z考虑如下情形：（1）投资者等权重地投资于个资产，即每个资产的投资比重都等于；（2）每个资产的非因素风险相等，即。z则资产组合的非因素风险等于：（8-27）z随着趋向于，则资产组合的非因素风险则趋向于0，即分散化能降低非因素风险。niω1n12222nεεεσσσ==⋅⋅⋅2222111Piininnεεεσσσ===∑n+∞2Pεσ证券投资学第8章33z在市场模型中单个资产的总风险（）同样也可以拆成两个部分：因素风险（）和非因素风险（）。由于市场模型中因素即为市场指数，因此因素风险又称为市场风险或系统风险，非因素风险也常被称为个别风险或非系统风险：（8-28）市场模型中的风险分散效应市场模型中的风险分散效应2iσ22iIbσ2iεσ2222iiiIbεσσσ=+z同样，在市场模型中，资产组合的总风险（）同样可以拆成两个部分：市场风险（）和个别风险（）：（8-29）其中，，2Pσ22PIbσ2Pεσ2222PPPIbεσσσ=+221nPiiibbω=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑2221Piniiεεσωσ==∑证券投资学第8章34z同样，在市场模型中，随着资产的分散化程度增加，资产组合的市场风险趋于平均化，资产组合的个别风险则逐渐减小。z一般而言，当资产的数量大于等于30，就可以认为资产组合的个别风险基本上接近于0，资产组合的总风险近似等于市场风险。z图8.3描述了资产的分散化如何导致个别风险的减少以及市场风险的平均化。证券投资学第8章35证券投资学第8章36证券投资学第8章37第五节第五节因素模型参数估计因素模型参数估计z因素模型的估计方法一般可以归结为三类：时间序列法、横截面法、因素分析法。这里只介绍时间序列法。z时间序列法是用时间序列数据去估计因素模型中参数。z时间序列法的前提是能收集到各期的因素值以及各期资产的收益率，这些数据称为时间序列数据，再利用回归技术计算因素模型中的截距以及各因素的敏感性。证券投资学第8章38证券投资学第8章39第六节第六节因素模型与资本资产定价模型比较因素模型与资本资产定价模型比较z因素模型特别是单因素模型中的市场模型和资本资产定价模型（CAPM）在表达