第四章 经典单方程计量经济学模型

第四章经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型异方差性序列相关多重共线随机解释变量§4.1异方差性异方差的概念对于模型ikikiiiiXXXY2210如果出现Varii()2即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。§4.1异方差性一、异方差的类型同方差性假定：i2=常数f(Xi)异方差时：i2=f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：(1)单调递增型：i2随X的增大而增大(2)单调递减型：i2随X的增大而减小(3)复杂型：i2与X的变化呈复杂形式§4.1异方差性二、实际经济问题中的异方差性例4.1.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Yi=0+1Xi+iYi:第i个家庭的储蓄额Xi:第i个家庭的可支配收入高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小i的方差呈现单调递增型变化§4.1异方差性例4.1,2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：Ci=0+1Yi+I将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。§4.1异方差性例4.1.3，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Yi=Ai1Ki2Li3ei被解释变量：产出量Y,解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。§4.1异方差性•三、异方差性的后果§4.1异方差性1、参数估计量非有效OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性因为在有效性证明中利用了E(′)=2I而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。2、变量的显著性检验失去意义§4.1异方差性变量的显著性检验中，构造了t统计量3、模型的预测失效§4.1异方差性一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；另一方面，在预测值得置信区间中也包含参数估计量所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。•四、异方差性的检验§4.1异方差性检验思路：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。一般的处理方法：首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近似估计量”，用~ei表示。于是有VarEeiii()()~22~()eyyiiils0§4.1异方差性1、图示法(2)X-~ei2的散点图进行判断~ei2~ei2XX同方差递增异方差~ei2~ei2XX递减异方差复杂型异方差§4.1异方差性2、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验基本思想:偿试建立方程：ijiiXfe)(~2或ijiiXfe)(|~|选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。如：帕克检验常用的函数形式：ieXXfjiji2)(或ijiiXelnln)~ln(22若在统计上是显著的，表明存在异方差性。§4.1异方差性3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。§4.1异方差性G-Q检验的步骤：①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和§4.1异方差性④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量)12,12(~)12(~)12(~2122kcnkcnFkcnekcneFii⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)，若FF(v1,v2)，则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。§4.1异方差性怀特检验的基本思想与步骤：4、怀特（White）检验iiiiXXY22110然后做如下辅助回归iiiiiiiiXXXXXXe215224213221102~可以证明，在同方差假设下：R2为的可决系数，h解释变量的个数，表示渐近服从某分布。§4.1异方差性五、异方差的修正模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）进行估计。加权最小二乘法的基本思想：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。在采用OLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。21102)]ˆˆˆ([kkiiiiXXYWeW§4.1异方差性§4.1异方差性注意：采用截面数据作样本时容易出现异方差不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法§4.1异方差性六、案例--中国农村居民人均消费函数例4.1.4中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。农村人均纯收入包括(1)从事农业经营的收入，(2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资性收入、(4)财产收入(4)转移支付收入。考察从事农业经营的收入(X1)和其他收入(X2)对中国农村居民消费支出(Y)增长的影响:22110lnlnlnXXY§4.1异方差性表4.1.1中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出相关数据（单位：元）地区人均消费支出Y从事农业经营的收入1X其他收入2X地区人均消费支出Y从事农业经营的收入1X其他收入2X北京3552.1579.14446.4湖北2703.361242.92526.9天津2050.91314.62633.1湖南1550.621068.8875.6河北1429.8928.81674.8广东1357.431386.7839.8山西1221.6609.81346.2广西1475.16883.21088.0内蒙古1554.61492.8480.5海南1497.52919.31067.7辽宁1786.31254.31303.6重庆1098.39764.0647.8吉林1661.71634.6547.6四川1336.25889.4644.3黑龙江1604.51684.1596.2贵州1123.71589.6814.4上海4753.2652.55218.4云南1331.03614.8876.0江苏2374.71177.62607.2西藏1127.37621.6887.0浙江3479.2985.83596.6陕西1330.45803.8753.5安徽1412.41013.11006.9甘肃1388.79859.6963.4福建2503.11053.02327.7青海1350.231300.1410.3江西1720.01027.81203.8宁夏2703.361242.92526.9山东1905.01293.01511.6新疆1550.621068.8875.6河南1375.61083.81014.1§4.1异方差性普通最小二乘法的估计结果：21ln5084.0ln3166.0655.1ˆlnXXY(1.87)(3.02)（10.04）2R=0.78312R=0.7676DW=1.89F=50.53RSS=0.8232异方差检验§4.1异方差性(1)G-Q检验将原始数据按X2排成升序，去掉中间的7个数据，得两个容量为12的子样本。对两个子样本分别作OLS回归，求各自的残差平方和RSS1和RSS2：子样本1：(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648子样本2：(0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.272921ln119.0ln343.0061.4ˆlnXXY21ln776.0ln138.0791.0ˆlnXXY§4.1异方差性计算F统计量：F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31查表给定=5%，查得临界值F0.05(9,9)=3.18判断FF0.05(9,9)否定两组子样方差相同的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性。§4.1异方差性（2）怀特检验作辅助回归:2222112)(ln026.0ln055.0)(ln015.0ln102.017.0ˆXXXXe（-0.04）(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47)21lnln043.0XX(-1.11)R2=0.4638似乎没有哪个参数的t检验是显著的。但nR2=31*0.4638=14.38=5%下，临界值20.05(5)=11.07，拒绝同方差性§4.1异方差性去掉交叉项后的辅助回归结果2222112)(ln039.0ln539.0)(ln042.0ln570.0842.3ˆXXXXe(1.36)(-0.64)(064)(-2.76)(2.90)R2=0.4374X2项与X2的平方项的参数的t检验是显著的，且nR2=310.4374=13.56=5%下，临界值20.05(4)=9.49拒绝同方差的原假设§4.1异方差性原模型的加权最小二乘回归对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量ěi，以此构成权矩阵2W的估计量；再以1/|ěi|为权重进行WLS估计，得21ln527.0ln319.0497.1ˆlnXXY(5.12)(5.94)（28.94）2R=0.99992R=0.9999DW=2.49F=924432RSS=0.0706§4.2序列相关性一、序列相关性如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性。对于模型Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+ii=1,2,…,n随机项互不相关的基本假设表现为Cov(i,j)=0ij,i,j=1,2,…,n§4.2序列相关性在其他假设仍成立的条件下，序列相关即意味着0)(jiE2112)()()()(nnEEECovμμμ2112nnIΩ22或§4.2序列相关性称为一阶列相关，或自相关（autocorrelation）其中：被称为自协方差系数或一阶自相关系数i是满足以下标准的OLS假定的随机干扰项：如果仅存在E(ii+1)0i=1,2,…,n自相关往往可写成如下形式：i=i-1+i-110)(iE,2)var(i,0),cov(sii0s§4.2序列相关性二、实际经济问题中的序列相关性大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则可能出现序列相关性（往往是正相关）。例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：Ct=0+1Yt+tt=1,2,…,n1、经济变量固有的惯性§4.2序列相关性2、模型设定的偏误所谓模型设定偏误（Specificationerror）是指所设定的模型“不正确”。主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。