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第四章不完全信息静态博弈例∶求爱博弈假设有一先生向一女士（你）求爱，你的选择是接受还是拒绝，依赖于你对求爱者品德的判断。假如你准确地知道求爱者品德良好，你选择接受；反之，则拒绝。问题在于，你并不准确地知道求爱者的品德，这时你如何选择呢？100，100-50，00，00，0100，-100-50，00，00，0求爱者求爱不求爱品德优良品德恶劣不接受接受接受不接受你引例∶市场阻挠博弈在第二章的完全信息的静态博弈中已涉及到市场阻挠博弈，这个博弈是说一个垄断企业已在市场上（在位者），另一个企业虎视眈眈的准备进入。进入者有进入与不进入两种选择，在位者有默许或斗争两种选择，两者同时进行选择。而在位者选择默许或斗争是取决于他的成本的高低，如果是低成本，则选择斗争；如果是高成本，则选择默许。在位者知道自己是高成本还是低成本，但进入者只知道在位者可能是高成本也可能是低成本，但不知道在位者到底是高成本还是低成本。这时博弈就面临的是不完全信息的静态博弈，其博弈矩阵可表示如表4.1。表4.1不完全信息的市场阻挠博弈在位者高成本低成本默许斗争默许斗争进入30，50-10，020，70-10，100进入者不进0，1000，1000，1400，140这时，进入者似乎是在与两个不同的在位者博弈，一个是高成本的在位者，另一个是低成本的在位者，进入者这时应该如何选择呢？第一节不完全信息静态博弈和贝叶斯纳什均衡一、不完全信息静态博弈的概念（一）不完全信息在完全信息博弈中是假定有关参与人的支付函数是“共同知识”。但现实中的许多博弈并不满足这个要求。比如，当你与一个陌生人打交道时，你并不知道他的特征（如他喜欢什么，不喜欢什么）。实际中，即使与你长期共事的人，也很难说你对它有完全的了解；当你想买（或卖）一件古董时，你并不知道卖主愿意脱手的最低价格（或买主愿意出的最高价格）；当一个企业想进入某个市场时，它并不清楚在位者的成本函数等等。但博弈论中的不完全信息是指博弈中的参与人对其他参与人（包括他自己）对博弈局势有关的事前信息了解不充分，而不是指博弈进行中对博弈进程信息的了解不充分。博弈中的不完全信息具有多种形式，如参与人对其他参与人的理性程度、决策能力、背景、知识、偏好、战略、参与人数目等等了解不充分。海萨尼认为，从技术角度来看，博弈中的不完全信息是指对博弈中的参与人、战略和得益不充分了解。但从理论上讲，种种不完全信息都可转化为参与人对得益函数的不完全了解。因此，至少有一个参与人不知道其他参与人的得益函数的博弈，称为不完全信息的博弈，也有称为贝叶斯博弈。如果参与人是同时行动的，就称为不完全信息的静态博弈，如果参与人是不同时行动的，就称为不完全信息的动态博弈。（二）类型博弈中的类型是指一个参与人所拥有的所有的个人信息，称为他的类型。对于一个参与人而言，他自己知道自己是某种特定类型，而对于其他（全部或部分）参与人来说，则只知道他是若干种可能类型中的一种，而不能确切地知道他是哪一种特定类型。如在市场阻挠博弈中，进入企业（参与人1）决定是否进入一个新的产业，只知道在位者有两种类型∶可能是高成本也可能是低成本，但不知道在位企业（参与人2）到底是高成本还是低成本。而在位者知到自己是高成本还是低成本。假如进入者只有一种类型，高成本，且是共同知识。这样，在该博弈中，在位者有两种类型，且是在位者的私人信息，而进入者只有一种类型，则该博弈是不完全信息博弈。不完全信息意味着，至少有一个参与人有多个类型（否则就成为完全信息）。可见，类型是参与人个人特征的完备描述。而且在绝大多数博弈中，参与人的特征由支付函数完全决定，故一般又用参与人的支付函数等同于他的类型。一般用iii来表示参与人i的一个特定的类型，表示参与人i所有可能类型的集合（）。用i（三）贝叶斯原则在不完全信息的博弈中，至少有一个参与人只知道其他参与人是若干种可能类型中的一种，但不能确切地知道他是哪一种特定类型时，就只能在主观判断其他参与人是哪种类型的基础上进行自己的战略选择。贝叶斯原则的意思是，如果在博弈时对其他参与人的类型没有确定性了解，且不知道其发生的客观概率，则可在主观概率的基础上进行判断，而这个主观概率是根据贝叶斯公式计算出来的。即如果用),,,,,(111niii表示除i之外的所有参人的类型),(),,(1iin)(iiipii)(),()(iiiiiippp)(iiip)(ip。称即给定参与人i属于类型的条件下，他有关其他参与人属于的概率。则有∶如果类型的分布是独立的，。为参与人i的条件概率，例如有两个厂商生产同一产品，其成本可能是高成本，也可能是低成本。他们自己知道自己的成本是高还是低，但不知道对方的成本是高成本还是低成本，只知道对方的成本可能是高成本，也可能是低成本。这就意味着两个厂商均有两种类型，高成本类型与低成本类型，如两厂商的联合概率分布如表4.2。表4.2两厂商联合概率分布表厂商2高成本低成本0.30.20.10.4高成本厂商1低成本根据联合概率分布，就可以知道每个参与人在不同情况下对其他参与人类型的概率（按贝叶斯公式进行推算）。如本例中，如果厂商1是高成本类型，那么，他认为厂商2是高成本类型的概率为0.6=0.3/(0.3+0.2)，厂商2是低成本类型的概率为0.4=0.2/(0.3+0.2)；如果厂商1是低成本类型，那么，他认为厂商2是高成本类型的概率为0.2=0.1/(0.1+0.4)，厂商2是低成本类型的概率为0.8=0.4/(0.1+0.4)。同理，按贝叶斯公式可推出厂商2认为厂商1是高成本类型还是低成本类型的主观概率。需要注意的是，参与人判断类型的主观概率的机制是所有参与人的“共同知识”，即所有参与人知道其他参与人的对类型的主观概率的判断是依据贝叶斯法则进行的，并且知道判断的结果。在上例中，厂商1不知道厂商2的真实类型，厂商2也不知道厂商1的真实类型，但厂商2会知道厂商1是依据贝叶斯法则来推断自己是高成本类型还是低成本类型的概率，即如果厂商1是高成本类型，他会认为厂商2是高成本的概率为0.6，是低成本的概率为0.4；如果厂商1是低成本类型，他会认为厂商2是高成本的概率为0.2，是低成本的概率为0.8。同理，厂商1会知道厂商2是依据贝叶斯法则来推断自己是高成本类型还是低成本类型的概率，并知道其概率是多少。也就是说，理性的参与人在同样的信息下对同一事件会形成相同的概率判断。换句话说，当一个参与人不知道其他参与人的类型时，但依据贝叶斯法则可知道其类型的概率，而且有关类型的概率是所有参与人的“共同知识”。二、海萨尼（Harsanyi）转换在不完全信息静态的市场阻挠搏弈中（引例），进入者似乎是在与两个不同的在位者博弈，一个是高成本的在位者，另一个是低成本的在位者。一般地，如果在位者有T种可能的不同成本函数，进入者就似乎是在与T个不同的在位者博弈。在1967年以前，博弈论专家认为这样的不完全信息博弈是没法分析的，因为当一个参与人并不知道他在与谁博弈时，博弈的规则是没有定义的。海萨尼在1967年提出一个处理不完全信息博弈的方法是∶引入一个虚拟参与人“自然”（nature）；自然首先行动决定参与人的特征（上例中是成本函数），参与人知道自己的特征，其他参与人不知道。这样，不完全信息静态博弈就转化为完全但不完美的动态博弈了（图4.1）。这就可以使用标准的分析技术进行分析了。有了“海萨尼转换”，不完全信息与不完美信息之间的区别就不重要了。以后再谈到不完全信息博弈时，就是指经过转换之后的博弈。海萨尼转换已成为处理不完全信息博弈的标准方法。N1-pp（0，140）在位者（0，100）（0，100）斗争默许进入不进低高进入者不进（0，140）（-10，0）（-10，100）（20，70）（30，50）进入在位者默许默许默许斗争斗争斗争图4.1海萨尼转换后的市场阻挠搏弈在图4.1中，我们假定“自然”N选择的是在位者是高成本还是低成本。进入者有关在位者的成本信息是不完全的，但在位者有关进入者的成本信息是完全的。如果在位者是高成本，给定进入者进入，在位者的最优选择是默许；如果在位者是低成本，给定进入者进入，在位者的最优选择是斗争。因此，在完全信息时，如果在位者是高成本，进入者的最优选择是进入；如果在位者是低成本，进入者的最优选择是不进入。但因为进入者不知道在位者究竟是高成本还是低成本，进入者的最优选择依赖于他在多大程度认为在位者是高成本还是低成本。假定进入者认为在位者是高成本的概率是p，低成本的概率是（1-p）。那么，进入者选择进入的期望利润是∶p（30）+（1-p）（-10），选择不进入的期望利润是0。因此，进入者的最优选择是∶如果p≥1/4，进入；如果p1/4，不进入。（当p=1/4时，进入与不进入之间是无差异的，我们假定他进入）。,,,1n,,,1npp),(,),(11nnAA);,,(,),;,,(1111nnnnaauaau,ii)(iiiippiii},,;,,;,,;,,{1111nnnnuuppAAG三、贝叶斯纳什均衡（一）不完全信息静态博弈的概念在有了以上的一些有关不完全信息静态博弈的相关知识后，则可以用战略式表述不完全信息静态博弈。定义4.1∶n人静态贝叶斯博弈的战略式表述包括∶参与人的类型空间条件概率类型依存战略空间和类型依存支付函数。参与人i知道自己条件概率描述给定自己属于参与人i有关其他参与人类型的不确定性。则用代表这个博弈。的类型的情况下，},,;,,;,,;,,{1111nnnnuuppAAGniiia1*)}({i)(*iiaiu)}(,),({*1*1*nnaaa),(iiiAa},);(,{)(maxarg)(**iiiiiiiiiaiiaaupai（二）贝叶斯纳什均衡有了以上的概念，则不完全信息静态博弈的解贝叶斯纳什均衡有如下的定义。定义4.2∶n人不完全信息静态博弈的纯战战略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存战略组合，其中每个参与人i在给定自己的类型和其他参与人类型依存战略的情况下最大化自己的期望效用函数。换言之，战略组合是一个贝叶斯纳什均衡，如果对于所有的i，有可见，不完全信息静态博弈的解贝叶斯纳什均衡实际上是这样一种类型依从型战略组合∶给定自己的类型和别人类型的概率分布情况下，每个参与人最大化自己的期望效用。使用上述定义可以得出，不完全信息下静态的市场进入博弈的贝叶斯纳什均衡是∶高成本的在位者选择默许，低成本的在位者选择斗争；当只当p≥1/4时，进入者选择进入，当p1/4，不进入。第二节不完全信息下的混合战略一、混合战略的重新解释在第二章的完全信息静态博弈中，我们看到许多博弈中不仅存在纯战略，还存在混合战略，有的博弈中还不存在纯战略，而只存在混合战略。在引进混合战略概念时，我们用手心和手背的游戏对混合战略的概念和概率的计算进行了论证。在手心和手背的游戏中，两参与人都按一定的概率随机地选择出手心或手背，这是人们在现实中观察到的合理的行为。但某些博弈问题，混合战略的理解却不如手心和手背游戏博弈那样直观明白，如“麦琪的礼物”中存在一个混合战略，即丈夫吉姆按一定的概率选择卖表或不卖表，妻子德娜按一定的概率选择卖发或不卖发，则让人不易理解。故有人对混合策略的意义提出了质疑，认为除了游戏博弈外，现实中的参与人似乎并不是靠掷骰子或掷硬币（即随机的）来选择自己的行动。另一种质疑意见是，参与人的战略选择应是对其他参与人选择的战略的最优反应，因此任何是对其他参与人选择的战略的最优反应的战略都是有道理的。在混合战略均衡中，如果对方采取所指定的混合战略，那么参与人采用混合战略中赋予正概率中的任何一个纯战略，都将获得同样的得益，因此都是对于对方战略的最优反应，也是理性反应。因此，参与人可以在那些纯战略中任选一个来对应，而不是通过随机机制来决定自己的战略，更没有理由严格按照混合战略的随机机制