经济应用数学2doc-经济应用数学——微积分

1经济应用数学——微积分部分习题解答（参考）习题一（P37）1．设函数112)(xxxf求：f(0)，f(-1)，f(a1)，f(a+1)解：分析：即求当x为0，-1，a1，（a+1）时的函数值。f(0)=10102=-1;f(-1)=1)1(1)1(2=21f(a1)=aaaa121_1112;f(a+1)=aaa321)1(1)1(23.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么？（1）y=lg2x与y=2lgx(2)y=1与y=sin2x+cos2x(3)y=112xx与y=x+1(4)y=-xx与y=-x2解：分析：相同函数的条件是D与f相同。（定义域与对应规则）（1）不同，D不同（2）相同定义域与对应法则相同（3）不同，D不同（4）不同对应法则不同（当x=-1，对应y不同）4．求下列函数的定义域：（1）y=xx1(2)y=2112xx(3)y=lg211xx(4)y=lglg(x+1)(5)y=arcsin21x(6)y=tan(2x+1)(2x+1k2)解：求定义域应记住：①分母≠0②aa≥02③xalogx﹥0④三角函数的限制。(1)y=xx1解D:x≠0[或(-),0()0,)（2）y=2112xx(4)lglg(x+1)解:1012xxD:-1≤x﹤1解:010)1lg(xxD:(0,+∞)(3)y=lg211xx(5)y=arcsin21x解:01102xxD:[-2,1解:121xD:[-1,3](6)y=tan(2x+1)解:2x+1k2D:x422xk5．判断下列函数的奇偶性。（1）f(x)=233xx(3)f(x)=lg(x+21x解:f(-x)=233xx=f(x)解:f(-x)=lg(-x+2)(1xf(x)是偶函数。=lg)1()1)(1(222xxxxxx=lg211xx=lg(x+12)1x=-lg(x+21x)=-f(x)3f(x)是奇函数。(4)f(x)=xex解:f(-x)=-xex≠f(x)[也≠-f(x)]f(x)是非奇非偶函数。(5)f(x)=logxx113解:f(-x)=logxx113分析：判断奇偶函数=log3（1)11xx（1）f(-x)=f(x),f(x)是偶函数=-logxx113(2)f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数=-f(x)否则非奇非偶。f(x)是奇函数。（6）设f(x)=xxx2221111xxx求f(0)，f(-1)，f(1)，f(-2)，f(2)，并作出函数图像。解：分析：求分段函数的函数值D先确定x0的所属的区间从向确定其解析式尔后代之，②作图需分段作图。0-1x≤1-1∈x≤-1f(0)=02=0f(-1)=(-1)+2=1,f(1)=12=14f(-2)=(-2)+2=0,f(2)=2-2=07．设f(x)=xx1xx1)(求f[)](x,)]([xf解：分析：视f[)](x中的)(x为中间变量代替f(x)中的变量x而成。f[)](x=xxxxx1111)()(1;)]([xf=xxxxxf111)(110．求下列函数的反函数（3）y=2x3+1(4)y=1-lg(x+2)解:x3=21y解:lg(x+2)=1-yx=321yx+2=10y1即y=322xx=10y1-2即y=10x1-214．下列变量中哪些是无穷小，哪些是无穷大（在指定的变化过程）分析：在指定变化过程中，变量→0是无穷小。变量→∞是无穷大。（1）x2+2x(x→0)(2)xx12(x→0)解:当x→0，x2+2x→0解:当x→0，2x+1→1，x→0是无穷小。是无穷大。(当x→0，x2无穷小，x是无穷小)(3)(-1)nn211(n→∞)(4)nn)1(1(n→∞)5解:当n→∞时(-1)1n是有界量解法一：nnnnnnnn)1(lim1lim)1(1limn21是无穷小量。=0+0=0是无穷小。是无穷小。（5）ex1(x→0+)解:x→0+,x1,ex1→∞是无穷大.(x→0+)(6)ex1(x→0-)解:x→0-,x1,e0111xxe是无穷小.(x→0-)(7)lgx(x→0+)解:x→0+,lgx→∞,是无穷大.(x→0+)(8)11x(x→1)解:x→1,x-1→0,11x是无穷大.(x→1)(9)xxcos1(x→∞)解:1cosx,是有界量,x→∞时,x1是无穷小,xxcos1→0是无穷小.(x→∞)(10)2x(x→+∞)解:x→+∞,2x→+∞是无穷大.(x→+∞)15.求下列极限.6(1))152(lim22xxx解:连续函数)()(lim00xfxfxx)152(lim22xxx=2×(-2)2+5×(-2)-1=-3(2)13lim2423xxxx(12))1113(lim31xxx解:分析:分子.分母极限均存在,可用法则解:原式=)1)(1(13lim221xxxxxx1lim3lim13lim243232423xxxxxxxxx=)1)(1()2)(1(lim21xxxxxx=1)3()3(3)3(242=0=2112limxxxx=1(3))321(lim0xx(13))2121211(lim2nn解:)321(lim0xx解:原式=211])21(1[1limnn=32lim1lim00xxx=])21(1[2limnn=2=1-35)32((4)23lim22xxx(14)]21)2(1[lim0xxxx解032lim22xxx解:原式=)2(222lim0xxxx23lim22xxx=41)2(21lim0xx分析:无穷小的倒数是无穷大.7(11)503020)15()13()12(limnnnn解:分析:分子、分母同除以n50503020)15()13()12(limnnnn=50302053216.设函数f(x)xxx212321100xxx)(lim)(10xfxfxx的极限并求时及讨论当解：本题的解法可参照书中P13例3（1）当x→01)1(lim)(lim200xxfxx2)23(lim)(lim00xxfxx左极限≠右极限f(x)极限不存在.(当x→0)(2)当x→122lim)(lim11xxfxx2)1(lim)(lim211xxfxx左极限＝右极限＝f(1)=2当x→1时f(x)的极限为2(3)当x→∞02lim)(limxxfxx18.(1)xxxx30sinsintanlim解法1:原式=xxxxx30sinsincossinlim解法2:原式=xxxxx30sinsincossinlim=xxx20sin1cos1lim=xxxxcossincos1lim208=)cos1(coscos1lim20xxxx=xxxxcossin2sin211lim220=)cos1(cos1lim0xxx=xxxxxcos2cos2sin42sin2lim2220=21=xxxcos2cos21lim20=21解法3:“用洛必达”(3)xxxxxsinsinlim0原式=xxxxxcossin3coscos1lim220解:原式=xxxxxsin1sin1lim0=xxxx3230cos1sin3cos1lim=1111=xxxxxcossin6)sin(cos3lim20=0=2coslim0xx=21（2）xxx2sin5sinlim0解法1:原式=2522sin55sinlim0xxxxx解法2:可用等价无穷小解之=2522sinlim55sinlim0205xxxxxx原式=xxx25lim0=25=259(4)xxx2arctan3lim0(5)nnn21sin2lim解:2323lim0xxx解:原式=nnn2121sinlim(当x→0arctanx～x)=12121sinlim021nnn(6)xxxxsintanlim0解:原式=xxxxxxsinlimtanlim00=1lim0xxx=1-1=019.求下列极限(1)xxx3)21(lim(2)12)11(limxxx解:原式=62])21[(limxxx解:原式=)11(])11[(lim21xxxx=e6=e21211e(3)xxx2)33(lim(4)xxxsec2)cos21(lim解:原式=323])31[(limxxx解:原式=2cos212])cos21[(limxxx=32e=2e(5)2)11(limxxxx解:原式=)121(])121[(lim221xxxx10=221ee20.求下列函数的间断点并指出其类型。(1)y=11x(2)y=xsinx1解:11lim1xx解:00lim1sinlimxxxx(无穷小x有界量)x=-1是无穷间断点=0是第二类间断点x=0是第一类间断点为可去间断点(3)y=5252xx(4)y=(1+x)x1解:10525lim25xxx解:exxx10)1(limx=5是可去间断点x=0是第一类间断点，可去间断点第一类间断点(5)y=23122xxx(6)y=xxsin解:231lim221xxxx解:1sin1limsinlim00xxxxxx=)2)(1()1)(1(lim1xxxxxx=0是第一类可去间断点=-2但x=k(k=±1,±2…)x=1是第一类可去间断点时limy不存在231lim222xxxxx=k(k=±1,±2…)=21lim2xxx时是第二类无穷间断点11x=2是第二类无穷间断点23．下列函数在x=0是否连续？为什么？(1)f(x)xexx0sin000xxx解:1lim0xxe1sinlim0xxx但f(0)=0f(x)在x=0不连续.(2)f(x)1sinxx00xx解:)0(1sinlim0fxxxf(x)在x=0连续.(3)f(x)021xe00xx解:)0(01limlim221010feexxxxf(x)在x=0连续.24.求下列函数的极限。(1)2021limxxx(2))1cot()1cos(lim1xxx解:原式=1001解:原式=无穷小无穷大1x→-1,cos(1+x)→1(3))1sin()1ln(lim220xxxx→-1,cot(1+x)→∞12解:原式=01sin00)1cot()1cos(lim1xxx(5)22011limxxx(6)22312lim4xxx解原式：解原式：=)11)(11()11(lim22220xxxxx=)22)(312)(22()22)(312)(312(lim4xxxxxxx=2)11(lim20xx=2326222lim4x27．某厂生产产品1