经济数学微积分第二版第四章第四节函数的最大值和最

一、函数的最大值与最小值二、经济应用问题举例三、小结思考题第四节函数的最大值和最小值及其在经济中的应用一、函数的最大值与最小值经济问题中，经常有这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最大值或最小值问题．根据自变量的取值范围，分以下两种情况讨论．1．目标函数在闭区间连续由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法步骤如下：第一步，求出有可能取得最值的点，包括使0)(xf和)(xf不存在的点，及区间端点．第二步，计算所求出的各点的函数值，比较其大小，选出最大值和最小值．2．目标函数在开区间连续开区间的连续函数不一定有最大、最小值．即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求出．若函数满足下列两个条件：（1）)(xf在开区间有且仅有最大（小）值；（2）)(xf在开区间只有一个可能取得极值的点；则可以断定这个极值点一定是函数的最大（小）值点．1.最大利润问题二、经济应用问题举例)()()()()()(QCQRQLQLQCQRQ可表示为则总利润，和的函数，分别记为示为产量总成本都可以表在经济学中，总收入和0)()()(dQQCQRddQQdL零，即其一阶导数等于为使总利润最大，须令dQQdCdQQdR)()(表示边际成本表示边际收益，dQQdCdQQdR)()(显然，为使总利润达到最大，还应有)0)()((,0)()(22QCQRdQQCQRd))()((,)())((2222QCQRdQQCddQQRd即例1某厂每批生产A商品X台的费用为2005)(XXC(万元)，得到的收入为201.010)(XXXR(万元)，问每批生产多少台，才能使利润最大？解：则设利润为),(XL20001.05)()()(2XXXCXRXLXXL02.05)(，由于台，解得令)(2500)(XXL002.0)(XL.)(425)250(值为极大值，也就是最大万元所以L例2设某厂的成本函数为2()CQaQbQc，需求函数为ePdQ/)(，其中)(QC为成本，Q为需求量产量，P为价格，a，b，c，d，e均为正常数，且db，求利润最大时的产量及最大利润.解：故得收益函数得由,,/)(eQdPepdQ)()(eQdQPQQR利润函数为2()()()()()LQRQCQdbQeaQcQaebdQL)(2)()()(2/)(0)(0aebdQQL得唯一驻点，由故又,0)(2aeL最大值为时利润最大,)(2/)(0aebdQQcaebdaebaLQL)(4/)()(2/)()(20例3假设某种商品的需求量Q是单价P(单位:元)的函数：PQ8012000；商品的总成本C是需求量的函数：QC5025000，每单位商品需纳税2元，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.解)5025000()2)(8012000(QPPL64900016160802PP16160160)(PPL且是唯一极值点，得令1010)(PPL元时，故当又因101,0160)101(PL)(167080)101()(元有最大值，且最大值为LPL2.最大收益问题例4某商品的需求函数为275)(PPQQ，问P为多少时，总收益最大？解：PPQPPR)75()(22375)(PPR)(5,0)(唯一驻点得令PPR.5,030)(5时收益最大故PPRP例5设某商品的单价为P时，售出的商品数量Q可表示为cbPaQ，其中a,b,c均为正数，且abc.（1）求P在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？（2）要使销售额最大，P应取何值，最大销售额是多少？解00()0,()abbRPPbabccc令得时故当由题设)(0,0,bcacbPPbca.,0的增加而增加相应的销售额将随单价有PR)()()1(cbPaPPQPR销售额22)()()(bPbPcabPR,)(时当bcacbP.的增加而减少相应的销售额将随单价P售额为处取得最大值，最大销在点，所以又是唯一驻是销售额的极大值点，可知由00)1()2(PRP20)(/)(bcaccababcabPR例6设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为2()10exPPx，且最大需求量为6，其中x表示需求量，P为价格：(1)求该商品的收益函数和边际收益函数；(2)求使收益最大时的产量，最大收益和相应的价格；(3)画出收益函数的图形。解),60(10)()1(2xexxPxRx;)2(5)(2xexxR边际收益函数为052/)4(5)(,2,0)()2(1222exexRxxRxxx又得唯一驻点令110)2(2eRx为为最大值点，最大收益故相应的价格为：1221010eePxx列表如下：内，的点插入把]6,0[)0)((4,2)3(xRxxx(0,2)2(2,4)4(4,6)+0------0+极大值拐点)(xR)(xR)(xR120e)40,4(2e其图形如下：0xR246360e240e120e例7已知某厂生产x件产品的成本为4020025000)(2xxxC，问要使平均成本最小，应生产多少产品？如果每件产品以500元售出，要使利润最大，应生产多少产品？解：4020025000)()(xxxxCxC40125000)(2xxC.1000.)(1001050)1000()(1000,1000,0)(3521件产品小，应生产因此，要使平均成本最取最小值时，故当，因，舍得由xCxCxxxC)()()(xCxRxL)()4020025000(5002xLxxx20200500x6000,0)(xxL得令件产品时利润最大故生产6000,0201)(xL3.经济批量问题(一)经济批量概念所谓经济批量问题就是确定合理的采购进货的批量，使库存费用和采购费用之和最小.(二)经济批量问题的求法及原理..下图所示化如库存量相对于时间的变为进货周期为时间，，库存量为批采购，批量为，全年分量为设某种货物的全年需求TtxXNa0tT2X(库存量)X最高库存量2X平均库存量2202)(XX）（最小库存量最大库存量平均库存量则表示全年的采购次数，表示全年的需求量，量，用可看成全年的平均库存NaX2xXXaN则全年的采购费用为需的采购费用，表示每采购一批货物所用bXabXabbN，因此，总费用为则全年的库存费用为一年所需费用，表示一个单位货物库存用2CXC2)(CXXabXE的函数：，故总费用也可表示为又NNaX()/()()()22aaCaCENabbNNNN2222(),022CabCXabEXXXX由为最小值点故又03),0,,(02)(XXbaXabXECabXXEXE2)(,0)(0的唯一驻点得令且最小总费用为0002()2222XabCabCEXCababCXCab22202)(XabCXabCXE得由即得等式两边乘,XXabCX2费用批量总费用库存费用采购费用经济采购费用例8某厂生产某种产品，其年销售量为100万件，每批生产需要增加准备费1000元，而每件的一年库存费为0.05元.如果年销售率为平均的，且上批售完后立即生产出下批(此时商品的库存数为批量的一半)，问应分为几批生产，能使采购费用及库存费之和最小？解解法一NxabNb1000一年生产准备费为1000000axNN批量（N为批数）05.0210000002,210000002NxCNx库存费库存量于是总费用为05.0210000001000)(NNNE250001000,(0,)NNN225000()10000,ENN令得)(55舍去或NN.5,050000)(3时总费用最小故NNNE.5小批生产，能使总费用最即分解法二2Cxabx由得,20000010001000000)05.0(2xxx得所以即经济批量,200000x52000001000000xaN.5批生产总费用最小即分4.最大税收问题：则，每件商品征税为为，征税后的总成本为设企业某件商品的产量,)(txCxt)()()(xtxCxCtttxCxRxL)()()(征税后的利润为()()()RxCxtx时，有最大值，时，且当0)(0)(ttxLxL,txttxT政府得到的总税收为;txx此时解出的产量可见最大税收问题仍为一元函数的最值问题.例9某种商品的需求函数是P=20-4x，企业的平均成本是2)(xC，(1)若向企业每单位商品征收税款t，试求其最大利润和税收最大时的t值.(2)试求当征收25%的销售税时，企业的最大利润.解：xP420需求函数2)(xC平均成本又txxxCt2)(税收后的总成本)420()(xxxPxR收入函数xxC2)(总成本征税后利润函数)1(ttxCxRxL)()()(txxxx242022(18)4txxxtxLt818)(818,0)(txxLt则当222818420ttP此时，08)(txL又有最大值txL)(16)18()818(48)18()818(222ttttLt8)18(2tttxT此时，总税收498218ttT9,0tT则令041T又.有最大值T.8819TT时，税收的最大值为即当1681L利润的最大值为是税后，付给企业的价格的销售若征收需求函数%25,420)2(XP)420(43xPtttxCxRxL)()()(利润函数为23132)420(43xxxxx613,0)(xxLt则06)(txL又有最小值txL)(12169613Lx时，有最大利润即当5.其他方面的应用：例10(最优门票票价问题)某单位准备举行一次游园会，据测，若门票为每人8元，观众将有300人，且门票每降低一元，观众将增加60人.试确定当门票多少时可使门票收入最大，并求相应的门票收入.解应相等，即法，则降低的损失两种算门票收入为人，元，对应的观众为设票价为每人Ryx)8(601)300(xy).80(60780xxy所以260780)60780(xxxxyR又xR120780.,0120有最大值所以又因为RR其相应的门票收入为大，元时，可使门票收入最即当每人门票5.6（元）2535)5.6(R5.6,0xR则令例11(最佳时机问题)某酿酒厂有一批新酿成的酒，即可在现时(t=0)卖掉收入K元，也可在窖藏起来待来日按陈酒价钱出售.随窖藏时间的增加，其酒价V是窖藏时间的函数tKeV.假设窖藏不需支出存储费，连续计息的年率为r，问窖藏多长时间可使利润最大.解依题意可知：酒的酿造成本已经结转，又假设不需支出存储费，所以使利润最大与使销售收入V最大是一样的..rtrtVeAVtAeVtAr钱在现时的值为元的时后终值为，反之，的终值为时元在时间的情况下，现时的在年利率为.)(rtVetAVt的现值是后的价值意长的时间因此，这批酒在窖藏任tKeV又因为rttrttKeeKetA)(所以0)()(