经济订货批量

现代物流控制技术二、经济订货批量（一）经济订货批量的概念经济订货批量是指能使年存货总成本最小的一次订货数量．它是对库存实行定量控制和定期控制的一个最基本的参数。现用一个简例（该例中的数据还将用于本书的所有其它例子之中）来具体说明经济订货批量的有关基本概念。为简明起见，现按第一种库存模式，且暂不考虑价格折扣（此时，购入费率与订货批量无关，因而年购入成本不影响经济订货批量，和缺货（即年存货总成本中不舍缺货成本）。此时，影响经济订货批量的年存货总成本实际上就是年（订）购储（存）总成本。例4设某种物资的年需求量D=3,600件／年，订购费率Cp=10元／次，储存费率Ch＝0.8元／件．年。则不同订货批量Qi和年订货次数Ni的年订购成本（TCp）i，年储存成本（TCh）i和年存货总成本TCi见表1。表1不同订货批量或年订购次数的年存货购储总成本D=3,600件／年，CH=0.8元／件-年，CP=10次／元订货批量（件）Qi订购次数（次／年）Ni平均周转储备量（件）年储存成本（元／年）年订购成本（元／年）年存货总成本（元／年）1,200900720600430400360300*2402001801501201003456891012*15182024303660045036030022520018013012040090756050480360288240180160144120908072604840304050608090100120150180200240300360310400338309260250244240*246330272300348400根据表1的资料，可将订货批量Q或年订货次数N与年存货总成本Tc、年订购成本TCp和年储存成本TCh的关系用图5和图6来描述。图5订货批量与年存货（购储）总成本的关系物流前沿（）第9页现代物流控制技术图6年订购次数与年存货（购储）总成本的关系从表1和图5、图6可知：（1）年储存成本TCi与年订购成本TCp，随订货批量Q（或年订货次数N）而相逆变化，且当年储存成本TCh（120元／年）与年订购成本TCp（120元／年）相等时，有最低年存货总成本TCE（240元／年），TCe所对应的订货批量即为经济订货批量Qe（300件）：TCe所对应的年订购次数即为经济（最佳）订购次数Ne（12次／年）。（2）当QEQi时，TCp下降的速率大于TCh增长的速率:（dTCp／dQ）（dTCh／dQ）（即边际订购成本边际储存成本），当QeQi时，TCp下降的速率小于TCh增长的速率；（dTCp／dQ）（dTCh／dQ）（即边际订购成本边际储存成本）；当两者的变化速率相等，（dTCP／dQ）=（dTCh／dQ）（即边际订购成本＝边际储存成本）时，年存货总成本最小。（3）在Qe和Ne附近的一个不算小的范围内，当Q和N变化较大时，它们所对应的Tc却变化很小，即Tc在此相当数量范围内，对Q和N的变化反应并不敏感．这就使我们可以按照合理的组织供应和便于管理的要求，对理论计算的QE或NE进行适当的调整，而仍能获得与按Qe或Ne订货时相差不大的年存货总成本。（二）经济订货批量的数学模型1．基本数学模型之一--不考虑价格折扣和缺货此系按第一种库存模式（参见图1）建立的经济订货批量数学模型。此时rhpTCTCTCTC++=公式26DCrChQCpQDTC++=2（1）根据求极值的原理令0=dQdTC此即当图5、图6中TC切线之斜率为零时，Q即为Qe。于是有022=+−ChQDCpr公式27hpeCDCQ2=从上亦可知．在此由于D与Cr均为常量，故Qe与TCr无关。物流前沿（）第10页现代物流控制技术又由0232−QDCpdQdTC可知：QE所对应的年存货总成本TCE为极小值。（2）年订购成本与年储存成本相等时，有最低的年存货总成本，即有hepeCQCQD2=hpeCDCQ2=若储存费率以平均储备金额或货物单位购入成本的一定百分率H表示时，则公式27可改写为公式28HCDCQhpe2=按Qe组织订贷和控制库存时，其最低年存货（购储）总成本TCe可按下式计算:hepeeCQCQDTC2+=将Qe之值代入上式，得公式29hphphphhpphpeCDCCDCCDCCCDCCCDCDTC222222=+=+=TCE亦可按下式计算：由heheeCQCQ==22TC将QE之值代入上式，得公式29hphhpeCDCCCDCTC22==（29）式还可改写为：公式30HCDCTChpe2=或者公式31HCDTCpme2=式中：Dm--货物的年需求金额（元／年），rrmTCCDD=×=如果经济订货批量以金额表示时，则经济订货金额Qem可由（28）式等号两边同乘以Ch而得出：物流前沿（）第11页现代物流控制技术rrpreCHCDCCQ2=公式32HCDHCDCQpmprme22..==经济订购次数Ne，可由Ne=D／Qe及公式25得出：公式33phhpeeCDCCDCDQDN22===或者公式34pmeCHDN2=例5仍引用前述各例的有关数据：D＝3,600件／年，Cp=10元／次，Ch＝0.8元／件-年，Cr=4元／件，或H＝0.2／年，则如再加入年购入成本，则最低年存货总成本为：件3008.01036002=××=eQ或者件3002.041036002Qe=×××=元12002.010436002Qe.m.=×××=次121028.03600Ne=××=元2408.01036002TCe=×××=如再加入年购入成本，则最低年存货总成本为：)(1464043600240TCe元／年=×+=2．基本数学模型之二--不考虑价格折扣和缺货此系按第二种库存模式（图2和图7）建立的经济订货批量数学模型。此时rhDCCXYQ+−+=++=121CQDDCCSCQDTCprhtp令0=dQdTC，则有0122=−+XYCQDChep−物流前沿（）第12页现代物流控制技术公式35−=YXXCDCQhpe2图7库存量随时间而变化的第二种模式如储存费率以平均储备金额或单位购入成本的一定百分率H表示时，则（35）式可改写为公式36−=YXXHCDCQrpe2又02322=QDCdQdTCp可知Qe所对应的年存货（购储）总成本TCe为极小值。同理可得公式37−=XYXCDCTChpe2或公式38−=XYXHCDTCpme2比较公式27与公式35，公式29与公式37：1−YXXQ27)(Q)35(e公式公式eQ∴）（公式公式29TC37)(TCee经济订货金额Qem可由（35）式等号两端同乘以Cr而得出：rreC2CQ−=YXXCDChp物流前沿（）第13页现代物流控制技术公式39==Y-XXHC2DY-XXHC2DCQpmpre.m.经济订购次数N，可由（NE＝D／Qe）及（35）式得出：公式40==XY-X2CDCY-XXC2DCDNphhpe或：公式41=XY-X2CHDNpme比较（33）式与（40）式：1−YXXQ33)(N40)(Nee公式公式∴例6设x＝30件／日，Y＝10件／日，其它数据同例5。则件3671030308.01036002Qe=−××=或件3671030302.041036002Qe=−×××=元14681030302.010436002Qe.m.=−×××=次8.93010301028.03600Ne=−××=元1963010308.01036002TCe=−××××=或元1968.03010136721103673600TCe=×−××+×=如再加入年购入成本，则最低年存货总成本为：TCe=196+3600x4=14596元3.数学模型之三——允许缺货，但不考虑价格折扣此种缺货是一种周期性的、事后必须定期如数补偿的缺货。当允许存货用尽后，再等待一定时间取得相应数量的货物时，则生产经营的需要因暂时不能满足而造成缺货。生产经营仍然需要这部分拖欠货物，必须在取得下批订货时如数补偿。若这种拖欠在一定时间后再行补充的周期性缺货，对企业生产经营不致造成大的损失（如不发生或仅有少量的停工或是调整生产的损失，加班加点的损失等），如果能节约更多的储存和订购费用，则这种缺货对企业将是有利的。物流前沿（）第14页现代物流控制技术现按第一种库存模式，根据上述缺货条件，且仍不考虑价格折扣，来建立经济订货批量和经济缺货量的数学模型。此时，其库存量随时间而变化的情况如图8所示。图8允许周期性缺货而又如数补偿时库存量随时间而变化的情况图中：d--需求率（单位／日）；Q--订货批量（单位）；Qs--缺贷量（单位）；（Q-Qs）--最大周转储备量（单位）；Th--有贷期间（日数），Th=（Q-Qs）/d；Ts--缺货期间（日数），Ts=Qs/d；Tt--供应周期，Tt=Th+Ts=Q/d。此时，年存货总成本如下：公式42TC=TCp+TCh+TCs其中，（1）年订购成本公式43ppCQDTC=（2）年储存成本2Q-Qs量＝有货期间平均周转储备缺货期间平均周转储备量＝0()QQQdQQQdQQTsQTQQTsssssh2222−=−−=+−＝备量供应周期内平均周转储公式44()hshCQQQTC22−=（3）年缺货成本物流前沿（）第15页现代物流控制技术平均缺货量QQdQQdQsTQTQTsssshs22221==+=Q公式45pspssCQQCQTC22==将公式43，公式44和公式45代入公式42式，得公式46()sshspCQQCQQQCQDTC2222+−+=由0=QTCσσ，得()[]()02222=+−−seesheeseCQQCQQQ()()0=++−seshesheCQCQCQ()()heshesCQCCQ=+公式47()()eshhesQCCCQ+=由0=QTCσσ，得()[]()[]()0242422222=−−−−+−seesheeseeseepeCQQCQQQQQQCQD对上式等号两边同乘以4，得2eQ()[]()[](){}0224422=−−−−+−sesheseeseepCQCQQQQQDC()[]()022422=−−+−sesheesepCQCQQDC()0)(222=+−+−sheshepCCQCQDC将（47）式代入上式，得()()02222=++−+−sheeshhhepCCQCCCCQDC()0222=+−+−eeshhhepQCCCCQDC物流前沿（）第16页现代物流控制技术()pshhheDCCCCCQ2)(22=+−()pshhseDCCCCCCQ2)(2=+公式48sshhpeCCCCDCQ+•=2将（48）式代入（47）式，得公式49()shhhesCCCCDCpQ+•=2将（48）及（49）式代入（46）式，化简整理后得公式50shshpeCCCCDCTC+=2例7设缺货费率Cs＝3.2元／件-年，其它有关数据同例1．则()3352.32.38.08.01036002≈+•××=eQ或()673352.38.08.0=+=esQ()()672.38.08.02.31036002≈+•××=esQ()66.2142.38.02.38.0