计量经济学-第五部分联立方程模型

联立方程模型的概念和构造对于大多数金融、经济现象而言，许多变量之间存在的是交错的双向或多向因果关系，单向的因果关系是没有多大意义的。例如货币需求的变化会影响均衡利率水平，而利率水平的变化也会影响货币需求。为了描述变量之间的多向因果关系，就需要建立由多个相互联系的单方程组成的多方程模型，即联立方程模型（simultaneousequationmodel）。但联立方程模型并不是单方程的简单重复或堆砌，它有其自身的特殊理论问题，其中主要是模型的identification和estimation问题。第一节联立方程模型的基本概念首先考虑一个由三个方程组成的简单的市场供需模型（假定市场总是出清）(模型1）：供给方程：需求方程：均衡方程：1231sttttQPP123DttttQPYuSDttQQ一、内生变量、外生变量、前定变量(一)内生变量（endogenousvariables）由模型系统决定其取值的变量称为内生变量。在模型1中，、、的值是由模型决定的，因而是内生变量。StQDtQtP第一节联立方程模型的基本概念（二）外生变量（exogenousvariables）由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外生变量。在模型1中，t期的收入是由模型外的因素决定的，因而在该模型中是外生变量。YtYt第一节联立方程模型的基本概念（三）前定变量（predeterminedvariables）所谓前定变量是指独立于变量所在方程当期和未来各期随机误差项的变量。在模型1中，作为滞后的内生变量，作为外生变量都属于前定变量。1tPYt第一节联立方程模型的基本概念二、完备方程组如果一个模型中方程的个数等于内生变量的个数，则称这个模型为完备方程组（completesystemofequations）。我们可以估计完备方程组中的所有参数，但对于非完备方程组，我们不能估计或只能估计它的一部分参数。第一节联立方程模型的基本概念在上述市场供需模型中，共有、、三个内生变量，同时有三个方程，因此该模型是一完备方程组，所有参数均可估计。三、随机方程式、非随机方程式联立方程模型中的方程可以分为两类，一类是含有随机误差项和未知参数的方程，称为随机StQDtQtP第一节联立方程模型的基本概念方程式，也即行为方程（behaviorequation）；另一类是不含随机误差项和未知参数的方程，称为非随机方程式，主要是恒等式，非随机方程式不需要估计参数。在模型1中，供给方程、需求方程是随机方程式，即行为方程。而均衡方程则属于非随机方程式。第一节联立方程模型的基本概念四、结构式模型、简化式模型所谓结构式模型，是指在一定的经济理论基础上建立的，能够反映经济变量之间结构形式的一类联立方程模型。模型1即为结构式模型，对于模型1，若将常数项看作变量1的系数，则模型可以表示为：第一节联立方程模型的基本概念12310**10*SDtttttQQPPYt12130**10*SDtttttQQPPYtu10*10*0*0*0SDttttQQPPYt第一节联立方程模型的基本概念因此结构参数矩阵为：1123123100010110000StQDtQtP1tPYt第一节联立方程模型的基本概念对于模型1，若以表示t时刻供给量和需求量的均衡值，则模型1可表示为模型2：供给方程：需求方程：若将模型2中的内生变量、只用模型中的前定变量和随机误差项表示出来，则可得:、QttP1231tttQtPP123tttQtPYu第一节联立方程模型的基本概念11122222222ttttuPYtP（3.1）（3.2）模型3就是结构式模型1或2所对应的简化式模型。21122122222222tttuQtYtP第一节联立方程模型的基本概念一般的，简化式模型就是把结构式模型中的内生变量表示为前定变量和随机误差项的函数的联立方程模型。同结构参数矩阵的表示方法一样，模型3中的简化式参数矩阵可表示为：第一节联立方程模型的基本概念2112222222112222221001QttP1Yt1tP第一节联立方程模型的基本概念五、联立性偏误若仍对结构式模型中的每个结构方程分别运用OLS进行估计，所得到的参数估计值将是有偏和不一致的，即存在联立性偏误（simultaneitybias）或联立方程偏误（simultaneousequationsbias）。第一节联立方程模型的基本概念以下我们将以模型2为例证明解释变量与随机误差项的相关性。首先假定满足，，且不相关，由3.2以及协方差的性质，t()0tE()tVarttu、(,)0ttiE第一节联立方程模型的基本概念由外生变量及前定变量的定义，得原式，则是相关的。11,22221,22221,22222222()(,)(,)()(,)0(,)()()()ttttttttttttttCOVPCOVCOVuCOVPCOVCOVYtCOVPCOVVar220ttP、第一节联立方程模型的基本概念下面将证明由于、的相关性，的最小二乘估计值将是不一致的，为简化分析，将模型2中供给方程中的滞后价格项去掉，记、分别为P与Q的样本均值，可得：PQˆ2)())ttPPQtQPP12122)()())ttttPPPPPP2))tttPPPP2tPt2ˆ第一节联立方程模型的基本概念对等式两边取期望值，可得考察当样本容量n趋于无限大时的性质，即考察是否具有一致性。由一致性的定义，22()E2)())tttPPEPPˆˆ第一节联立方程模型的基本概念对上面等式两边取极限概率，可得：222222)ˆlim()lim()lim()))/lim()lim())/lim)/lim)/tttttttttPPpppPPPPnppPPnpPPnpPPn第一节联立方程模型的基本概念ˆlim()p当样本容量n趋向于无限大时，则原方程等于因此的概率极限并不等于它的真实值，即是个有偏估计量，并且这个偏误不会随样本容量的增大而消失。222*21pˆˆ第一节联立方程模型的基本概念第二节联立方程模型的识别所谓识别问题，是指结构方程参数的数值估计，是否能够从估计的简化式参数求得。如果能够求得，我们就说此结构方程是可以识别的，特别的，如果能够得到结构参数估计值的唯一解，则称该结构方程是恰好识别的；如果可以得到结构参数估计值的多个解，则称该结构方程是过度识别；如果不能够通过简化式参数估计值求得结构式参数值，则称该结构方程是不可识别的或不足识别的。（一）不可识别和过度识别对于模型2做修改，可以得到以下模型4：供给方程：需求方程：将内生变量表示成前定变量与随机误差项的函数，可得：11122222222tttuPtYtP12ttQtP123tttQtPYu=其中的各值表示为各变量前的系数，21122122222222=+++tttuQtYtP1112131ttYtP2122231ttYtPw根据上述关系式，若已知，则可得：=或=，=，但我们却无法求得的值，也无法求得它们的估计值。111213212223、、、、、2212123132111*2124、、、（二）恰好识别让我们回到模型2供给方程：需求方程：其对应的简化式模型3123tttQtPYu1231tttQtPP11122222222ttttuPYtP12131ttYtP21122122222222tttuQtYtP由上述关系式，若已知，可以求得：，，，，分别用OLS估计简化式模型的两个方程，可得无偏估计值，相应地，模型2中的参数的一致估计量也相应可得。2122231ttYtPw111213212223、、、、、2221223213322ˆ*（）322*（）121211*121211*由结果可以看到，模型2中供给方程和需求方程参数估计值的唯一解，因此两个结构方程及模型都是恰好识别的。二、识别规则:阶条件可识别性的阶条件是一个必要但非充分条件，阶条件有多种表述方式：表述1：令G表示模型中结构方程的个数，如果某结构方程中所不包含的内生变量和前定变量的个数为G-1，则该方程是恰好识别的；若不包含的变量个数大于G-1，则该方程是过度识别的；若不包含的变量个数小于G-1，则该方程是不可识别的。表述2：在一个线性联立方程模型中，某方程可识别的一个必要条件（阶条件）是：该方程所不包含的前定变量的个数必须不少于方程右边所包含的内生变量的个数。若该方程所不包含的前定变量的个数等于方程右边所包含的内生变量的个数，则该方程是恰好识别的；若大于，则该方程是过度识别的。可以证明两种表述方式是等价的。下面通过一个例子说明可识别性的阶条件。（模型6）(6.1)(6.2)(6.3)在该模型中，表示外生变量，表示内生变量，10122321323122YYYYYYY、、123YYY、、根据阶条件表述1：方程6.1：不包含2个变量，因此该方程是恰好识别的。方程6.2：是过度识别的。方程6.3：不可识别。根据阶条件表述2：方程6.1：不包含1个前定变量，方程右边包含一个内生变量，因此该方程是恰好识别的。方程6.2：是过度识别的。方程6.3：不可识别。二、秩条件秩条件的表述如下：对于一个由G个方程组成的联立方程模型中的某个结构方程而言，如果模型中其他方程所含而该方程不含的诸变量的系数矩阵的秩为G-1，则该结构方程是可识别的，若秩小于G-1则该结构方程是不可识别的。对某结构式模型中的第i个方程利用秩条件判断其可别性，可按以下步骤进行：⑴写出结构模型对应的结构参数矩阵⑵删去第i个结构方程对应系数所在的一行。⑶删去第i个结构方程对应系数所在行中非零系数所在的各列。⑷对余下的子矩阵，如果它的秩等于方程个数减去1，则第i个结构方程就是可识别的；如果它的秩小于方程个数减1，则第i个结构方程就是不可识别的。下面举例说明阶条件和秩条件的结合运用。（模型7）(7.1)(7.2)(7.3)(7.4)同模型6，表示内生变量，表示外生变量，首先写出模型的结构参数矩阵：11342124331441213242ccddddYaaYaYYbbYbYYYYYXiYiX方程7.1：按阶条件，是恰好识别的。按秩条件，得子矩阵如下，它的秩为23,因此秩条件不满足，该方程是不可识别的。23123121234110000100001c00cdd010ddaaabbb方程7.2：按阶条件，恰