计量经济学07

第二部分线性回归模型Chp7双变量模型：假设检验主要内容古典线性回归模型的假定OLS估计量及其性质OLS估计量的方差与标准误OLS估计量的抽样分布（概率分布）假设检验拟合优度正态性检验预测线性回归模型的基本假设假设1.回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性；Yi=B1+B2Xi+ui假设2.解释变量X与扰动误差项u不相关。Cov(X,u)=0线性回归模型的基本假设假设3.给定Xi，扰动项的期望或均值为零，即：E(u|Xi)=0；PRF:E(Y|Xi)=B1+B2Xi扰动项ui的条件分布线性回归模型的基本假设假设4.ui的方差为常数，即同方差假定：Var(ui)=2PRF:Yi=B1+B2Xi同方差PRF:Yi=B1+B2Xi异方差线性回归模型的基本假设假设5.无自相关假定，即：Cov(ui,uj)=0,ij由该假定可得，Cov(Yi,Yj)=0,ij，即Y也不相关。线性回归模型的基本假设假设6.回归模型是正确设定的，即模型不存在设定误差（错误）无自相关假定，即：Cov(ui,uj)=0,ij由该假定可得，Cov(Yi,Yj)=0,ij，即Y也不相关。线性回归模型的基本假设假设7.随机误差项ui具有零均值、同方差(u2)的正态分布：ui~N(0,u2)最小二乘估计量的性质当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；1.系数B0,B1的OLS估计（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质：高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。12222iiiiiiiiiiiiixYYxyxYYxbkYxxxx证：2iiixkx其中，0111iiiiiiibYbXYkYXXkYwYnn(1)线性性，即估计量b0,b1是关于Yi的线性函数上式用到：0iixXX1iiwXkn其中，注：故同样地，容易得出(2)无偏性，即估计是量b0,b1的均值（期望）等于总体回归参数真值B0，B1。101011iiiiiiiiiiiibkYkBBXuBkBkXkuBku1111iiiiEbEBkuBkEuB0000iiiiEbEBwuBwEuB222221iiiiiiiiiiiixxXxXxxkXXxxxx(3)有效性（最小方差性），即在所有线性无偏估计量中，最小二乘法估计量b0,b1具有最小方差。（1）先求b0与b1的方差2101222222iiiiiiiiiiVarbVarkYkVarBBXuxkVaruxx20012222222222222221/112121iiiiiiiiiiiiiiVarbVarwYwVarBBXunXkXkXknnxXkXnnxxnXXnxnx22222iiXnx222222iiiixnXxXxXX注：（2）证明最小方差性普通最小二乘估计量（ordinaryleastSquaresEstimators）称为最佳线性无偏估计量（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）假设b1*是其他估计方法得到的关于B1的线性无偏估计量，则：b1*=ciYi其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数。则容易证明，*11VarbVarb同理可证，B0是的最小二乘估计量b0具有最小的方差。由于最小二乘估计量拥有一个“好”的估计量所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性。现考察b1的一致性。11121211limlimlimlimlim/lim/,iiiiiiiiPbPBkuxuPBPxPxunBPxnCovXuBBQ对于博彩的例子，其方差和标准误分别是：见教材表7-1（P126）蒙特卡洛试验如何操作？——P127X=12rnd()-6OLS估计量的抽样分布(概率分布)及随机干扰项方差的估计普通最小二乘估计量b0、b1分别是Yi的线性组合，因此，b0和b1的概率分布取决于Y的分布特征。在u是正态分布的假设下，Y是正态分布，则b0、b1也服从正态分布，因此，2221100221~,,~,iiiXbNBbNBxnx1、参数估计量b0和b1的概率分布b0和b1的标准差1022222,ibbiiXxnxB1b12.随机误差项u的方差2的估计在估计的参数b0和b1的方差表达式中，都含有随机扰动项u的方差2。由于2实际上是未知的，因此，b0和b1的方差实际上无法计算，这就需要对其进行估计。2又称为总体方差。由于随机项ui不可观测，只能从ui的估计——残差ei出发，对总体方差进行估计。可以证明，2的最小二乘估计量为它是关于2的无偏估计量。为的估计量，也称为回归标准误，即Y值偏离估计回归线的标准差。其作用：P12622ˆ2ien2ˆˆ在随机误差项u的方差2估计出后，参数b0和b1的方差和标准差的估计量分别是：11002222222222ˆ/ˆ/ˆ/ˆ/bibibiibiiSxSxSXnxSXnxb1的样本方差：b1的样本标准差：b0的样本方差：b0的样本标准差：假设检验回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行统计检验。主要内容有：参数的区间估计；变量的显著性检验拟合优度检验。假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。一、参数的置信区间回归分析希望通过样本所估计出的参数b1来代替总体的参数B1要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似”地替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的置信区间估计。如果存在这样一个区间，称之为置信区间（confidenceinterval）；1-称为置信系数（置信度）（confidencecoefficient），称为显著性水平（levelofsignificance）；置信区间的端点称为置信限（confidencelimit）或临界值（criticalvalues）。1PbBb要判断估计的参数值b离真实的参数值B有多“近”，可预先选择一个概率(01)，并求一个正数，使得随机区间(b-,b+)包含参数的直值的概率为1-，即：一元线性模型中，Bi(i=0，1）的置信区间在变量的显著性检验中已经知道：~(2)iiibbBttns意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示为：Pttt()221即22()1iiibbBPtts22()1iiibiibPbtsBbts于是得到:(1-)的置信度下,Bi的置信区间是22(,)iiibibbtsbts在上述收入-消费支出例中，如果给定=0.01，查表得：355.3)8()2(005.02tnt由于10.042bS098.41bS于是，B1、B0的置信区间分别为：（0.6345,0.9195),（-433.32,226.98）由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。要缩小置信区间，需要（1）增大样本容量n。因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；（2）提高模型的拟合优度。因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。二、变量的显著性检验回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一个显著性的影响因素。在一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假设检验。计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。1、假设检验所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。H0:B1=0假设检验采用的逻辑推理方法是反证法先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的2112~(,)ibNBx1111221~(0,1)()ibBbBZNsebx对于一元线性回归方程中的b1，已经知道它服从分布1122~(2)ˆibBttnx从Z统计量到t统计量？2ˆ2ien假设检验：置信区间法1/211/222ˆˆ1iiPbtBbtxx如果接受区域包括零假设值B1，则不拒绝零假设，否则拒绝。说明：无论做何种决定，都会以一定的概率（如5%）犯错误。b2B2-B2+接受区域假设检验：显著性检验法111~2bBttnseb核心思想：构造统计量，及零假设下，检验统计量的抽样分布，根据从样本数据求得的检验统计量的值决定接受或拒绝零假设。*111bBtseb已知：在零假设下，计算统计量：经验分析中，根据给定的给定的显著性水平，求得临界值t/2(or:t)，通过对比来确定接受(tt/2)还是拒绝(tt/2)零假设：为避免任意性，有时也直接根据计算的t值，计算p值，进而根据p值的大小选择接受还是拒绝零假设。检验步骤小结：（1）对总体参数提出假设H0：B1=0，H1：B10（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值11bbtS（3）给定显著性水平，查t分布表得临界值t/2(n-2)(4)比较，判断若|t|t/2(n-2)，则拒绝H0，接受H1；若|t|t/2(n-2)，则拒绝H1，接受H0；对于一元线性回归方程中的B0，可构造如下t统计量进行显著性检验：在上述收入—消费支