计量经济学的基础工具

第2章计量经济学的基础工具在第1章中定义了计量经济学的主要工具是数学，包括优化理论和统计分析。这些工具的基础知识是计量经济学的基础知识。尽管这些知识在所有的专业书籍中都可以找到，但是考虑到知识的连贯性和应用的便利，这里将以一章来介绍这些基本知识，以备那些需要的读者参考。关于矩阵部分，主要参考了Sydsaeter，Strom和Berch（2001）的文献，关于概率统计及其推断部分，主要参考了古亚拉提（2000）的文献，古扎拉蒂（2004），Sydsaeter，Strom和Berch（2001）以及王文中（2003）的文献。2.1矩阵2.1.1矩阵的定义111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA称为mn阶矩阵，其中aij称为位于矩阵的第i行和第j列的元素。简记()ijmnaA。当mn时，称矩阵为n阶方阵，A称为A的n阶行列式。如果0,1,ijijaij则称该方阵为n阶单位矩阵，记为I。有I=1。I是对角矩阵的特殊形式。一般的对角矩阵记为1122diag{,,,}nnaaaA并有1122nnaaaA矩阵()ijmnaA的名称是由其元素的变化决定的。比如，所有元素都为0的矩阵叫零矩阵，所有位于主对角线下面的元素均为0，则称A为上三角矩阵，反第2章计量经济学的基础工具·21·之则叫下三角矩阵。定义112111222212mmnnmnaaaaaaaaaB为矩阵()ijmnaA的转置，记为A。当mn时，如果AA，A称为对称矩阵；如果AA，A称为反对称矩阵；如果2AA，则A是幂等矩阵；如果2AI，则A是对合矩阵；若AAI，则A是正交阵且1A；如果0A或0A，则A称为奇异的或非奇异的。一个高阶矩阵，根据实际需要，可分成若干小块。比如()ijmnaA可分成四块：11122122AAAAA其中ijA为ijmn阶矩阵，且1212,,,1,2.mmmnnnij如果11A是满足条件110A的最大(rr≤min{,}rkArkB阶方阵，则称A的秩为r，记为rk().rA设()ijmnaA，()ijnlbB，则有rk()AB≤min{rk(),rk()}AB、rk()AB≤rk()rk()AB设A为n阶方阵，A的迹定义为主对角线上所有元素之和，即1122tr()nnaaaA2.1.2矩阵的计算及其性质同阶矩阵的加、减等于它们的对应元素相加、减后的矩阵。两个矩阵可乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并且它们的乘积所得的矩阵的阶数由第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数决定，其元素由第一个矩阵相应的行向量和第二个矩阵列向量的对应元素乘积的和组成。分块矩阵的加、减和乘可形式上比照一般矩阵的类似做法，此时记住分块矩阵的每个分块可视做相应矩阵的元素。矩阵的加法满足结合律和交换律。矩阵的乘法满足结合律。矩阵的乘法和加法满足分配律。不过，记住矩阵的乘法一般不满足交换律。这一点从矩阵的乘积定义中很容易理解。·22·计量经济学导论性质2.1方阵A可逆的充分必要条件是||0A如果方阵()ijnnaA可逆，方阵A的逆矩阵1A的求法如下：11adj()||AAA其中伴随矩阵adj()A定义为112111222212adj()nnnnnnAAAAAAAAAAijA是元素ija的代数余子式，其定义为从矩阵A中划去第i行和第j列后剩余的矩阵的行列式再乘上(1)ij。分块矩阵的逆的求法设方阵A分成四块如下：11211222AAAAA如果111A存在，则A的逆可表示成：1111111111112211111121112111AAAAAAAAAA其中122211112AAAA。如果122A存在，则A的逆可表示成：11111112221111112221122222111222AAAAAAAAAA其中1111122221AAAA。矩阵的指数形式和导数形式分别表示为：01e!AnnnA，1eeAA，deedxxxAAA矩阵的导数等于各个元素分别求导后的矩阵。对于矩阵A和列向量X，有以下求导公式：(')()XAXAAXX性质2.2设()ijnmaA，()ijmnbB。则有：第2章计量经济学的基础工具·23·nmABIBAI2.1.3复矩阵的定义和性质元素在复数域的矩阵称为复矩阵。下面把复矩阵的某些定义和基本性质叙述如下。定义2.1设()ijmnaA为一个复矩阵，则有()ijmnaA称为()ijmnaA的共扼矩阵。*()jimnaAA称为()ijmnaA的共扼转置。()ijmnaA称为Hermitian矩阵，如果*AA。()ijmnaA称为酉矩阵，如果*1AA。性质2.3设nmijaA)(为复矩阵。则()ijmnaA是实的，当且仅当AA。如果()ijmnaA是实的，()ijmnaA是Hermitian矩阵，当且仅当()ijmnaA是对称的。性质2.4设A和B为复矩阵，c为复数。则有**AA。***ABAB。**ccAA。***ABBA。2.1.4特征值与特征向量定义2.2设A是n阶方阵。称为A的特征值，①如果满足以下方程0AI根据代数基本原理，0AI是的n阶代数方程，在复数域里，存在n个根。这些根叫做A的特征值。对于每一个特征值i，1,2,,in，存在一个非零向量iI使得0iiAII①特征值的一个显然性质就是使得方阵AI的秩小于n。·24·计量经济学导论iI称为A关于i的特征向量。特征值很重要，现在把一些相关性质叙述如下。性质2.5设()fx为多项式。如果为A的特征值，则()f为()fA的特征值。性质2.6当且仅当0不是A的特征值时，方阵A可逆。若A可逆且为A的一个特征值，则1为1A的一个特征值。性质2.7当且仅当pA的极限是零矩阵（p）时，A的所有特征值的模严格小于1。性质2.8设A和B为同阶矩阵。则AB和BA有相同的特征值。性质2.9如果A是对称矩阵且仅有实元素，则A的所有特征值是实的。性质2.10如果1110()()()()nnnpbbb是A的特征多项式，则kb是A的所有nk阶主子式的和（共有nk个主子式的和）。()0p称为A的特征值方程或特征方程。性质2.11A是可对角化的充分必要条件是存在P矩阵和对角矩阵D使得1PAPD，A与1PAP有相同的特征值。性质2.12如果()ijnnaA有n个不同的特征值，则A可对角化。谱定理如果()ijnnaA是对称的且有特征值12,,,n，则存在一个正交阵U，使得12100000nUAUJordan分解定理如果()ijnnaA有n个特征值12,,,n，则存在可逆矩阵T，使得12121()000()000()rkkkrJJJTAT其中，12rkkkn且kJ是kk矩阵，1()J，第2章计量经济学的基础工具·25·1000100001000kJShur引理设()ijnnaA为一个复矩阵。则存在酉矩阵U使得1UAU是一个上三角矩阵。Hermitian矩阵的谱定理设()ijmnaA是一个Hermitian矩阵。则存在酉矩阵U使得1UAU是一个对角矩阵。所有A的特征值都是实的。性质2.13给定()ijnnaA，对任意0，存在矩阵()ijnnbB有n个不同的特征值，使得,1||nijijijab考虑二次型11nnijijijaxxxAxQ，其中12(,,,)nxxxx，且()ijnnaA性质2.14xxA是正定的，当且仅当0xxA对所有x成立或0,1,2,,iiain或A的所有特征值都是正的。xxA是半正定的，当且仅当xxA≥对所有x成立或iia≥0,1,2,,in或A的所有特征值都是非负的。xxA是负定的，当且仅当0xxA对所有x成立或0,1,2,,iiain或A的所有特征值都是负的。xxA是半负定的，当且仅当xxA对所有x成立或iia≤0,1,2,,in或A的所有特征值都是非正的。xxA是不定的，当且仅当0xxA对某些x成立或0iia对某些i成立或A的特征值有正有负。本节的所有性质都有很好的含义，考虑到篇幅有限以及解释所依据的相关知识已经超出了本书的设想，我们只好把这些性质罗列出来，仅供参考。·26·计量经济学导论2.2概率与统计初步本节主要回顾一些概率与统计的基本知识。2.2.1基本概念对世界上各种事物或现象的描述方式有确定性描述和不确定性描述。比如根据经验，地球上的每一天，太阳总是从东边升起，西边落下，以及明天中午12点整，广州将会下雨。前者为确定性描述，后者则是不确定性描述，或者说是一个概率事件。概率统计是研究不确定性现象的理论。这个理论无疑变成了计量经济学的重要工具。“不确定性”，比如抛一枚硬币①到桌面上，理论上出现两种等可能结果：正面朝上或反面朝上，这种不确定现象的实验就叫做统计或随机实验。所有可能的随机实验结果的集合就叫做样本空间或总体。样本空间的每一个元素，如抛一次硬币实验中的“正面朝上”或“反面朝上”，称为样本空间的一个样本点。样本空间的每一个子集称为事件，即随机实验的可能结果的集合。最大的事件就是样本空间，即是必然事件，理论上最小的事件是空集，也就是说随机实验没有发生。在实际应用中，人们剔除空集这一事件和必然事件。因此，抛一次硬币实验的事件有两个，即“正面朝上”、“反面朝上”。如果等可能抛硬币(1)nn次，“正面朝上的次数”是一个随机事件，其可能取值的结果是：0,1,2,,1,nn。跟所有可能结果联系起来的“正面朝上的次数”就是随机变量，也就是说以随机实验的结果为取值范围的变量就叫做随机变量。随机变量所取值的集合如果是离散的就称为离散型随机变量；如果是连续的就叫做连续型随机变量。在随机变量的取值范围内，对离散随机变量而言，随机变量取到某个或某些值的可能程度有多大？在探讨这个问题之前，本书将要引入概率的相关知识。掷一颗骰子，向上的数字只有六个等可能结果：1，2，3，4，5，6。如果求事件“数字小于4的面朝上”的可能概率是多少，结果就是1/2。因为掷一次骰子数字向上的可能结果有6个，事件“数字小于4的面朝上”含有三个样本点，后者比前者就得到所要的结果。此时的样本空间或总体是指集合1,2,3,4,5,6。到此，我们可以给出事件A发生的古典概率如下：①这里所提到的“硬币”、“骰子”等都暗含着这样一层意思：它们的质地均匀，没有瑕疵。第2章计量经济学的基础工具·27·()PA与事件有关的样本点个数样本空间的样本点总数()PA表示在所有可能的实验结果中，就某一个事件A发生的可能程度。例2-1房地产开发企业的资产负债率如表2-1所示。表2-1房地产开发企业的资产负债率年份资产负债率（%）199776.2199876.1199976.1200075.6200175.0200274.9200375.8资料来源：2004年中国统计年鉴按照1%的幅度把资产负债率分成三个区间：[74%,75%)，[75%,76%)，[76%,77%)，并计算相应的频数和频率如表2-2所示。表2-2资产负债率的频数和频率区间频数频率[74%，75%)117[75%，76%)337[76%，77%)337通常情况下，频率可以当作概率来使用。因此，关于资产负债率的概率柱状分布图，如图2-1