计量经济学第十章联立方程模型

1第十章联立方程模型（simultaneous-equationsmodel）10.1联立方程模型的概念10.1.1联立方程模型及其特点有时由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。有时为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。从而引出联立方程模型的概念。联立方程模型：对于实际经济问题，描述变量间联立依存性的方程体系。联立方程模型的最大问题是E(X'u)0，当用OLS法估计模型中的方程参数时会产生联立方程偏倚，即所得参数的OLS估计量ˆ是有偏的、不一致的。比如需求供给模型：011012dtttstttdsttQaaPuQbbPuQQ从需求方程看，u1t代表了除商品价格以外的其他影响因素，如消费者收入水平、替代商品价格、消费者爱好和消费政策等。当这些回素变化时，u1t将发生变化，进而引起需求典线的移动，这将改变均衡价格P和均衡交易量Q。同理u2t的变化（由于生产技术水平，产品成本、气候变化及产业政策等因素），将会使供给曲线发生移动，从而改变均衡价格和均衡交易量。这种现象被称为相互依存性。正是这种相互依存性，使得u1t、u2t与P将严重违背解释变量与随机误差项不相关的假设，产生联立方程偏误。凯恩斯的收入决定模型：01ttttttCaaYuYCI其中，C为消费支出，Y为收入，I为投资（假设为外生变量），当ut发生位移时，消费函数将随之发生位移，进而影响Y，即Y与ut不相互独立。如果考虑政府支出G，投资为内生变量，模型可变为：01101212tttttttttttCaaYuIbbYbYuYCIG2这是一个简单的宏观经济模型，反映了国内生产总值中各项指标之间的关系。其中，第一个方程为消费函数，第二个方程为投资函数，第三个方程为恒等方程，即假定进出口平衡的情况下，国内生产总值等于消费总额（居民消费和政府消费）与投资总额之和。模型中共有4个经济变量，其中居民消费、投资、国内生产总值之都是互为劳动因果关系，只有构成多个方程才能将它们作为一个完整的系统进行描述和分析。是上述例题表明，联立方程模型具有以下特点：1）联立方程由若干个单一方程模型有机地组合而成。2）联立方程便于研究经济变量之间的复杂关系。3）联立方程中可能同时包含随机方程和确定方程。4）联立方程的各个方程可能含有随机解释变量。10.1.2联立方程模型变量的类型在单一方程模型中，由于变量之间的因果关系十分明确，左端为被解释变量，右端为解释变量，但对联立方程，就整个系统而言，一个变量在一个方程中为被解释变量，但在另一个方程中可能为解释变量。为此给出三个定义：1、内生变量（endogenousvariable）：由模型内变量所决定的变量。表现为具有一定概率分布的随机变量，其数值受模型中其他变量的影响，是模型求解的结果。具有以下特点：1）受其他变量的影响，是模型的求解结果。2）一般都受随机误差项的影响，具有一定的概率分布。3）一般都用某一个方程来描述。2、外生变量（exogenousvariable）：由模型外变量所决定的变量。表现为非随机变量，其数值在模型求解前就已经确定，不受模型中任何变量的影响，但影响内生变量。具有以下特点：1）对模型中的内生变量产生影响，但自身变化由模型系统之外其他因素来决定。2）可视为可控的非随机变量，从而与模型中的随机误差项不相关。3、前定变量（predeterminedvariable）：指在模型求解前就确定了取值的变量，包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。例如：yt=0+1yt-1+0xt+1xt-1+ut3yt为内生变量；xt为外生变量；yt-1,xt,xt-1为前定变量。内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。10.1.3联立方程模型的分类依据变量间联系形式，联立方程模型可分为结构模型，简化型模型，递归模型⑴结构模型（structuralmodel）：结构式模型是根据经济理论建立的，描述经济变量之间直接关系的计量经济方程系统，其中每一个方程都直接表述某种经济行为或经济关系。其模型的构成一般是把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系。例：如下凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项）ct=1yt+ut1消费函数，行为方程（behaviorequation）It=1yt+2yt-1+ut2投资函数，行为方程yt=ct+It+Gt国民收入等式，定义方程（definitionalequation）(1)其中，ct消费；yt国民收入；It投资；Gt政府支出。1,1,2称为结构参数。模型中内生变量有三个ct，yt，It。外生变量有一个Gt。内生滞后变量有一个yt-1。Gt,yt-1又称为前定变量。因模型中包括三个内生变量，含有三个方程，所以是一个完整的联立模型。联立方程模型必须是完整的。所谓完整即“方程个数内生变量个数”。否则联立方程模型是无法估计的。结构式模型描述了经济变量间的直接经济联系，可用于分析各解释变量对因变量的直接影响。但是结构式模型中各方程的解释变量包含了内生变量，产生联立方程偏误，使模型系数的直接估计发生困难。其特点是：1）模型直观地描述了各变量之间的直接影响，经济意义明确。2）模型只反映了各变量之间的直接影响，却无法直观反映各变量之间的间接影响。例如政府支出Gt的增加将会引起Yt的变化，进而引起居民消费Ct的变化，但这种间接影响却无法通过结构方程（或结构式参数）反映出来，同样地，上期收入Yt-1通过投资It当期收入Yt等变量对消费Ct的间接影响也没有4直观地反映出来国。3）无法直接进行预测。结构式方程中的解释变量包含需要预测的内生变量。⑵简化型模型（reduced-formequations）：把内生变量只表示为前定变量与随机误差项函数的联立模型。仍以凯恩斯模型为例其简化型模型为，ct=11yt-1+12Gt+vt1It=21yt-1+22Gt+vt2yt=31yt-1+32Gt+vt3(2)或tttyIc=323122211211ttGy1+321vvv，其中ct，yt，It为内生变量，yt-1,Gt为前定变量，ij,(i=1,2,3,j=1,2),为简化型参数。用如下矩阵符号表示上式Y=X+v(3)显然结构模型参数与简化型模型参数之间存在函数关系。把结构模型（1）中的内生变量全部移到方程等式的左边得ct-1yt=ut1It-1yt=2yt-1+ut2-ct-It+yt=Gt(4)用矩阵形式表达111100111tttyIc=100002ttGy1+021ttuu用如下矩阵符号表示上式Y=X+u(5)则Y=-1X+-1u(6)比较联立方程模型（3）和（6），结构参数和简化型参数有如下关系存在，=-15323122211211=111111111111111100002=11111)1(2112121其中，A-1=AA)(adj。A=111100111=111。adj(A)=11111111111=11111111111。的伴随矩阵是的代数余子式组成的矩阵的转置。v=-1u321vvv=111111111111111021ttuu简化式的特点：1）简化式的解释变量都是与随机误差项不相关的前定变量，这就为OLS法估计方程提供了基础。2）简化式的参数反映了前定变量对内生变量的总影响（即直接影响与间接影响的总和）。3）利用简化式模型可以直接进行预测。4）简化式模型没有客观地描述经济系统内各个变量之间的内在联系，经济含意不明确。⑶递归模型（recursivesystem）：在结构方程体系中每个内生变量只是前定变量和比其序号低的内生变量的函数。y1=11x1+…+1kxk+u1y2=21x1+…+2kxk+21y1+u2y3=31x1+…+3kxk+31y1+32y2+u3…..ym=m1x1+…+mkxk+m1y1+m2y1+…+mm-1ym-1+um(7)其中yi和xj分别表示内生变量和外生变量。其随机误差项应满足E(u1u2)=E(u1u3)=…=E(u2u3)=…=E(um-1um)=0递归模型的显著特点是可以直接运用OLS法，依次估计一个方程，逐步得到全6部参数估计值，并且不会产生联立偏误。10.2联立方程模型的识别（identification）10.2.1识别的概念与类型例：关于粮食的需求供给模型如下，Dt=0+1Pt+u1(需求函数)St=0+1Pt+u2(供给函数)St=Dt(平衡条件)(8)其中Dt需求量，St供给量，Pt价格，ui,(i=1,2)随机项。当供给与需求在市场上达到平衡时，Dt=St=Qt（产量），当用收集到的Qt，Pt样本值，而无其他信息估计回归参数时，则无法区别估计值是对0，1的估计还是对0，1的估计。从而引出联立方程模型的识别问题。也许有人认为若样本显示的是负斜率，则为需求函数；若是正斜率，则为供给函数。其实样本点所代表的只是不同需求与供给曲线的交点而已。显然为区别需求与供给曲线应进一步获得其他信息。例如收入和偏好的变化会影响需求曲线随时间变化产生位移，而对供给曲线不会产生影响。所以带有收入信息的这些观测点就会描绘出供给曲线的位置。也就是说供给曲线是可识别的。同理耕种面积、气候条件等因素只会影响供给曲线，不会对需求曲线产生影响。需求曲线就是可识别的。可见一个方程的可识别性取决于它是否排除了联立模型中其他方程所包含的一个或几个变量。称此为识别反论。QtQt需求曲线需求曲线,收入水平不同供给曲线供给曲线,耕地面积不同PtPt在模型（8）的需求函数和供给函数中分别加入收入变量It和天气变量Wt，Dt=0+1Pt+2It+u1(需求函数)St=0+1Pt+2Wt+u2(供给函数)St=Dt(平衡条件)于是行为方程成为可识别方程。也可以从代数意义上讨论识别问题。当结构模型已知时，能否从其对应的简化型7模型参数求出结构模型参数就称为识别问题。从上面的分析已知，当一个结构模型确定下来之后，首先应考虑识别问题。如果无法从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数，称该结构模型是不可识别的。如果能够从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数，就称该结构模型是可识别的。当结构模型参数与相对应的简化型方程参数有一一对应关系时，结构模型参数是恰好识别的。举例说明。上模型写为，Qt=0+1Pt+2It+u1Qt=0+1Pt+2Wt+u2有6个结构参数。相应简化型模型为Qt=10+11It+12Wt+vt1Pt=20+21It+22Wt+vt2如果对于简化型模型来说，有些结构模型参数取值不惟一，则该结构模型是过度识别的。由此可见识别问题是完整的联立方程模型所特有的问题。只有行为方程才存在识别问题，对于定义方程或恒等式不存在识别问题。识别问题不是参数估计问题，但是估计的前提。不可识别的模型则不可估计。识别依赖于对联立方程模型中每个方程的识别。若有一个方程是不可识别的，则整个联立方程模型是不可识别的。可识别性分为恰好识别和过度识别。不可识别模型的识别恰好识别可识别过度识别10.