XXXX秋季第5讲平面机械制图北京航空航天大学出版社

2.3平面的投影ProjectionofPlaneZXY平面图形投影总是为平面图形或直线。Aplanesurfacealwaysprojectsasalineorasurface.一、平面的表示法Representationsofplanes●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点Threepointsnotinastraightline●●●●●●abcabc直线及线外一点Alineandapointnotonthelineabcabc●●●●●●d●d●两平行直线Twoparallellinesabcabc●●●●●●两相交直线Twointersectinglines●●●●●●abcabc平面图形Planarshape投影特性★平面平行投影面-----投影体现实形Plane∥Projectionplane★平面垂直投影面-----投影积聚成直线Plane⊥Projectionplane★平面倾斜(Inclined)投影面-----投影亲似原平面PlaneinclinedtoProjectionplane二、各种位置的平面PositionsofPlanes平行Parallel垂直perpendicular倾斜inclined存真性Trueshape亲似性Similarity积聚性Collecting⒈平面对一个投影面的投影特性Projectioncharacteristicsofplanestoasingleprojectionplane⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：Positionsrelativetothreeprincipalprojectionplanes投影面垂直面Planesperpendiculartoprojectionplane投影面平行面Planesparalleltoprojectionplane一般位置平面Generalpositionplane特殊位置平面Specialpositionplanes垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面Perpendiculartoaprojectionplaneandinclinedtotheothertwo平行于某一投影面，垂直于另两个投影面Paralleltoaprojectionplaneandperpendiculartotheothertwo与三个投影面都倾斜Inclinedtothreeprojectionplanes正垂面V-perpendicular侧垂面W-perpendicular铅垂面H-perpendicular正平面Frontalplane侧平面Profileplane水平面HorizontalplaneOXYZHVaAaWabBbbV正垂面3.投影面垂直面PlanesperpendiculartoprojectionplaneCcccH铅垂面W侧垂面abcacbcba亲似性Similar亲似性Similar积聚性collecting铅垂面H-perpendicularplane投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。Itappearsasalineintheperpendicularprojectionplane.Theanglesbetweenthatlineandtheprojectionaxesrepresentedtheanglesbetweentheplaneandtheothertwoprojectionplanes.另外两个投影面上的投影有亲似性。Theothertwoprojectionsaresimilarshapes.γβ例1.已知多边形的VH投影，求其W投影。CompletetheWprojectionofpolygonwiththegivenVHprojections.aba(b)cdd(c)efghg(h)f(e)abcdefghabcabcabc4.投影面平行面Planesparalleltoprojectionplane积聚性collecting积聚性collecting存真性Trueshape水平面Horizontalplane投影特性：(1)一个投影存真Oneprojectionistrue-showtype.(2)另外两投影积聚----面平行于投影轴的线Theothertwoprojectionsareline-collectingtype.(Plane-line∥axis)(3)积聚性与存真性同时存在Bothcollectingandtrue-showtypeOXYZHVaAaCWabBbcccb5.一般位置平面Generalpositionplane/Obliqueplane3D图形与2D投影有亲似性2Dprojectionsissimilarto3DshapeOXYZHVaaWabbcccb一般位置平面投影ProjectionsofGeneralpositionplaneY三、平面上的点和直线Pointsandlinesinplanes判断直线在平面内的方法Howtodetermineiflineinaplane定理一Rule1若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。Alineisonaplaneifitgoesthroughtwopointsbelongingtotheplane定理二Rule2若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。Alinewillbeonaplaneifitgoesthroughonepointintheplaneandparalleltoalinelyingintheplane⒈平面上取任意直线Locatearbitrarylineinplane线在面上的条件Linelocatedintheplaneif:(1)过面上的两点Throughtwopointsintheplane(2)过面上一点,且平行于面上另一直线ThroughonepointoftheplaneandparalleltoonelineintheplaneABALabcbcaabcbcadmnnmd例2：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。ConstructalinearbitrarilyinplanedefinedbylinesABandAC.解法一Solution1解法二Solution2根据定理二Byrule2根据定理一Byrule1例3：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。Constructahorizontalline10mmawayfromHprojectionplaneinplaneABCnmnm10cabcab唯一解！Theexclusivesolution!点在面上的几何条件:必在面内的一条直线上Pointliesinaplaneifitliesonalineintheplane.⒉平面上取点Locatingapointinaplane先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。Apointcanbelocatedinaplanebyfirstconstructingaauxiliarylineontheplanethroughthepoint.面上取点的方法：面上取点必先取线Locatingapointinplanemustbebyfirstlocatingaline.步骤Steps:(1)在P面内过A点作直线LDrawlineLonPthroughpointA.例4:A是平面P上一点,已知A点的V投影,求H投影A∈P,findtheHprojection.分析:若A点在平面P上,必在过A点的直线L上(L在P上)A∈P—A∈L(L∈P)pp2112llLPaaA(2)作直线L的H投影DrawHprojectionoflineL.(3)根据从属性作出直线L上的A点的H投影GettheHprojectionofpointA.例5：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。K∈planeABC,findtheHprojection.b①accakb●k●②●abcabkcdk●d利用平面的积聚性求解Bycollectingtypeplane通过在面内作辅助线求解Byauxiliarylinebckadadbcadadbckbc例6：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。AC∥V,CompletetheHprojectionofparallelogramABCD解法一Solution1解法二Solution23.过点或直线作平面Constructplanethroughpointorline过空间中任意一点A作平面ConstructplanethroughpointAL过空间中任意一直线L作平面ConstructplanethroughlineL结论:要有约束条件才能得到唯一解Conclusion:ExclusivesolutionbyextraconstraintsA过直线L作平面ConstructplanethroughlineLllaammllaamm过点A作平面ConstructplanethroughpointA思考:能否作出面平行面?投射面呢？过直线L可以作什么位置平面?WhatkindofplanescanbeconstructedthroughlineL?ll水平面（）正垂面（）正平面（）铅垂面（）侧平面（）侧垂面（）一般位置平面（）•过一般位置直线作正垂面ConstructaV-perpendicularplanethroughageneralpositionline.ll•过一般位置直线作铅垂面ConstructaV-perpendicularplanethroughageneralpositionline.llpppp四、平面上的特殊直线SpeciallinesonplaneOXYZHVL1WP1.主直线Mainline平面上与投影面平行的直线Linesparalleltoprojectionplanes正平线L1∥V水平线L2∥H侧平线L3∥WL2L3平行于平面P与投影面的交线ParalleltotheintersectofplanePandprojectionplane2主直线平面Mainlinesplane用一对相交主直线表示的平面Planerepresentedbyapairofintersectingmainlinesl1l1l2l2l1l1l2l2α最大斜度线Maximuminclinationlineα——平面P与H的夹角，称为坡角最大斜度线与H的夹角3.最大斜度线MaximuminclinationlineY(1)定义:平面上与主直线垂直的直线。也称最大坡度线。Lineperpendiculartomainlineonplane.(2)特点:最大斜度线的一个投影垂直于主直线。Oneprojectionofmaximuminclinationlineperpendiculartomainlineprojection.最大斜度线的倾角为P平面与该投影面的倾角Theangleofmaximuminclinationlineistheanglebetweenplaneandprojectionplane.最大斜度线MaximuminclinationlineHABK(k)lLP1abPHllabab.思考：（1）如何求平面P对H面的坡角？AngleαbetweenPandH?（2）如何求平面P对V面的坡角？Anglebetw