违背经典假设的计量经济学问题

第三章违背经典假设的计量经济学问题3.1异方差性问题3.2序列相关问题3.3多重共线性问题3.4随机解释变量问题§3.1异方差性Heteroskedasticity一、异方差性的概念二、异方差性的后果三、异方差性的检验四、异方差性的估计五、案例和Eviews操作一、异方差的概念对于多元线性模型：同方差假设为：如果出现：即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，这就出现了异方差性。ikikiiiXXXYµββββ++⋅⋅⋅+++=22110i=1,2…,ni=1,2…,n2()iiVarµσ=i=1,2…,n2()iVarµσ=2.异方差的类型同方差假定的意义是指出每个μi围绕其零均值的变差，并不随解释变量X的变化而变化，不论解释变量观测值是大还是小，每个μi的方差保持相同，即：在异方差的情况下，已不是常数，它随X变化而变化，即：2iσ=数常2iσ2()iifXσ=异方差一般可归结为三种类型：（1）单调递增型，随X的增大而增大；（2）单调递减型，随X的增大而减小；（3）复杂型，随X的变化呈复杂形式。2iσ2iσ2iσ无异方差单调递增型单调递减型复杂型3.实际经济问题中的异方差性例如:在截面数据下，研究居民家庭的储蓄行为:Yi=β0+β1Xi+μi其中，Yi和Xi是第i个家庭的储蓄额和可支配收入。在该模型中的同方差假定往往不符合实际情况。对高收入家庭来说，储蓄的差异较大，低收入家庭的储蓄则更有规律性，差异较小。因此，μi的方差往往随着Xi的增加而增加，呈单调递增型。例如:以绝对收入假设为理论假设，以截面数据作为样本，建立居民消费函数:Ci=β0+β1Yi+μi将居民按照收入等距分成n组，取组平均数为样本观测值。一般情况下，可以近似认为居民收入服从正态分布。处于中等收入组中的人数最多，而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而先减小后增大。如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那么对于不同样本点随机误差项的方差随着Xi的增加而先减后增。例如:以某一行业的企业作为样本，建立企业生产函数模型:产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素作为解释变量,那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一解释变量观测值的变化而呈规律性变化，这种异方差性是复杂型。312iiiiiYAKLeβµββ=二、异方差的后果1.参数估计量非有效•普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性，但是不再具有有效性，因为在有效性证明中利用了：•在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但参数估计量仍然不具有渐进有效性。2()Eσ′=NNI以一元线性回归模型为例进行说明：（1）仍存在无偏性，证明过程与方差无关参数的OLS估计量为：1ˆβ1β()()()122010122221122ˆ()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiinYXYXnXXnXXXXnXXnXnXXXnXXβββµββµβµβµ−=−++−++=−+−−=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()2211122(())ˆ()iiiinXXEnXXβββ−==−∑∑∑∑故01iiiYXββµ=++由于（2）不具有最小方差性其中：ωi也是权数，但不等于ki。取其期望])([)()(212∑∑++==∧iiiiiuXEYEbEββωωiiiiiXXE∑∑+=+=ωβωβββω2121)(2β=∑=∧iiYbω2∑=iiYkb2有效性证明（最小方差）：最小二乘估计式b2是被解释变量的线性组合：假设是β2另一个无偏线性估计式：2b∧上述结果表明，如果是无偏的，应该有：0=∑iω1=∑iiXω同样，可以将表示为随机扰动变量的线性函数∑+=iiukb22β∑+=∧iiubωβ22212122()iiiiiiiiiiiibYXuXuuωωβββωβωωβω∧==++=++=+∑∑∑∑∑∑根据无偏性条件，应有：0=∑iω1=∑iiXω无偏估计参数的方差估计式：2222)()(β−=∧∧bEbVar2)(∑=iiuEω∑=22iωσ（序列不相关假定和同方差假定）2222)(∑∑∑+−=iiiiixxxxωσ)]()[(2)()(2222222222∑∑∑∑∑∑∑−++−=iiiiiiiiiixxxxxxxxωσσωσ])([21)(2222222222∑∑∑∑∑∑−++−=iiiiiiiiixxxxxxxωσσωσ]})(])([{2)()(222222222∑∑∑∑∑∑−−++−=iiiiiiiixxxXXbVarxxωσωσ]1[2)()(22222222∑∑∑∑∑∑∑−−++−=iiiiiiiiixxXxXbVarxxωωσωσ]101[2)()(2222222∑∑∑∑−−++−=iiiiixxbVarxxσωσ)()(2222bVarxxiii+−=∑∑ωσ由于0)(222−∑∑iiixxωσ可以推断：)()(22bVarbVar∧2.变量的显著性检验失去意义•关于变量的显著性检验中，构造了t统计量：•在该统计量中包含有随机误差项共同的方差，并且有t统计量是服从自由度为(n-k-1)的t分布。如果出现了异方差，t检验就失去了意义。•其他的检验也存在类似的情况。ˆˆjjtSββ=3.模型的预测失效•一方面，由于上述后果使得模型不再具有良好的统计性质。•另一方面，在预测值的致信区间中也包含有随机误差项共同的方差σ2，检验就失去了意义。•当模型出现异方差性时，参数OLS估计量的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。三、异方差性的检验1.异方差性检验方法的共同思路•由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。问题在于用什么来表示随机误差项的方差。一般的处理方法：•首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的估计量，我们称之为“近似估计量”，用表示，于是有：ieˆ()iiOLSieYY=−22()()iiiVarEeµµ=≈2ie表示随机误差项的方差看这个随机误差项的方差与解释变量之间的关系。看是否形成一斜率为零的直线：（1）用X-的散点图进行判断2ieX2ie同方差X2ie递增型方差X2ie递减型方差X2ie复杂型方差2.图示检验法看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势，即不在一个固定的带形区域中：（2）用X-Y的散点图进行判断无异方差单调递增型单调递减型复杂型3.解析法（1）BPG检验（2）White检验（3）Gleiser检验（4）Park检验*•BPG检验步骤a)用OLS法估计模型，得到残差eib)作辅助回归，并计算R2值H0:不存在异方差H1:存在异方差（1）BPG(Breusch-Pagan-Godfrey)检验011(*)ikkiYXXβββµ=++++201122+++(**)ikkieXXXααααε=++c)计算(**)回归的F统计量、n•R2统计量和LM统计量。原假设下，n•R2和LM统计量都渐进服从χk2分布。其中，n-样本容量，k-自由度，(**)式中不包括截距项的解释变量个数。d)给定显著性水平,若F值、n•R2值和LM值大于临界值,则拒绝原假设,认为存在异方差,否则不存在。22421ˆ()2nikieσχ=∑•White检验步骤a)用OLS法估计模型，得到残差eib)作辅助回归，并计算R2值H0:不存在异方差H1:存在异方差（2）怀特(White)检验011(*)ikkiYXXβββµ=++++22201122334152263712813923+(**)iieXXXXXXXXXXXXααααααααααε=+++++++++c)计算（**）回归的F统计量、n•R2统计量和LM统计量。原假设下，n•R2和LM统计量都渐进服从χk2分布。其中，n-样本容量，k-自由度，(**)式中不包括截距项的解释变量个数。d)给定显著性水平,若F值、n•R2值和LM值大于临界值,则拒绝原假设,认为存在异方差,否则不存在。22421ˆ()2nikieσχ=∑•Gleiser检验步骤a)用OLS法估计模型，得到残差eib)作辅助回归，并计算R2值H0:不存在异方差H1:存在异方差（3）戈里瑟(Gleiser)检验011(*)ikkiYXXβββµ=++++01122+++(**)ikkieXXXααααε=++c)计算(**)回归的F统计量、n•R2统计量和LM统计量。原假设下，n•R2和LM统计量都渐进服从χk2分布。其中，n-样本容量，k-自由度，(**)式中不包括截距项的解释变量个数。d)给定显著性水平,若F值、n•R2值和LM值大于临界值,则拒绝原假设,认为存在异方差,否则不存在。22(Xα)miσσ=+四、异方差性的估计—加权最小二乘法(WLS)WeightedLeastSquares1.加权最小二乘法的基本思想•加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。•例如，在递增异方差下，对来自较小Xi的子样本，其真实的总体方差较小，Yi与回归线拟合值之间的残差ei的信度较大，应予以重视；而对较大Xi的子样本，由于真实总体的方差较大，残差反映的信息较少，不应太重视。•加权最小二乘法是对加了权重的残差平方和实施OLS法，（1）对较小的残差平方和ei2赋予较大的权数；（2）对较大的残差平方和ei2赋予较小的权数；22011ˆˆˆ[()]iiiiikkiWeWYXXβββ=−+++∑∑2.一个例子222()()()iiijiVarEfXµµσσ===•例如，如果在检验过程中已经知道：•即随机误差项μi的方差与解释变量Xj之间存在相关性，那么可以用去除原模型，使之变成如下形式的新模型：()jfX011221111()()()()11(1,,)()()iiijijijijikkiijijiYXXfXfXfXfXXinfXfXββββµ=+++++=011221111()()()()11(1,,)()()iiijijijijikkiijijiYXXfXfXfXfXXinfXfXββββµ=+++++=在该模型中，存在：222111()()()()()()iiijijijiVarEEfXfXfXµµµσ===即满足同方差性，于是可以用OLS估计其参数，得到关于参数的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是：01,,,kβββ1()jifX3.一般情况对于模型Y=XB+N存在E(N)=0Cov(NN')=E(NN')=σ2W12n=W即存在异方差性。设W=DD'其中：12n=D用D-1左乘Y=XB+N的两边，得到一个新的模型：D-1Y=D-1XB+D-1N即Y*=X*B+N*该方程具有同方差性。因为，11111211212(**)()()ENNENNENNσσσ−−−−−−−−′′′′′==′′′===DDDDDWDDDDDI于是,可以用OLS法估计模型:Y*=X*B+N*得1-1--11-111-1-1(**)*()*()=−−−′′′=′′′′=′BXXXXYXDDXXDDYWXXWY这就是原模型的加权最小二乘估计量，它是无偏的、有效的。这里的矩阵D-1，它来自于权矩阵W。4.求得权矩阵W的一种实用方法从前面的推导过程看，它来自于原模型Y=XB+N的残差项N的方差协方差矩阵，因此仍然可对原模型采用OLS法得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即21222neee=W121111neee−=D5.加权最小二乘法具体步骤（1）选择普通最小二乘法估计原模型Y=XB+