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1第四届全国北师大版初中数学优质课评比与观摩活动作品欣赏三角形内角和定理一、课标解读《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程基本理念”中明确指出：数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程．教师要发挥主导作用，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，体会和运用数学思想与方法，获得基本的活动经验．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本节课的具体要求是：探索并证明三角形内角和定理．所以，本节课教学中应着重体现：探索、证明这两个关键词．重在让学生充分经历探索证明三角形内角和定理的过程，增强学习体验，积累基本的数学活动经验．证明中规范数学语言的表述，推理的严密性，培养学生良好的数学学习习惯和数学素养．二、教材分析《三角形内角和定理》在初中数学知识树中的地位如下图所示：《三角形内角和定理》是北师大版八年级上册第七章平行线的证明的最后一节，是在学生学习了证明的必要性和平行线的性质与判定的基础上进行学习的．《三角形内角和定理》是对前几节证明的自然延续，是平行线性质的后续应用，是对推理证明的巩固与加深．同时，三角形内角和定理是计算角的度数的常用方法之一，是学生今后学习多边形内角和以及圆等知识的基础，探索定理证明过程中体现的数学思想和方法、引入的辅助线的添加方法也为学生后续几何学习奠定了基础，具有承上启下的作用．三、教学目标21．探索证明三角形内角和定理的不同方法，在观察、联想、猜测、论证的过程中发展探索问题的意识和推理能力．2．掌握证明三角形内角和定理的基本思想和方法，能灵活运用所学知识解决相关问题．四、学情分析1．认知特点：八年级学生逻辑思维处于迅速发展的转折期，已经初步完成了思维从受趣味性的左右向理性发展的过渡，正在实现由直观形象思维到抽象逻辑思维的转变．2．知识技能基础：学生在小学和初中七年级下册已经初步学习过三角形内角和定理，对定理的直观验证认识比较深刻．在本章中又学习了证明的必要性、平行线的判定定理、性质定理及其证明等，掌握了检验数学结论的常用方法，具有初步的几何意识、一定的逻辑思维能力和推理能力．五、教学重难点1．教学重点：三角形内角和定理的证明与运用．2．教学难点：探索三角形内角和定理的不同证明方法．六、教法设计根据教学目标，要让学生经历探索三角形内角和定理证明的过程．教师的主要任务是向学生提供充分从事数学活动的机会，给他们自主探索的时间、空间，使学生真正成为学习的主人．因此，本节课采用探究研讨法，让学生自主尝试探索证明三角形内角和定理的方法，以问题引导学生进行操作、观察、思考、探索，鼓励学生合作交流，使学习过程成为再发现、再创造的过程．七、评价设计1．通过“情境引入”和“合作探究”实现对目标1的评价．2．通过“巩固拓展”“达标评价”“课外延伸”评价目标2的达成．八、教学过程【第一环节】情境引入教师活动：问题引领．看到课题，你想到了什么？学生活动：回顾三角形内角和定理及验证方法．设计意图：注重学生已有经验基础，激发学生的学习兴趣，使学生明确本节课学习任务，在短时间内集中学生的注意力，促进学生积极思考，形成较高的课堂关注．3活动预计：学生在小学和初中七年级下册已经初步学习过三角形内角和，对定理的内容及通过折纸、测量等验证方法比较熟悉，教师提出的问题看似宽泛，实际上学生根据已有经验，很快能把问题集中到定理的内容和验证方法上，能够比较准确的表达三角形内角和定理及其验证方法，教师需在回顾中引导学生发现，之前验证三角形内角和定理的方法都停留在直观验证的层面上，能不能通过严密的推理证明三角形内角和定理呢？从而明确本节课的学习重点与之前的不同之处，激发学生向更高的学习目标前进．【第二环节】合作探究教师活动：任务驱动，巡视指导．初中阶段我们不能仅仅满足于直观验证，需要向更高层次发展，能不能通过严密的推理证明三角形内角和定理呢？学生活动：结合定理画出图形，写出已知、求证．明确所要解决的问题．已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．设计意图：进一步规范命题证明的步骤，树立严谨的学习态度．活动预计：大部分学生应该能够顺利写出已知、求证，并画出图形，故此处可以由学生口答教师板书，在班级进行规范引领．探究活动一：（经过三角形的顶点作平行线）教师活动：巡视指导，适时点拨；组织学生进行探究、批改、反思．板书：学生活动：1．独立思考，探索解决问题的方法，组内交流；2．班级展讲，谈自己的证明思路和方法；3．三人板演不同的证明方法，其他人选取一种证明方法在导学案上写出证明过程；4．反思三种方法的共性：经过三角形的顶点做一边的平行线，实现角的转化，将三个内角转化成平角或同旁内角．ABCABCE法①ABCDE法②ABCDE法③4设计意图：通过独立思考、班级展示交流学生易想到的证明方法，引领学生在探究过程中体会证明三角形内角和定理的基本数学思想和方法，掌握基本构图，规范证明的步骤以及推理的严密性，培养学生的观察能力、语言表达能力和分析归纳能力，发展学生的抽象逻辑思维．活动预计：大部分学生根据以前的学习经验，将三角形三个内角转化成一个平角或一对同旁内角，容易找到其中的一种或两种证明方法，能够将三种证明方法都想到的同学可能很少．此时组织学生进行班级展讲，补充完善证明方法，归纳出证明三角形内角和定理的基本数学思想是转化，具体方法是借助平行线转化角，积累活动经验．最后以三种解法中添加辅助线位置的特殊性，激发学生质疑，为探究二的进行埋下伏笔．探究活动二：（经过三角形边上任意一点做平行线）教师活动：激发质疑，个别指导，组织学生展讲和反思．一定要经过三角形的顶点做平行线吗？学生活动：1．探寻辅助线经过的点的位置有几种可能；2．独立思考，完成经过三角形边上任意一点做平行线的证明定理；3．借助高拍仪，进行班级展讲；4．反思此法与探究一的异同．设计意图：通过问题，激发质疑，引领学生进行有条理的思考．在学生展讲的过程中进行适时点拨，在复杂图形中分解基本图形，培养学生的识图能力．充分认识探究二与探究一的异同，增强学生的辨析能力．活动预计：所添加的辅助线经过的点的位置如何确定？部分学生可能没有思考方向．此时可以引导学生从三角形将其所在平面内的点分为三部分的角度思考，从而发现所添加的辅助线经过的点与三角形就可能有三种不同的位置关系，使学生对本节课的探究形成整体认识．在探究一的活动基础上，学生有能力独立完成探究二，但不易形成全面深刻的反思．教师要引导学生从添加辅助线的条数、转化角的个数、中间角的确定等方面充分认识探究二与探究一的不同，通过基本构图进一步体会二者的共性，即证明三角形内角和定理的基本数学思想和方法不变．探究活动三：（经过三角形内或外任意一点做平行线）教师活动：组织学生思考、小组交流、操作演示、班级展讲，播放微课．ABCDEF5学生活动：1．先独立思考理，然后组内交流；2．借助纸片操作，演示三个内角拼成平角的过程；3．对三次探究进行系统反思；4．观看微课．设计意图：探究三重在让学生体会，不论图形怎样变化，解决问题的基本思想和方法不变，不同的是拼成平角的位置不同而已．让学生在不断辨析中增强识图能力，认识证明该定理的本质所在，提高学生的逻辑推理能力．活动预计：大部分学生应该能顺利的添加辅助线，但部分同学受复杂图形的干扰，转化角可能会产生困难，使证明受阻．此时组织学生进行小组合作学习，生帮生、生教生，并利用纸片进行演示．最后借助超级画板的微课演示，验证三角形内角和定理适用的普遍性．反思引导学生纵观整个探究过程，依据辅助线经过的点的位置的不同分为三个层次，遵循由特殊向一般的发展规律，以运动的观点串联三角形内角和定理的证明，引导学生在探究中步步深入．【第三环节】巩固拓展教师活动：出示练习题，组织学生进行思考、解答、交流．A组：（口答）1．△ABC中，（1）∠A=55°，∠B=15°，∠C＝．（2）∠C=90°，∠A=∠C，则∠B=．2．三角形中三个内角之比为2∶3∶4，则三个内角的度数分别是．B组:1．证明：直角三角形两个锐角互余．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，试找出图中相等的角，并说明理由．学生活动：独立思考，同桌互助，班级展示．设计意图：巩固三角形内角和定理的应用，通过对直角三角形性质的证明向学生渗透从一般到特殊的数学思想，在运用定理进行计算、推理的过程中增强对定理内涵的理解．活动预计：本环节设置了两个层次的题组，A组题重在对三角形内角和定理计算功能的训练，题目难度系数较低，大部分学生能够准确完成，可以采用口答的方式．B组侧重推理功能的训练，难度适中，可以独立思考完成在导学案上．【第四环节】交流分享ABCDEFGHMNDEFGHMNABCABCD6教师活动：进行方法指导，针对知识、方法、情感等方面进行必要补充．请结合本节课的学习目标，以小组为单位对本节课的学习进行梳理和总结，谈谈自己的体会和困惑．如我学会了……知识；我掌握了……思想或方法等．学生活动：小组交流，班级分享．设计意图：在反思总结过程中进行数学知识的梳理及思想方法的构建，帮助学生查漏补缺，对本节课所学形成较为全面的认识．活动预计：学生个人的总结比较零散，课堂小结集小组的智慧对本节课所学的数学知识及思想方法进行梳理，进行班级交流，教师可结合知识树中三角形内角和定理的位置及作用进行提升．【第五环节】达标评价教师活动：出示检测题．已知：如图四边形ABCD是任意一个四边形．求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°（比比谁的方法多！）学生活动：独立完成，组内批改．设计意图：每节课的达标检测是对学生的一种评价和激励措施．这道检测题的设置，既能够检验学生对证明三角形内角和定理渗透的思想方法的掌握，又能够检测对三角形内角和定理的应用，且难度适中，面向绝大多数同学，能够较好的实现对教学目标的评价，给大部分学生带来成功的体验．活动预计：本道检测题难度适中，大部分学生可以找到证明方法，快乐达标．对于该题不同的证明方法延伸至课外探究．【第六环节】课外延伸教师活动：提出课外探究要求．请用尽可能多的方法完成达标检测题的证明，并类比三角形内角和定理的证明方法，你能发现它们之间的共同之处吗？学生活动：课外探究．设计意图：这道课外探究题的设置有两个目的：一是巩固三角形内角和定理的应用；二是实现数学思想方法的迁移，引领学生在证明四边形内角和定理的过程中体会其与三角形内角和定理证明的内在联系，实现问题解决方法的迁移，建立新知识与后续知识之间的联系，为学生今后学习多边形内角和等知识奠定基础．BCAD7活动预计：在本节课活动经验的基础上，大部分学生应该能有条理的思考解答，根据辅助线经过的点的位置采用不同的方法证明，即：当添加辅助线经过四边形的顶点、经过边上任意一点、经过四边形内或外任意一点．但是经过四边形外一点添加辅助线的构图相对复杂，部分学生证明时可能会感到困难。可将不同证明方法制作成微课，以满足不同学生的学习需求，辅助学生的课外学习．