03现值和内部收益率

——02-1章贤军[e-mail][e-mail]——02-2PresentValueandInternalRateofReturnPresentValue(PV)InternalRateofReturn(IRR)CashFlowEvaluationDiscountfactorSpotandforwardrate——02-3PresentValue现值用x=(x0,x1,...,xn)表示一个现金流。我们需要找到办法来比较不同的现金流。折现因子Discountfactors和利率Interestrates可以在时间轴上移动现金流.timex0x1x2x3x4x5x6timePV——02-4术语Terminology现值presentvalue.timex0x1x2x3x4x5x6timePV终值finalvalue.timex0x1x2x3x4x5x6timeFV——02-5PresentValueandInternalRateofReturnPresentValue(PV)InternalRateofReturn(IRR)CashFlowEvaluationDiscountfactorSpotandforwardrate——02-6折现因子Discountfactor对应某特定期间的折现因子，是指该期间结束时所收取1元的现值。将t年期的折现因子表示为d(t)。d(0.5)＝0.9825表示6个月后收取的1元，现值0.9825元。某证券6个月后收取的105元，现值多少？105×d(0.5)＝105×0.9825＝103.16元。当前投资1元，6个月后回收1/d(0.5)=1.02元——02-7Discountfactor国债Bonds在以下的讨论里都是没有信用风险的（default－free）对于一般的国债，现金流包含3个要素：——面值facevalueorparvalue——票息couponrate——到期日maturityday——02-8在94年2月15日购买了一种国债（付息债券），面值10000元，票息4.375%,到期日是96年8月15日。购买者在此之前每年收到利息，并在到期日收到10000元的本金。市场惯例，每年的利息分两次支付，即每6个月付218.75元。218.75218.75218.75218.7510218.7594.2.1594.8.1595.2.1595.8.1596.2.1596.8.15——02-9票息率％到期日价格6.87594.8.15101:205.595.2.15101:184.62595.8.15100:214.62596.2.15100:124.37596.8.1599:15比如最后一行的债券，指100元的面值，当前价格为99＋15/32=99.46875元表3.1报价日：94.2.15——02-10折现因子可以由国债价格表计算：参考表3.1第一行第二行6个月后的收益：2.751年后收益：100＋2.75所以现值可以算出d(1)=0.9621d(1.5)=?201101(1006.875)(0.5)322(0.5)0.9825dd18101=2.75d(0.5)+102.75d(1)32——02-1121100=2.3125d(0.5)+2.3125d(1)32+102.3125d(1.5)——02-12表3.2：根据表3.1计算的折现因子Td(t)0.50.982510.96211.50.939920.91592.50.8920——02-13d(t)10T年2820图3.130年之后将收取的1元，现值仅有0.14元——02-14PresentValueandInternalRateofReturnPresentValue(PV)InternalRateofReturn(IRR)CashFlowEvaluationDiscountfactorSpotandforwardrate——02-15即期利率与远期利率折现因子可以用来给资产定价，但使用更多的还是利率。重点介绍即期利率spotrate与远期利率forwardrate，并说明如何根据债券价格来计算这两个利率，及其功能。——02-16即期利率是指放款者在签约当时立即提供资金给借款者，所约定的利率。t年的即期利率定义为，将其视为t年期每半年复利一次的名义利息率。()rtAA(1+r/2)2ttime0t面值:100元小于100元——02-17Spotrate121()2()1()trtdt由于多数债券是每半年支付票息一次，所以投资者关心半年一次的复利率。已知折现因子d(t)表示t年之后的1元的现值，因此有：2()112trdtAA(1+r/2)2ttime0t——02-18表3.3根据表3.2折现因子所推算的即期利率Td(t)%0.50.98253.56710.96213.8961.50.93994.17820.91594.4432.50.89204.622()rt——02-19Spotrate10%0T年28204%412图3.294.2.15的即期利率——02-20即期利率与到期期间的关系，通常被成为“即期利率的期限结构”termstructureofspotrate根据图3.2显示，即期利率最初具有斜率向上的期限结构，但大约到第23年后，即期利率具有斜率向下的趋势downwardsloping——02-21零息债券零息债券zerocouponbond指只在到期日支付面值的债券。零息债券的价格相当于折现因子。零息债券的收益率相当于即期利率。零息债券可以通过票息债券couponbond的组合获得——02-22经分割的现金流：52.552.552.5100094.2.1594.8.1595.2.1595.8.15——02-23把票息债券组合成零息债券价格:票息:面值:120xPyPP120xCyCC120xFyFF可以组合一个zerocouponbond,使C0=0,F0=$100这个组合要满足3个公式:解出x和y.组合而成的零息债券的价格xP1+yP2——02-24ExampleBond1:10year,10%coupon,P1=98.72元Bond2:10year,8%coupon,P2=85.89元面值100元Portfolio:x–Bond1,y–Bond2.构建的零息债券价格:x=-4,y=5Coupon:x(10)+y(8)=0Face:x(100)+y(100)=100Createazero:SpotRate:201010034.57(1/2)r100.11rxP1+yP2=34.57元——02-25面值100元－票息4.625－到期日95.8.15的债券，用折现因子表示，在94.2.15日的价格为2.3125×d(0.5)+2.3125×d(1)+102.3125×d(1.5)使用即期利率，则债券现值又可以表示为232.31252.3125102.3125(0.5)(1)(1.5)1[1][1]222rrr——02-26以这种方式表示，说明现金流量根据发生当时的即期利率来折现。换句话说，投资者对于不同时期发生的现金流量，将赚取不同的报酬率——02-27表3.3根据表3.2折现因子所推算的即期利率Td(t)%0.50.98253.56710.96213.8961.50.93994.17820.91594.4432.50.89204.622()rt远期利率forwardrate——02-28（一）六个月期的债券收益率A(1+3.567%÷2)一年期的债券前六个月的收益率A(1+3.896%÷2)（二）一年期债券收益率A(1+3.896%÷2)2两年期债券第一年的收益率A(1+4.443%÷2)2——02-29购买1年期债券的投资者，在前6个月获得较高的年利率3.896%，是因为相当于承诺在6个月结束时，继续将贷款延展半年。这种隐含的承诺就是一个远期贷款。远期贷款，在未来某日期开始放款的契约。在远期贷款签约当时（而不是放款的当时），所定的利率称为“远期利率”forwardinterest。——02-30我们定义r(t)为目前对于由第t-0.5年起算而至第t年之贷款所适用的年利率。r(1.5)就是指由第1年起算的6个月期远期年利率。(1.5)rr(0.5)94.2.1594.8.1595.2.1595.8.15r(1)r(1.5)(1)r(2)r96.2.15r(2)——02-31远期利率的计算方法：r(0.5)=(0.5)=3.567%r2(0.5)(1)(1)[1][1][1]222rrr3(0.5)(1)(1.5)(1.5)[1][1][1][1]2222rrrr2(0.5)(1)()()[1][1].....[1][1]2222trrrtrt(1)(2)(3)(4)——02-32表3.4根据表3.3的即期利率推算远期利率T%r(t)%0.53.5673.56713.8964.2261.54.1784.74324.4435.2392.54.6225.342()rt——02-33图3.3即期利率与远期利率曲线rate10%0T年28204%412即期利率远期利率——02-34面值100元－票息4.625－到期日95.8.15的债券，在94.2.15日价格可以表示为1、2.3125×d(0.5)+2.3125×d(1)+102.3125×d(1.5)2.31252.3125102.3125(0.5)(0.5)(1)(0.5)(1)(1.5)1[1][1][1][1][1]222222rrrrrr232.31252.3125102.3125(0.5)(1)(1.5)1[1][1]222rrr2、3、——02-35PresentValueandInternalRateofReturnPresentValue(PV)InternalRateofReturn(IRR)CashFlowEvaluationDiscountfactorSpotandforwardrate——02-36内部收益率InternalRateofReturn用x=(x0,x1,...,xn)表示现金流.内部收益率指能够满足下式的r1202...01(1)(1)nnxxxxrrr为了解出r,通常会设:1(1)crandsolve2012...0nnxxcxcxc(,)0PVxr——02-37Example对现金流(-2,1,1,1)，它的内部收益率是多少?Solve:2302cccQuestion:这个多项式只有惟一的正解吗?Answer:Thiscanbeaproblem...0.81c0.23r11cr——02-38关于IRR的一个重要结论2012...0nnxxcxcxcProof:plot2012()...nnfcxxcxcxcf(c)cx0increasing...如果现金流x=(x0,x1,...,xn)有x00,并且对于k0至少有一项是正的.那么对以下方程式就有惟一的正解:0kx——02-39内部报酬率实际上就是到期收益率(yieldtomaturity)到期收益率的作用：1、债券报价的另一种形式2、判断债券是折价还是溢价3、判断债券价格低估还是高估——02-40由到期收益率的定义，假定T年期国债的面值为1元，票息率为c，则价格为221[1][1]222TtTtcyyP上式又可以表示为，22[1(1)](1)22TTcyyPy——02-411、如果c=y，则P=1。票息利率等于到期收益率，则债券价格等于面值。2、如果cy，则P1。票息利率大于到期收益率，则债券将有溢价premium3、如果cy，则P1。债券将有折价discount4、对于长期债