ch10套利定价理论与风险收益的多因素模型

第10章套利定价理论与风险收益多因素模型概述•利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为称为套利(arbitrage)。套利行为需要同时进行等量证券的买卖，以便从其价格关系的差异中获取利润。套利概念是资本市场理论的核心。•在均衡市场价格下没有套利机会，这也许是资本市场理论中最基本的原理。能保证不存在套利可能性的价格关系是极有效力的，假如实际证券价格允许套利，其结果将是强大的压力迫使证券价格恢复均衡。第10章套利定价理论与风险收益多因素模型10.1多因素模型综述*10.2套利定价理论10.3单一资产与套利定价理论10.4多因素套利定价理论10.5我们在哪儿能找到因素10.6多因素资本资产定价模型10.1多因素模型综述•根据第8章，单因素模型可以表示为：（10-1）因素模型将收益强制性的分解为系统和公司特有两个部分，但不将系统风险限制为单因素。更为详细的系统风险的解释，可以让各个不同的股票反映各自组合的敏感性，因而能构造更精巧实用的单因素模型。而包含数个因素的多因素模型能更好的描述证券收益的特征。假定有两个重要的宏观经济因素ＧＤＰ增长和利率下降IR，则：iiiieFrEr10.1.1证券收益的因素模型•ri=E(ri)+βiGDPGDP+βiIRIR+ei(10-2)•等式右边的两个宏观因素包含了经济中的系统因素。每个因素的系数用来衡量相应的收益对那个因素的敏感度。因此，系数有时被称为因素敏感度、因素承载或贝塔因素。Ei仍然反应公司特有的影响。例10-2使用多因素模型来进行风险评估•以东北航空公司为例，其两因素模型估计结果如下：•r=0.133+1.2GDP-0.3IR+ei•这说明基于现有的信息，东北航空公司的期望收益率为13.3%，但如果在预期的基础上GDP每增加一个百分点，股票的收益率将增加1.2%，但是对于非预期的利率每增加一个百分点，股票收益率将降低0.3%。10.1.2多因素证券市场线•多因素模型仅是用来描述影响证券收益的因素。可是，E(r)从哪儿来？在两因素经济中，风险能够用式（10-2）衡量，证券的期望收益率是以下三项之和：1)无风险收益率；2)对GDP风险的敏感度乘以GDP风险的风险溢价；3)对利率IR风险的敏感度乘以IR风险溢价。根据资本资产定价模型：10.1.2多因素证券市场线E(r)=rf+β[E(rM)-rf]（10-3）若以RPM来表示市场组合的风险溢价，那么式（10-3）可以变换为：E(r)=rf+βRPM(10-4)(10-5)式中βGDP表示证券收益对不可预测的GDP增长的敏感度，RPGDP指和GDP相关的一个单位风险溢价。显然，多因素模型提供了一个比单指数模型或CAMP更丰富多彩的方法来处理风险补偿。IRIRGDPGDPfRPRPrrE例10-3多因素证券市场线•例10-2中，东北航空公司GDP的β为1.2，利率的β为-0.3，假设GDP单位风险的风险溢价为6%，利率单位风险的风险溢价为-7%，假设无风险利率为4%，公司股票的收益率β是多少呢？•4.0%无风险利率•+1.2*6%+GDP风险的风险溢价•+(-0.3)*(-7)+利率风险的风险溢价•总计：13.3%总期望收益•用（10-5）式计算的结果：•E(r)=4%+1.2*6%+(-0.3)*(-7%)=13.3%例题•假定F1与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为6%，并且，所有的股票都有独立的企业特有(风险)因素，其标准差为45%。下面是优化的资产组合。资产组合F1的贝塔值F2的贝塔值期望收益率A1.52.031B2.2-0.227在这个经济体系中，试计算期望收益-贝塔的关系如何？解：公式10.9显示:E(rp)=rf+P1[E(r1)rf]+P2[E(r2)–rf]Weneedtofindtheriskpremium(RP)foreachofthetwofactors:RP1=[E(r1)rf]andRP2=[E(r2)rf]Inordertodoso,wesolvethefollowingsystemoftwoequationswithtwounknowns:31=6+(1.5RP1)+(2.0RP2)27=6+(2.2RP1)+[(–0.2)RP2]Thesolutiontothissetofequationsis:RP1=10%andRP2=5%Thus,theexpectedreturn-betarelationshipis:E(rP)=6%+(P110%)+(P25%)10.2套利定价理论利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为称为套利，套利的特点是：1）无净投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润；2）在有效市场内,有利的套利机会会很快消失。套利定价理论的三个基本假设：1）因素模型能描述证券收益；2）市场有足够多的证券来分散非系统风险；3）完善的证券市场不允许有持续性的套利机会。套利定价理论简介罗斯（Ross，1976）给出了一个以无风险套利定价为基础的多因素资产定价模型，也称套利定价理论（ArbitragePricingTheory，APT）。该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定律（TheLawofOnePrice），即两种风险－收益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。10.2.1套利与均衡•套利与风险收益的支配性观点相比较，两者在支持均衡价格关系上存在重要区别：•一个支配性的观点认为，当均衡关系被打破时，许多投资者将改变他们的组合，虽然每一个投资者将根据其风险厌恶程度只进行有限的改变，但这许多有限的资产组合改变的集合将引起大规模的买卖活动以使均衡价格得到恢复；•APT理论认为：当套利机会存在时，每一个投资者总想尽可能地拥有较多头寸，因此无需很多的投资者参与就可以带来足够的价格压力使其恢复均衡。套利组合•套利组合：与CAPM相比，APT的假设条件少，使用比较方便。一个套利组合只要满足三个条件：•①套利组合要求投资者不追加资金。用Xi表示持有证券i的金额和权重的变化，Xi可正可负。即X1+X2+X3+….+Xn=0；•②套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险；β1X1+β2X2+β3X3+….+βnXn=0•③套利组合的预期收益率大于零。r1X1+r2X2+r3X3+….+rnXn0假设单因素套利模型成立，3个充分分散的股票组合有关数据如下：股票期望收益率（%）贝塔系数A101B92/3C40根据以上数据，该组合是否具有套利机会？投资者应如何制定和实施套利策略？例题（构建套利组合），即可完成套利。万元的，买进万元的、万的组合，方法为卖空所以，可以构建出套利该套利组合具有正收益由于时，所以，当由于时，故：当则有设；；：套利组合的约束条件为C15B5A1000015.0)05.0(04.015.009.0)1.0(1.0xrxrxr05.0x,15.0x,1.0x00015.005.004.0)15.0(09.01.01.0xrxrxr05.0x,15.0x,1.0x15.01.005.01.0xx05.0049.0x0067.0x321.00x0)1.0x(321.010x)1.0x(1.01.0xx:,1.0x0xrxrxr0xxx0xxxccbbaacbaccbbaacbacbcccccccbacbaccbbaaccbbaacba10.2.2充分分散的投资组合•构造一个由n种股票按权重组成的资产组合，其权重为wi，，则该资产组合的收益率为：(10-6)式中:正如第8章所做的，这一投资组合的方差分为系统的和非系统的两个方面。投资组合方差为：1wn1iiiPPPeFrErn1iiiPn1iiiPewe,wP22F2P2Pe10.2.2充分分散的投资组合上式中，σF2为因子F的方差，σ2(ep)为资产组合的非系统风险。由于公司特有的ei之间是无关的，因此：如果该投资组合是等权重的，则有：上面最后一项是证券非系统平均方差，当n无限大时，趋于0，这就是分散化的结果。i2n1i2ip2ew)e(i2n1ii2n1ii22p2en1nen1en1e10.2.2充分分散的投资组合•随n增大而非系统方差趋于0的各种投资组合不仅仅包含等权重的资产组合，还有其他形式。任意能满足随n增大每个wi均稳定地减小的投资组合都将满足该组合之非系i统性风险随n增大而趋于0的条件。•充分分散的投资组合的定义为满足：按比例wi分散于足够大数量的证券中，而每种成分又足以小到使非系统方差σ2(ep)可以被忽略。•充分分散化的投资组合公式：•(P212概念检查3)FrErppp10.2.3贝塔与期望收益•在充分分散化的投资组合中，各股票之间的非系统风险相互抵偿，因此在一个证券投资组合中只有系统风险能与其期望收益相关。•图10-1a)中的实线描画了在不同的系统风险下，一个βA＝1的充分分散化资产组合A的收益情况。资产组合A的期望收益是10%，即实线与竖轴相交的点。在该点处系统风险为0，意味着不存在宏观的意外情况。如果宏观因素是正的，资产组合的收益将超出期望值；如果宏观因素为负，则收益将低于其平均值。•再看图10-1中的b)图，是一个βS＝1的单个股票(S)。非分散化的股票受非系统风险的影响，并呈现为分布在直线两侧的散点。相比较，充分分散化的资产组合的收益则完全由系统风险决定。图10-1作为系统风险函数的收益F收益率（%）ra)充分分散化的资产组合AF收益率（%）rb)单一股票SASβA=1，E(rA)=10βS=1，E(rS)=101010图10-2•看图10-2，虚线代表另一充分分散化投资组合B的收益，其收益的期望值为8%，且βB也等于1。那么，A和B是否可以在图中的条件下共存呢？图10-2作为系统风险函数的收益：出现了套利机会rA=10%+βA*F图10-2：出现了套利机会•如果你作100万美元资产组合B的空头，并买入100万美元资产组合A，即实施一项零净投资的策略，你的收益将为2万美元，具体过程如下：•(0.10+1.0×F)×100万美元(在资产组合A上作多头)•-(0.08+1.0×F)×100万美元(在资产组合B上作空头)•0.02×100万美元＝2万美元(净收益)•你获得了一项无风险利润，因为系统风险消除了多头与空头头寸的差。进一步说，这项策略要求零净投资。•具有相同β值的投资组合在市场均衡时一定具有相同的期望收益，否则将存在套利机会。10.2.3贝塔与期望收益•图10-3。假设无风险利率为4%，另一充分分散化的投资组合C（其β＝0.5）的期望收益为6%。因此，要考虑一个新的资产组合D，它由资产组合A和无风险资产各占一半组成。资产组合D的值β将为（1/2×0＋1/2×1）＝0.5，其期望收益为（1/2×4＋1/2×10）＝7%。这时资产组合D具有和C相等的β值，但比C的期望收益大。从对前图的分析，我们可以知道，这构成了一个套利机会。图10-3一个套利机会非均衡举例•卖空组合C•用资金构建一个均衡风险高收益的组合D-D与A和无风险资产相比½的无风险资产，½的资产组合A•百分之一的套利10.2.4单因素证券市场线•现在考虑市场投资组合是一个充分分散化的投资组合，我们把系统因素看作是市场投资组合的意外收益。市场投资组合的贝塔值为1，即β＝1，由于市场投资组合也在图10-4所示的曲线上，我们可用它来决定该曲线的方程。如