第八章平面解析几何章末大盘点

一、函数与方程思想1．方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线或圆锥曲线．因此可以用方程思想讨论直线和圆锥曲线的位置关系问题．可以把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用根与系数的关系进行整体处理．从而减少解题过程的运算量．2．函数思想：对于圆锥曲线上一动点，在变化过程中，会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使有些线段长度及a、b、c、k、e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效．【示例1】已知直线y＝－＋2和椭圆(a＞b＞0)相交于A，B两点，M为线段AB的中点，若|AB|＝2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．[解]由消去y整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝又设M(xM，yM)，则xM=因为kOM=即a2＝4b2.从而x1＋x2＝又|AB|＝2所以即解得b2＝4.所以a2＝4b2＝16，故所求椭圆方程为[领悟]待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而用待定系数法解题时，在题目中寻找等量关系，建立方程是关键．二、数形结合思想圆锥曲线的相关问题中，许多表达式都具有一定的几何意义．挖掘题目中隐含的几何意义，然后采用数形结合的思想方法进行推理，可以直观地解决一些最值问题．另外，在解题中还要善于将数形结合的思想运用于对圆锥曲线的性质和关系的研究中．【示例2】当函数y＝1＋与函数y＝k(x－2)＋4的图象有两个相异交点时，实数k的取值范围是()[解析]曲线y=1+是以(0,1)为圆心、2为半径的半圆(如图)，直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线．设切线PC的斜率为k0，切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即设直线PA的斜率为k1，则所以实数k的范围是[答案]C[领悟]平面解析几何本身就是“以数解形”的一门学科，是数形结合思想的直接体现．本例借助于数的几何意义，利用形的直观进行解题，又体现了“以形助数”的思想．三、化归与转化思想解决有关直线与圆锥曲线相交的问题，若要证明线数相等或求弦长，或求某些与曲线上的点有关的题目时，直接求交点坐标往往理论上可行，而实际运算却繁琐复杂．很难得出结果，若合理转化，可使运算简化，事半功倍．【示例3】从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一点P(x1，y1)向圆引切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．[解]将方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方后，得(x－2)2＋(y－3)2＝12，∴圆心为C(2,3)，半径r＝1.∵切线PM与半径CM垂直(如图所示)，由|PM|=|PO|，得化简整理，得2x1+3y1=6，故满足|PM|=|PO|的P点轨迹是方程2x+3y-6=0表示的直线．∴|OP|的最小值为O点到此直线的距离，即从而解方程组即满足题设条件的P点为[领悟]解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题解决的学科，如在解题中常将交点问题转化为方程根的问题，将最值问题转化为函数问题解决．四、分类讨论思想分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面有：(1)过定点的直线的斜率是否存在问题．(2)与截距有关的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论．(3)直线与圆锥曲线的交点问题．(4)含参数的方程表示的曲线的讨论问题．(5)圆与圆的位置关系判断问题．(6)椭圆、双曲线、抛物线焦点位置与标准方程间关系的问题等等．【示例4】已知向量动点M到定直线y＝1的距离等于d，并且满足d2)，其中O为坐标原点，k为参数．(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数k的取值范围．=(2,0),=(0,1),[解](1)设M(x，y)，则由且O为原点，知A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)．从而2，y－1)，d＝|y－1|.代入得(1－k)x2＋2(k－1)x＋y2＝0为所求的轨迹方程．当k＝1时，得y＝0，轨迹为一条直线；当k≠1时，得(x－1)2＋若k＝0，则轨迹为圆；若k＞1，则轨迹为双曲线；若0＜k＜1或k＜0，则轨迹为椭圆．=(2,0),=(0,1),(,),(2,),(,1),OMxyAMxyCMxy(2)因为所以方程表示椭圆．对于方程(x－1)2＋①当0＜k＜1时，a2＝1，b2＝1－k，c2＝a2－b2＝1－(1－k)＝k，此时②当k＜0时，a2＝1－k，b2＝1，c2＝－k，所以所以2223211,,.3232cekea而≤≤所以≤k≤2111,.1.13122kkekk即≤≤所以≤k≤-[领悟]在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，满足不同的条件就得到不同的曲线(如本例(1))，另外在进行有关量的运算时，参数的符号往往决定着运算结果，在符号不明确时也要进行分类讨论．1．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线(a0，b0)的渐近线与拋物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()B.2解析：双曲线的渐近线方程为y＝与拋物线方程联立得x2±＋1＝0，Δ＝(±)2－4＝0⇒b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，e＝答案：C2．(2008·山东高考)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.＋(y－1)2＝1解析：法一：由题意知圆心坐标为(x0,1)，∴排除A、C.选项B中圆心(2,1)到直线4x－3y＝0的距离即d＝r成立．法二：由题意设圆心为(x0,1)，∵d＝r，＝1⇒x0＝2或x0＝－(舍去)．答案：B3．(2007·山东高考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为()解析：设则A又∵A在y2＝2px上，∴＝p2＋pt，解得t＝2p，t＝－(舍)，∴A答案：B,(,0),2pPAtFOA4．(2010·汕头模拟)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为()A．x2－y2＝2B．x2－y2＝C．x2－y2＝1D．x2－y2＝解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ0)，渐近线方程为y＝±x，焦点到直线的距离∴c＝2，∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.答案：A5．(2010·日照模拟)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：设圆心C(a,2－a)，则|AC|＝|BC|.∴(a－1)2＋(3－a)2＝(a＋1)2＋(1－a)2，∴a＝1，∴r＝2，C(1,1)．∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C6．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．解析：由题意得2a＝12，所以a＝6，c＝3，b＝3，故椭圆G的方程为=1.答案：7．(2010·珠海模拟)已知双曲线=1的离心率为则n＝________.解析：①若焦点在x轴上：a2＝n，b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝∴n＝4.②若焦点在y轴上，a2＝n－12，b2＝－n，∴c2＝a2＋b2＝－12不合题意．故n＝4.答案：48．(2009·安徽高考)已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)由得又由原点到直线y＝x＋2的距离等于圆的半径，得(2)法一：由c＝得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x.此轨迹是抛物线．2,3.ba法二：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.9．(2008·北京高考)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．解：(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由得x＝±1，所以|AB|＝又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以12222.xx12,2.2ABChSABh(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.由得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋640.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．则x1＋x2＝所以|AB|＝|x1－x2|＝又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.所以当m＝－1时，AC边最长(这时Δ＝－12＋640)，此时AB所在直线的方程为y＝x－1.10．(2010·南通模拟)已知椭圆x2＋＝1(0＜b＜1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过B、F、C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．(1)当m＋n＜0时，求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：直线AB与圆P不相切．解：(1)设F、B、C的坐标分别为F(-c,0)，B(0，b)，C(1,0)则FC、BC的中垂线分别为联立解之得：b-bc+b2-c＜0.即(1+b)(b-c)＜0.∴b＜c.∴b2＜c2，∴解之e的取值范围为(2)证明：假设相切，则B为切点，而kAB=b，kPB=由kAB·kBP=-1，则c2-2c=0.∴c=0或c=2与0＜c＜1矛盾．∴直线AB与圆P不能相切．