分期付款

数列应用退出进入储蓄、分期付款储蓄与人们的日常生活密切相关,它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义。计算储蓄所得利息的基本公式是：利息=本金×存期×利率根据国家规定,个人储蓄存款利息应依法纳税,计算公式为：应纳税额=利息全额×税率其中的税率为20%.个人储蓄实际所得为：本金+利息－应纳税额储蓄利率常识储蓄利率常有定期利率和活期利率定期利率又有年利率和月利率年利率又依各年期长短各有不同活期利率也即是日利率储蓄利率不是固定不变的，它会因遇到利率调整而有所变化。储户要随时注意利率调整情况。常见的几种储蓄方法一、整存整取定期储蓄二、活期储蓄三、分期储蓄四、复利计息储蓄一、整存整取定期储蓄这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金及其利息的一种储蓄。中国人民银行在某段时间内规定的这种储蓄的年利率如下.存期1年2年3年5年年利率(%)2.252.432.702.88例1、某人按整存整取定期储蓄方式存入银行5000元，存期3年。到期后可取出多少元?例1、某人按整存整取定期储蓄方式存入银行5000元，存期3年。到期后可取出多少元?解：3年到期时所得利息为5000×3×2.70%应纳税405×20%=81(元)5000+405－81=5324(元)实际取出=405(元)存期1年2年3年5年年利率(%)2.252.432.702.88二、活期储蓄这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计算利息时，每年按360天，每月按30天计算存期。例2、某人今年7月15日存入银行500元，同年8月25号全部取出，日利率为0.00275%，到期后可取出多少元?解：由于存期是40天，到期利息是500×40×0.00275%=0.55(元)应纳税0.55×20%=0.11(元)到期后可取出500+0.55－0.11=500.44(元)三、分期储蓄这是指一种分期存入一次取出的储蓄方式。例3、某人从一月起，每月第一天存入银行100元，到12月最后一天取出全部本金及其利息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱?一般地,设每期期初存入银行金额A,连存n次,每期的利率都是p,那么到第n期期末本金共有：______________nA由于每期利息=本金×期数×利率,那么各期的利息是期次期数利息12………n－1nnn－121ApnAp(n－1)Ap×2Ap×1成等差数列一般地,设每期期初存入银行金额A,连存n次,每期的利率都是p,那么到第n期期末本金共有：______________nA全部利息是：Sn=Ap+Ap×2+…+Ap(n－1)+Apn==Ap(1+2+…+n)n(n－1)Ap21一般地,设每期期初存入银行金额A,连存n次,每期的利率都是p,那么到第n期期末本金共有：______________nA全部利息是：Sn=n(n－1)Ap21________________21n(n－1)Ap×20%=101n(n－1)Ap应纳税：___________________________实际取出：nA+n(n－1)Ap－n(n－1)Ap2110152=A[n+n(n+1)p]________________即用分期储蓄方式存款,期满后实际取出公式为实际取出：当A=100n=12P=0.165%时1210.30（元）100(12+0.4×12×13×0.165%)=____________________an=A[n+0.4n(n+1)p]四、复利储蓄复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄。各期期利率如下表：(期利率=期数×年利率)存期1年2年3年5年年利率(%)2.252.432.702.88期利率(%)2.254.868.1014.40例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?分析一般：设本金为a元，相应的期利率为p，到期本利和为y，存期为n1期后本利和是：2期后本利和是：3期后本利和是：n期后本利和是：y1=a+a×p=a(1+p)y2=a(1+p)+a(1+p)py3=a(1+p)3yn=a(1+p)n=a(1+p)2……例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?全部利息是：a(1+p)n－ayn=a(1+p)n解：设本金为a元,相应的期利率为p,到期本利和为y,存期为n,n期后本利和是：应纳税：[a(1+p)n－a]×20%实际取出：a(1+p)n－[a(1+p)n－a]×20%=0.8a(1+p)n+0.2a例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?看看利率定期方式15年期数实际取出1年定期15期2年定期7.5期计息按7期算,最后一年按活期计息.不合算3年定期5期5年定期3期计算公式：an=0.8a(1+p)n+0.2a据上表可知，采用5年定期的存款方式最合算1975.452071.372096.631992.36思考1：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行100元，连存15年后取出。问：他能取出多少钱?(设1年定期年利率是2.25%)第1次存入到期后本利和是：第2次存入到期后本利和是：第3次存入到期后本利和是：第15次存入到期后本利和是：…………100×(1+2.25%)1100×(1+2.25%)13100×(1+2.25%)14100×(1+2.25%)1515年后本利和总共是：成等比数列应纳税：实际取出：100×1.0225×(1.022515－1)÷0.0225=1800.54（元）(1800.54－100×15)×20%=60.11（元）1800.54－60.11=1740.43（元）思考2答案每年至少要存进5746元思考2：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%)思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要连存多少年?思考3答案至少要连存17年退出返回例：顾客先不付款将5000元的商品买走,也就是先欠了商家5000元款,以后的分期付款也就是还款.所还款+利息=欠款+利息设顾客以后每期等额还款X元,采用方案1（分3期）付款是还款带利息共有123567910114812XXX还款X(1+0.8%)X(1+0.8%)2X(1+0.8%)3X(1+0.8%)4X(1+0.8%)X(1+0.8%)8X(1+0.8%)8…………生息X(1+0.8%)4X++分期付款问题顾客先不付款将5000元的商品买走,也就是先欠了商家5000元款,以后的分期付款也就是还款,故应有：所还款+利息=欠款+利息设顾客以后每期等额还款X元,采用方案1付款是还款带利息共有123567910114812XXX还款X(1+0.8%)X(1+0.8%)2X(1+0.8%)3X(1+0.8%)4X(1+0.8%)X(1+0.8%)8X(1+0.8%)8…………生息X(1+0.8%)4X5000×(1+0.8%)12++故有方程X(1+0.8%)8+X(1+0.8%)4+X=5000×(1+0.8)12解方程得:X=即每次付款元,3次共付款元类似采用方案2（分6期）付款有方程X(1+0.8%)10+X(1+0.8%)8+…+X(1+0.8%)2+X=5000×(1+0.8%)12解得X=，6次共付款元1775.81775.85327880.85285分期付款或贷款定期还款与复利储蓄的计算有着相同之处,这就是：复利储蓄在计算本利和时,与分期付款是结构一样的运算式)1(12nnrrrAS)11(rrAn)(12nnnrrrrAS)1(1rrrAn即或年头付款年尾付款其中r=1+p这都要用到数列的知识来解决问题建设银行开办有住房贷款业务，年利率是10%，按复利计息。青年教师王某从银行贷款购得一套10万元的住房，首付房款2万元，余下房款5年内付清。小王计划每年年底等额还钱，那么他每次需准备多少钱?若他每年年初还钱需准备多少钱?(结果保留到个位)练一练练一练练一练练一练练一练练一练练一练练一练练一练练一练每年底要还21104元每年初要还19186元