搜索
付息频率对债券价格、久期和到期收益率的影响管圣义杨艳摘要：债券的付息频率的变化对债券定价和收益率的具有不同的影响，这使得研究付息频率对债券定价和价格风险的研究变得十分必要，本文探讨了在其它条件可比的情况下，付息频率不同对债券价格、久期的影响，并介绍了将不同付息频率债券收益率转化成年实质收益率的方法。关键字：付息频率价格久期年实质收益率一、研究背景在上篇《债券定价中的息票效应》一文中，我们的研究小组分析了债券定价中的息票效应对债券定价的影响，本篇我们研究小组继续探讨另一个基础性问题，即债券付息频率对债券定价和收益率的影响。在很多读者看来，这是个简单的话题，但在实际接触中才发现，仍有很多人并不能完全理解，甚至在市场上部分债券分析的文献中也有提出了债券定价与付息频率没有关系的论述，本文的研究表明，债券的付息频率对债券的定价及其它相关指标的计算具有较大的影响作用，在实际报价成交中必须充分考虑到这一点。美国债券市场上，固定利率债券基本都是半年支付一次利息。同观中国的情况，2001年后我国招标发行的固定利率债券一年付息2次的情况开始增多，下表1显示了中国在2000年到2008年间发行的以付息频率统计的固定利率债券的情况：表1：2001年至2008年发行的付息债券的付息频率统计付息频率（次数/年）付息方式选择权类别12421总计发行人选择权014914投资人选择权04228附息式浮动利率无选择权8313488161发行人选择权0005555投资人选择权0054651附息式固定利率无选择权11665606688债券总数952110806977占比0.92%5.32%11.26%82.50%100.00%注：本表中不含零息、贴现和利随本清债券可以清楚地看到，977只固定利率债券中，付息频率为1年1次的债券占全部债券的82.50%，付息频率为1年2次的债券有110只，占全部债券的11.26%。下图为2001年到2008年发行的付息频率为1年2次的的付息式固定利率债券的数量图。从图中可以看出，虽然现在每年发行的付息频率为1年2次的固定利率债券的数量还不是很多，而且数量有升有降，但是从整体上看，半年付息债券的数量呈现上升趋势。2001年到2008年发行的半年付息债券的数量051015202001年2002年2003年2004年2005年2006年2007年2008年年份数量图1：2001年到2008年发行的半年付息一次的固定利率债券的发行数量我们有必要研究这种付息频率和息票1年1付这两种情况下，债券的价格和久期受到了什么影响。二、付息频率对债券的价格、到期收益率和久期影响的研究债券付息频率变化会导致债券现金流产生的时间变化，进一步根据不同时间的现金流得到的债券的到期收益率、价格和久期也会相应发生变化。（一）债券付息频率对债券价格和到期收益率的影响为了便于比较不同付息频率对债券价格的影响，我们以债券A和B作为分析对象。债券A和B的剩余代偿期都为10年，息票利率都为10%，债券A每年付息2次，债券B每年付息1次。为了便于分析，我们假设市场上6个月即期利率为2.5%，以后每半年的即期利率增加0.5%。此假设表明本文选取的收益率曲线为市场利率结构正常情况下的向右上方倾斜的常态，而收益率曲线向右下方倾斜、平行和更复杂的情况，暂不在本文中进行分析。按债券的即期市场利率计算的债券价格可表示为：1212///100...(1/)(1/)(1/)inncMicMicMiPyiyiyi*+=++++++公式（1）其中：i表示利息支付频率c表示债券的息票率M表示债券的面值yi表示i时期债券的即期收益率n表示债券的剩余代偿期P表示债券的价格则现在可以分析债券A和B的价格如下：表2债券A和B的价格比较期限债券A现金流债券B现金流即期收益率债券A现值债券B现值0.5年52.50%4.93827161.0年5103.00%4.85330879.70873791.5年53.50%4.74642642.0年5104.00%4.61922719.24556212.5年54.50%4.47356163.0年5105.00%4.31148438.6383763.5年55.50%4.13520644.0年5106.00%3.94704627.92093664.5年56.50%3.749385.0年5107.00%3.54459417.12986185.5年57.50%3.33503846.0年5108.00%3.12298526.30169636.5年58.50%2.9105917.0年5109.00%2.69986435.47034247.5年59.50%2.49263988.0年51010.00%2.29055764.66507388.5年510.50%2.09504929.0年51011.00%1.90732953.90924779.5年511.50%1.728394410.0年10511012.00%32.73949635.417056债券价格98.6404598.40689可以看到，尽管债券A和B的到期期限和息票率都相同，但是由于付息频率不同，导致债券的现金流产生的时间不同，用不同时间对应的即期收益率折现得到的债券价格就会产生差异。A债券一年付息两次，所以A的现金流产生的时间早于B债券产生的时间，早期的现金流对应更短的即期收益率，用更短的即期收益率折现得到的现值也就更大。最终，债券A的价格要稍大于债券B的价格。债券A和B的现金流分布如下图所示：债券A的现金流现值分布0.005.0010.0015.0020.0025.0030.0035.000.5年1.0年1.5年2.0年2.5年3.0年3.5年4.0年4.5年5.0年5.5年6.0年6.5年7.0年7.5年8.0年8.5年9.0年9.5年10.0年期限债券A现值图3债券A的现金流现值分布债券B的现金流现值分布0204060801001年2年3年4年5年6年7年8年9年10年年份债券B现值图4债券B的现金流现值分布进一步计算债券A和B的到期收益率，计算公式可以表示为：12///...(1/)(1/)(1/)incMicMicMiMPYTMiYTMiYTMi*+=++++++公式（2）其中：i表示利息支付频率c表示债券的息票率M表示债券的面值YTM表示债券的到期收益率n表示债券的剩余代偿期P表示债券的价格我们可以计算得到，债券A的到期收益率为10.22%，债券B的到期收益率为10.26%，可见付息频率与债券的到期收益率成反比，付息频率越高，债券的到期收益率更低。（二）债券付息频率对债券久期的影响为了衡量债券价格对利率的敏感性，我们引入了久期这个概念。分了分析的简便，我们在这里讨论债券的修正久期。久期的计算方式可以表示为：12*cM/icM/icM/i+10012...1(1/)(1/)(1/)MD(1/)(1/)innDYTMiYTMiYTMiiPVYTMiYTMi×+×++×+++=×=++公式（4）——其中D为债券的麦考拉久期，MD为修正久期根据久期计算的公式，我们得到：表3债券A和B的久期组成期限（年）债券A的现金流按YTM折现的现金流债券A的久期组成债券B的现金流按YTM折现的现金流债券B的久期组成0.554.7569160.024112154.525650.04588109.0692910.0921611.554.3056280.065475254.0963020.083055108.2252040.1671672.553.8971530.098772353.7076860.112764107.4596780.2274133.553.527430.125162453.3559380.136088106.7653990.2749974.553.1927830.145655553.037560.153971106.1357370.3117535.552.8898840.161134652.7493870.167237105.5646790.3392866.552.6157210.172365752.4885530.1766105.0467690.3589937.552.3675670.180015852.2524640.182681104.5770620.3720938.552.1429560.184662952.0387730.186019104.1510710.3796459.551.9396540.1868071010538.752453.92865711041.4124.208242总和20098.640456.5171120098.406896.73175麦考利久期6.517116.73175修正久期6.200276.10522从表中可以看到，债券A的麦考利久期为6.51711，债券B的麦考利久期为6.73175，债券A的麦考利久期要小于债券B的麦考利久期。因为付息债券在每个付息日都会产生利息支付现金流，所以固定利率债券的剩余代偿期并不是衡量债券到期的一个太好指标，而麦考拉久期就是付息债券到期日的一个较好替代。债券A的麦考利久期短于债券B的麦考利久期，这正说明了债券A现金流的加权平均期限短于债券B的加权平均期限这一特点。因为债券A和债券B在生命期内现金流的总数相等，都为200，但是债券A半年付息一次，所以债券A现金流产生的平均时间早于债券B的平均时间。但是考察债券A和债券B的修正久期，就会得出相反的结果。图中显示，债券A的修正久期为6.200269，债券B的修正久期为6.10522，债券A的修正久期要大于债券B的修正久期。修正久期是用来衡量债券价格对利率变动敏感性的一个指标，既然债券A的修正久期大于债券B的久期，我们似乎能得出结论：在其他情况相同的情况下，付息频率越高的债券，对利率变动越敏感。也就是债券的付息频率与债券的久期成正方向变动。为什么会出现这样的结果？先考虑麦考拉久期和修正久期的关系：(1/)DMDYTMi=+公式（5）债券的修正久期与麦考拉久期成正比，与债券的到期收益率成反比，与债券的付息频率成正比。如果两个债券到期收益率和麦考利久期都相等，那么付息频率高的债券的修正久期也更大。在息票率相等，剩余代偿期相等的情况下，我们已经计算得到，付息频率高的债券，价格更高，到期收益率更低，更低的收益率相对使得久期更大，加上付息频率导致的久期变大，这二者的力量对比超过了付息频率使得麦考拉久期变小的力量，最终使得高付息频率债券的修正久期更大。假设债券的的到期收益率下降，对应的各个时期的贴现率下降，那么各个时期现金流的现值会增加，使得债券的价格上升。付息频率更高的债券，现金流产生的时间更早，收益率下降导致的贴现因子的增加，会使得债券相比付息频率更低的债券的现金流现值增加得更快，结果，债券的价格也就上升得更多。三、不同付息方式的可比收益率计算前面两部分虽然分析总结了在同一市场上，剩余待偿期和息票率完全相同，仅付息频率不同的债券，因为付息频率的影响，而导致了债券价格、久期和名义到期收益率的不同。但是这些分析还不足以给我们一个完全可比的指标，这部分的分析，为如何对等地比较付息频率不同的同期债券的收益率提供了一个解决途径。我们知道，付息频率高于一年一付的债券的名义到期收益率可以计算为：12///...(1/)(1/)(1/)iniiCiCiCiMPYTMiYTMiYTMi×+=++++++i但是这样的名义到期收益率不能直接用来和一年付息一次的债券的到期收益率进行比较，所以接下来我们将债券的明名义到期收益率转化为与年付息债券收益率等价的实质收益率，这样，付息频率不同的债券的到期收益率就变得可比了。一年付息i次，按年复利的债券的实质收益率YTM可以表示如下：1/2////...(1)(1)(1)iiCiCiCiMPYTMYTMYTMn+=++++++公式（6）在这个公式中，我们计算得到的就是债券按年复利的实质收益率，它与我们按照债券市场上最常用的按年付息，按年复利得到的年到期收益率可以进行直接的比较。在第二部分，我们已