固定收益衍生产品定价模型;信息与计算科学

固定收益衍生品定价模型信息与计算科学专业章睿（069084102）指导教师：花春讲师摘要：固定收益衍生产品是这样一类衍生产品，它的价值依赖于固定收益资产，比如银行定期存单、债券等。常见的固定收益衍生产品有：远期利率协定、利率互换、利率期权等。作为金融衍生产品的一种，固定收益衍生产品联系着市场中的各个交易主体，风险和收益在此得到重组与分配。为了使交易过程公平合理，对衍生产品正确定价成为一个迫切的任务，过高或过低的定价必然导致大规模套利想象的发生，从而破坏市场秩序。本文主要针对利率衍生产品这一主要的固定收益衍生产品进行建模和定价。在无套利原则和风险中性定价原理的前提下，我们首先将利率的变化看成一个随机过程，并假设其满足伊藤随机微分方程。其后，分别利用二叉树模型和三叉树模型对利率的变化过程进行建模，并在此基础上对衍生产品进行倒向定价。接着将叉树模型推向连续，通过求解伊藤随机微分方程以及资产评估偏微分方程，利用概率统计的相关知识最终导出了连续模型下的解析解，即为衍生产品的理论价值。最后，本文对整个定价过程进行蒙特卡洛模拟，以验证定价结果的合理性。结果表明，几种定价方法得到的衍生品价值均收敛于一个相同的价格区间，而区间的长度小于实际要求的精度。从二叉树模型过渡到三叉树模型，进而到连续模型，这是一个由离散趋向连续的过程，结果的收敛速度也越来越快，而连续模型更是得到了一个解析解。然而，需要说明的是，对于有些衍生产品，比如美式期权，运用连续定价模型无法得到解析解，于是，只能够运用叉树模型进行离散化的数值逼近。而蒙特卡洛模拟通过计算机生成大量的随机数来穷举利率的变化路径从而得到衍生品价格，在资源和时间允许的前提下，也是一个理想的方法。关键词：衍生品定价；利率模型；二叉树；蒙特卡洛模拟Abstract：Fixed-incomederivativesissuchaclassofderivativeswhosevaluedependsonthefixed-incomeassetssuchasbankcertificatesofdeposit,bondsandsoon.Commonfixedincomederivativesare:forwardrateagreements,interestrateswaps,interestrateoptions.Asakindoffinancialderivatives,fixedincomederivativesconnecteachtransactionsubjectinthemarkettorecombineanddistributerisksandbenefits.Inordertomaketheprocessfairandreasonable,pricingderivativeproductscorrectlyhasbecameanurgenttask,toohighortoolowpricingwillinevitablyleadtolarge-scalearbitragephenomenon,whichwouldunderminethemarketorder.Thispaperfocusesoninterestratederivativeproducts,themajorfixed-incomederivatives,tobuiltourmodelstopricederivativeproducts.Withthepremiseofarbitrage-freeprincipleandtherisk-neutralprinciple,firstlywetreatinterestrates’changingasarandomprocess,andthenassumethisprocessmeettheItostochasticdifferentialequations.Subsequently,weuseabinarytreemodelandatripletreemodeltodescribethechangingprocessofinterestrates,andonthisbasis,completethebackwardpricingprocessofderivativeproducts.Thenwepushthetreemodeltocontinuousmodelandfinallyobtainananalyticalsolution,namely,thetheoreticalvalueofderivatives,bysolvingtheItostochasticdifferentialequationsandpartialdifferentialequationsofpropertyassessment,usingknowledgeofprobabilityandstatistics.Atlast,weintroducetheMonteCarlosimulationintotheentirepricingprocess,toverifythereasonablenessofthispricingresults.Resultsshowedthattheobtainedpriceusingdifferentmethodsmentionedaboveconvergetoasimilarpricerange,whiletheintervallengthislessthantheactualrequiredaccuracy.Thetransitionfromthebinomialmodeltothetripletreemodel,andthentothecontinuousmodel,thisisatrendfromdiscreteprocesstocontinuousprocess,withfasterconvergencespeed,andcontinuousmodelevengetsananalyticalsolution.However,whatshouldbeexplainedis,forsomederivatives,suchastheAmericanoptions,wecannotgetanalyticalsolutionfromcontinuouspricingmodel,therefore,usingdiscretetreemodelforthenumericalapproximationistheonlyway.TheMonteCarlosimulationusingcomputer-generatedrandomnumberstogetanexhaustivenumberofinterestratepathandobtainingderivativesprices,isalsoanidealway,withenoughtimeandresources.Keywords:pricingderivatives；interestratesmodel；binomialtree；MonteCarlosimulation1.绪论1.1引言所谓固定收益资产是指投资于银行定期存款、协议存款、国债、金融债、企业债、可转换债券、债券型基金等固定收益类资产，这类产品收益不高但比较稳定，风险也比较低。而金融衍生产品，是指其价值依赖于基础资产(underlyings)价值变动的合约(contracts)，常见的金融衍生产品如互换、远期、期货、期权等。金融衍生产品的作用有规避风险，价格发现，它是对冲资产风险的好方法。但是,任何事情有好的一面也有坏的一面，衍生产品的高杠杆性将巨大的风险转移给了愿意承担的人手中，这类交易者称为投机者(speculator)，而规避风险的一方称为套期保值者(hedger)，另外一类交易者被称为套利者(arbitrager)，这三类交易者共同维护了金融衍生产品市场功能的发挥。所谓固定收益衍生产品是这样一类衍生产品，它的价值依赖于固定收益资产，比如银行定期存单、债券等。常见的固定收益衍生产品有：远期利率协定、利率互换、利率期权等。市场行情变幻莫测，通过衍生品市场，投机者期望得到价差利润，套期保值者希望转移风险，而套利者企图发现市场漏洞赚取无风险利润，总之，风险和收益在这里得到重组与分配。于是，一个更为迫切的任务摆在眼前，即如何给衍生产品定价？过高或者过低的定价必然导致套利现象的发生，一部分交易者获利的同时也必然导致另一部分交易者的亏损。由于金融衍生品具有高杠杆性，较少的投资可能导致巨额的亏损，甚至破产，巴林银行的倒闭就是最好的例证。由于固定收益衍生产品种类繁多，难以面面俱到，本文主要针对利率衍生产品这一主要的固定收益衍生产品进行建模，研究其定价方法，而其它的衍生产品可以按照相同的方法进行定价。1.2本文的简述与框架结构本文致力于解决固定收益衍生产品的定价问题，主要针对欧式利率期权这一衍生产品进行定价，而其它利率衍生产品的定价可以依照本文提出的方法进行类推。利率是金融市场上最重要的价格变量之一，它直接决定了相关金融产品的定价和利率风险的管理。对利率衍生产品定价分为两个步骤：第一，对利率期限结构进行建模，以刻画和描述利率的运动规律；第二，在利率建模的基础上进行期权定价。本文首先叙述了建模过程中所遵循的两个基本原则，即无套利原则和风险中性定价原则，并假设利率的变化遵循伊藤过程。在这样的前提下，构建两种类型的二叉树，即价格对称树和概率对称树，利用这两种二叉树模型来刻画未来利率的可能状态，并在此基础上使用倒推的方法对期权进行定价。同时，本文选取Vasicek模型作为伊藤过程的函数形式，并利用美国2005-2006年一年期掉期利率市场数据对其标定，求出模型参数值，为定价模型的计算做好准备。计算结果表明，期权的价格随着二叉树深度的增大而逐渐收敛于一个较小的价格区间，而区间的长度小到可以忽略不计。其后，本文对二叉树模型做了进一步的深度探讨：首先，在二叉树模型的基础上，叙述三叉树利率模型的构建并定价，结果是，基于三叉树模型的期权价格收敛于一个与二叉树模型相同的区间，并且具有更好的收敛速度，显示了三叉树模型的优越之处。进而，我们将整个定价过程推向连续，以零息债券的资产评估模型为桥梁导出了利率期权的定价公式，这也正是叉树期权定价模型下期权价格趋向的极限值。虽然导出了利率期权价格的解析公式，但这并不意味着叉树模型被淘汰。原因在于，对于许多期权，如美式期权，没有办法得到期权价格的解析解，所以只能应用叉树模型这一数值计算方法进行定价。最后，本文对定价过程进行MonteCarlo模拟，设定一个初始精度，得到的结果与模型计算结果相符，验证了前文所述定价模型的合理性和可靠性。此外，由于本文主要针对欧式利率看涨期权进行定价，为了文章的完整性，在文末还叙述了针对其它衍生产品包括美式期权的定价方式，从而完成了整篇论文的写作。本文主要由四个部分组成：第一部分介绍预备知识，包括无套利定价及风险中性的假设条件，以及相关的数理知识预备；第二部分介绍基于二叉树模型的期权定价，包括利率二叉树模型的建立以及在此基础上的利率期权的倒向定价；第三部分是对二叉树模型的进一步探讨和延伸，从二叉树扩展至三叉树最后推向连续构建连续定价模型，主要包括三叉树利率模型的构建及期权定价、连续定价模型和MonteCarlo模拟。第四部分介绍了其它利率衍生产品的定价方法。2.预备知识2.1无套利定价和风险中性概率金融市场上实施套利行为非常的方便和快速，这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中，因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是无风险套利定价原理或者简称为无套利定价原理。我们假设有两种可交易资产，一种是无风险资产，一种是风险证券。无风险资产指银行存款、政府或金融机构债券。风险证券