2011-10-171第三章投资收益分析收益(yield)——投资者在一定的时间内将一定的资本进行投资活动所取得的收入收益的衡量——考虑投资价值的变化量北京大学金融数学系第3章1收益的衡量考虑投资价值的变化量在银行储蓄、债券、股票、基金的投资、以及项目投资等方面都会涉及收益的衡量§3.1基本投资分析投资活动昀简单的情形只有两个个体,如:投资基投资和融资活动是金融活动中两个主要的部分,从基本现金流的角度看有很多一致的地方,而投资活动往往更直观和线条清晰。北京大学金融数学系第3章2投资活动昀简单的情形只有两个个体,如:投资基金(fund)的投资者(investor)与基金本身。同样的一次现金流发生,对双方来说流量相同,但流向相反,如:申购(赎回),对投资者来说资金向外流出(向内流入),而对投资基金来说资金则向内流入(向外流出)贴现现金流分析(DiscountedCashFlows,DCF)对于同一笔业务,在同一时刻,因为所处角度的不同而得到的两个数值相同、符号相反的量C(contribution)北京大学金融数学系第3章3如果0C,表示投资者有一笔净流出(投资基金有一笔净流入)如果0C,则表示投资者有一笔净流入(投资基金有一笔净流出)R(return)如果0R,则表示投资者有一笔净流出(投资基金有一笔净流入)如果0R,则表示投资者有一笔净流入(投资基金有一笔净流出)北京大学金融数学系第3章4在投资期间的任何时刻t,均有关系ttRC=−2011-10-172例某项目在第三年底收入为50000元,同时支出为100000元,则有350000C=3350000RC=−=−北京大学金融数学系第3章5思考如果有一组现金流tC(或tR),如何评估项目收益的好坏?DCF方法(DiscountedCashFlow,现金流贴现)按一定的利率计算某一时期内现金流动的现值,进而计算投资收益的方法。对任意一组分别于时刻0,1,…,n发生的“收益”现金流0R,1R,2R,…,R,以某年利率北京大学金融数学系第3章6益现金流0R,1R,2R,,nR,以某年利率i计算该投资回报流在投资之初的净现值(NPV/NetPresentValue)()Pi,即:0()nttPivR=∑这里的tR可以取正值,也可以取负值若上述现金流不考虑当前投入,即00R=,则从投资方来看,()Pi则为不同收益水平下该投资项目的价格,即以年利率i计算的当前的投入。注连续方式下若现金流率为0Rt≤≤则北京大学金融数学系第3章7注连续方式下,若现金流率为,0tRtn≤≤,则净现值为0()nttPivRdt=∫例考虑一个10年的投资项目:第一年初投资者投入10000元,第二年初投入5000元,然后,每年初只需维护费用1000元。该项目期望从第六年底开始有收益:昀初为8000元,然后每年增加1000元。北京大学金融数学系第3章8用DCF方法讨论该项目的投资价值。2011-10-173时刻t投入收益tCtR开始t=010000010000-10000第1年底t=1500005000-5000解:用DCF方法的语言表述从投资方看该项目的现金流如下表所示:北京大学金融数学系第3章9第2年底t=2100001000-1000第3年底t=3100001000-1000第4年底t=4100001000-1000第5年底t=5100001000-1000时刻t投入收益tCtR第6年底t=610008000-70007000第7年底t=710009000-80008000第8年底t=8100010000-90009000第9年底t=9100011000-1000010000北京大学金融数学系第3章10第10年底t=10012000-1200012000总计2300050000-2700027000该项目前10年的NPV为2345678910()1000(1057891012)Pivvvvvvvvvv=−−−−−−+++++其中1(1)i−+北京大学金融数学系第3章11其中1(1)vi=+净现值()Pi为利率i的函数(也可以看作是贴现因子v的10次多项式)净现值()Pi为利率i的函数的相应图形净现值作为利率i的函数15000200002500030000值北京大学金融数学系第3章12-10000-5000050001000000.050.10.150.20.25利率净现值2011-10-174收益率(yieldrate)在项目的“收益”现金流中,若利率i使得()0Pi=,则称i为收益率当收入资金的现值与投入资金的现值相等时,北京大学金融数学系第3章13所对应的利率称为收益率。这种临界利率也称作内部收益率(internalrateofreturn,IRR)内部收益率直观地评价了在投资期限内的可能的年平均收益水平。例只有一期投资的内部收益率即为通常计算的收益率。解:设年初的投资为R0(0),年底的收益为R1(0),内部收益率为i,则有北京大学金融数学系第3章14101(1)0RRi−++=由此可得101000()()RRRRiRR+−−==−−例计算前述例子中的项目前n年的内部收益率,其中n分别取8,9,10。解:利用Excel进行计算,结果为前8年IRR=4.56%北京大学金融数学系第3章15前9年IRR=9.52%前10年IRR=12.96%注投资期限对内部收益率有很大的影响时刻投入收益CR前8期调整后R前9期调整后R010000010000-10000-10000-100001500005000-5000-5000-50002100001000-1000-1000-10003100001000-1000-1000-10004100001000-1000-1000-10005100001000-1000-1000-1000610008000-7000700070007000710009000-8000800080008000北京大学金融数学系第3章168100010000-900090001000090009100011000-10000100001100010012000-1200012000总计2300050000-2700027000前n期内部收益率净现值84.56%0.0099.52%0.001012.96%0.002011-10-175例(再投资问题)考虑两种可选择的投资项目:A)投资5年,每年的利率为9%B)投资10年,每年的利率为8%如果两种投资的收益无差异,计算项目A在北京大学金融数学系第3章175年后将资金用于了年利率为多少的投资?解:设所求利率为i,则应有5510(10.09)(1)(10.08)i++=+由此解得i=7.01%当项目A在5年后的再投资收益率等于7.01%时,项目A与项目B在10年内的投资收益都是8%北京大学金融数学系第3章18项目A与项目B在10年内的投资收益都是8%如果项目A在5年后的再投资收益率大于7.01%,则项目A优于项目B如果项目A在5年后的再投资收益率小于7.01%,则项目A比项目B的收益差收益率的存在性和唯一性思考对于一组确定的现金流,内部收益率是否总是存在且唯一的?北京大学金融数学系第3章19这个问题比较复杂,内部收益率既可以不存在,也可以是存在但不唯一。例已知0100R=−,1230R=,2133R=−,求该现金流的内部收益率。解:由2()1002301330Pivv=−+−=可得北京大学金融数学系第3章20可得2(1)2.3(1)1.330ii+−++=该方程无实数解(22.341.330.030−×=−),从而无法求得内部收益率。2011-10-176例已知0100R=−,1230R=,2132R=−,求该现金流的内部收益率。解:由2()1002301320Pivv=−+−=北京大学金融数学系第3章21可得2(1)2.3(1)1.320ii+−++=(22.341.320.010−×=)由此可解得10%以及20%两种收益率。思考现金流0100R=−,1230R=,2132R=−具有10%以及20%两种内部收益率?若收益率为10%,则100元在第一年底的价值为110元,“取出”230元,实际透支120元,透支部分以收益率10%计算,在第二年底的价值恰好为元北京大学金融数学系第3章22好为132元。若收益率为20%,则100元在第一年底的价值为120元,“取出”230元,实际透支110元,透支部分以收益率20%计算,在第二年底的价值恰好为132元。Descarte符号法则设f(x)为n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0则f(x)=0的正根数至多为系数an、an-1、…、a1、a0中非零系数的符号改变的次数;f(x)=0的负根的次北京大学金融数学系第3章23数至多为f(-x)的系数的符号改变的次数。根据Descarte符号法则,收益率的个数昀多为现金流量改变方向的次数。当项目中所有的现金流动只改变一次方向,即:存在0kn,使得当0,1,...,tk=时,有0tR≤当1,2,...,tkkn=++时,有0tR≥北京大学金融数学系第3章24则内部收益率是唯一的2011-10-177未结投资价值(outstandingbalance)投资收益分析可以在投资期间的各个时刻进行在投资中间的每个时刻既有已发生的现金流,也有未发生的现金流北京大学金融数学系第3章25tB——时刻(0)ttn≤≤的未结投资价值未结投资价值也可以由递推的方法逐步计算:0B=0C以及1(1)tttBBiC−=++1tn≤≤计算投资价值的两种方法:回溯法以及预期法方法一:回溯法(retrospective)(1)(1)ttrtstsBiCiR−−=+=−+∑∑当所取利率i为内部收益率时,两种计算方法等价,都表示投资在时刻t的价值:北京大学金融数学系第3章2600(1)(1)(0,1,2,,)tssssBiCiRtn===+=+=∑∑…方法二:预期法(prospective)11(0,1,2,,)nnpststtssststBvCvRtn−−=+=+=−==∑∑…从投资者看,tB0表示负债,tB0表示盈利。投资项目的内部收益率可以看成是使现金流的终值(投资结束时的未结投资价值)为零的收益率,即使得0nB=的解,该收益率使投资在第n个时刻恰好达到收支平衡北京大学金融数学系第3章27刻恰好达到收支平衡。应用tB来判断收益率的唯一性如果对所有0,1,...,1tn=−,有0tB,0nB=,则内部收益率i(11i−)是唯一的。分析:假设存在两个内部收益率i和j,且ij北京大学金融数学系第3章28设i和j在时刻t对应的未结投资余额分别为tB和'tB,0,1,...,tn=,则有'0B=0B=0C2011-10-17810101011(1)(1)(1)BBjCBjCBiCB′′=++=++++=对于一般的(2)kkn≤≤,由11kkBB−−′可得:11(1)(1)kkkkkBBjCBjC−−′′=++++北京大学金融数学系第3章291(1)kkkBiCB−++=从而昀终将有0nnBB′=显然,这与i和j都是内部收益率矛盾。思考利用内部收益率总可以描述投资的收益吗?例甲以年利率10%从乙处融资1万元,期限一年;同时,甲将这笔资金投资于年利率12%的项目。问:在这个投融资项目中甲的收益率为多少?解:对甲来说,有:北京大学金融数学系第3章30010000100000B=−=1100001.10100001.12200C=×−×=−10(1)2000200Bi=×+−=−从而不存在i,使10B=,即:对于任何的收益率i都不能使甲在投资结束时的未结余额为零。分析:甲在没有净投入的条件下却有净收入200元,没有一个收益率可以反应这一点。另外,甲的投资效果虽然已经非常好了,但甲也可能做的更好,比如,如果甲能够以年利率15%投资则甲的利润为500元同样地也没有北京大学金融数学系第3章31投资,则甲的利润为500元。同样地,也没有一个收益率可以表