收益率曲线拟合技术(1)

收益率曲线拟合技术收益率曲线参数模型的一般方法一、符号定义：远期利率与即期利率关系如果假设当前市场远期利率可用某种参数函数表达,如f(t,T,b),则即期利率可以表达为s(t,T,b)，贴现函数同样也可以表达为B(t,T,b)(,)()()(,)()(,)(,,)(,)(,)lim(,,)(,)()(,)(,),(,)TTstTTtxtTtstTtstftTTstTftTftTstTTttftTdxstTBtTeTt收益率曲线参数模型的一般方法一、符号定义贴现函数表示在时间T支付的现金流在时间t的贴现系数其中，为函数的参数向量债券理论价格表示债券j的理论价格表示该债券现金流向量(,,)BtTbbˆ(,,)jjtTTPFBtTbTFjtPˆjTF收益率曲线参数模型的一般方法二、一般方法假设我们可以获得一组现金流向量已知，无违约风险，在时间t的市场价格为的债券同时，我们构造假想的函数形式（样条法中，即为分段的样条函数）求使最小我们表示为由此向量，我们即可得知从而得出瞬时远期利率期限结构jtP(,,)BtTb*ˆb2)ˆ(jtjtPPargˆ*b2)ˆ(minjtjtPPb*ˆbjTF(,,)BtTb收益率曲线参数模型步骤（1）确定约束条件对贴现函数有始终成立上式作为目标函数的约束条件(,,)BtTb(,,)1Bttb收益率曲线参数模型步骤（2）：确定误差债券的理论价格与实际价格对于债券j，有对于满足1、2、方差3、协方差ttPPˆ},...,1{)',(njj0)(jE22var()jj0),cov('jj)'(jj收益率曲线参数模型步骤（2）：确定误差残差的方差-协方差矩阵为（与广义最小二乘法对应）简化方法为假设各种债券的方差相等，即权重2122222...n21j显然，到期期限长的债券估价较难，因此，权重应考虑期限因素Vasicek和Fong的方法即其中，和分别表示债券j在时间t的到期收益率和久期2j22222(1())1/()()()jjtjjjjtrtdPdrtDtP1()()jjjjtrtDtP)(trj)(tDj收益率曲线参数模型步骤（2)：确定误差权重收益率曲线参数模型步骤（2）：目标函数及其优化令为我们要估计的贴现函数系数向量为无约束条件下的的估计值为约束条件下的估计值由目标函数及约束条件我们即可用广义最小二乘法求得参数的解析解。但一般Matlab软件可以通过迭代优化完成这个过程。bbˆb*ˆbbnjjtjtPP12)ˆ(minb(,,)1Bttb贴现函数即期利率12(,;,,...,)iBtTbbb1/12(,)(,;,,...,)sistTBtTbbb债券现金流矩阵mnmCFCFCFCFCFn,1,2,12,11,1....................................21债券债券债券),...,,(ˆ21*ibbbb参数向量nniniiPPPPPPbbbbbbbbb......),...,,(ˆ...),...,,(ˆ),...,,(ˆ212121212211由贴现函数导出定价误差*21ˆmin(())niiiPPB目标函数重复优化过程约束条件(,)1Btt)(1)(trPtDjjtjj残差方差权重优化过程——获得最优的参数向量Nelson-Siegel-Svenson模型11211210123120123112()111()TTMTTMTTMtTTMTTMTTMTTMtSvensonTTMTTMfTTMeeeeeesTTMeTTMTTMTTMbbbbbbbb模型的瞬间远期利率积分后我们得到即期利率的参数模型：2TTMe多项式样条函数（一）我们一般使用三阶的多项式样条函数形式且为上述多项式样条函数连续可导，须满足其中是函数的第i阶导数(i=0,1,2)3222221031211153020000)()()()(sasbscdsBsasbscdsBsasbscdsBsB其中5,0s其中其中10,5s20,10s1)0()10()10()5()5(0)(10)(5)(5)(0BBBBBiiii)()(xBi)(xB多项式样条函数（二）满足以上条件，约掉部分参数，样条函数形式为3233133020010313302005302000)10(])10()5[(])5([1)()5(])5([1)(1)()(sassassasbscsBsassasbscsBsasbscsBsB其中5,0s其中其中10,5s20,10s指数样条函数（一）一般应用三阶的指数形式样条函数，形式如下上式中，u的经济含义为起息日为未来无限远时的瞬间远期利率亦即usususususususususeaebecdsBeaebecdsBeaebecdsBsB3222221031211153020000)()()()(其中其中其中5,0s10,5s20,10slim(0,,)tTTuftT指数样条函数（二）应用指数样条函数的最优决策过程（广义最小二乘无解析解，必须通过迭代优化）1、将参数向量固定在一个合理的初值上2、以来计算3、运用牛顿迭代法取完所有的值来对进行最优化，求出其最小二乘估计量),0(f*ˆb),0(f*ˆb样条分段数的最优取值样条分段数越大，曲线拟合度越高，但平滑值越差样条分段数越小，则曲线越平滑，但拟合度差样条分段数确定方法一：样条分段数=参考债券集合包含的债券数n的平方根样条分段数确定方法二：Priaulet的平均差距直观法，标准差表示的误差=0.15%样条分界点的最优选择原则：分界点选择应能够反映出市场的自然形成的，针对不同期限债券的分隔特征例：Priaulet（1997）对法国债券市场分割的四个样条短期债券样条（1天~~1年）中期债券样条（1年~~7年）长期债券样条（7年~~10年）超长期债券样条（10年~~30年）目标函数的确定一般形式f为由（三阶）样条函数得出的远期瞬时利率构成的收益率曲线niiifPP12*))(ˆ(min目标函数的修正扩展的形式：为避免收益率曲线摆动而加入惩罚函数，目标函数为其中，为惩罚函数常量在Fisher的方法中，其中，N为集合中的债券数量，为理论价格和实际价格的残差方差，为有效参数的数目，为参数调整的成本，在Fisher的方法中一般取为2kdssffPPniii02''12*)]([))(ˆ(minarg2))(()(minepNRSS)(RSS)(ep