一九八八年数学一试题

一九八八年数学一试题一、（本题满分15分，每小题5分）（1）求幂级数1nnn3n)3x(的收敛域.（2）已知2xe)x(f,x1)]x([f且)x(≥0，求)x(，并写出它的定义域.（3）设S为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分S333dxdyzdzdxydydzxI.二、填空题（本题满分12分，每小题3分）（1）若tx2x)x11(tlim)t(f，则)t(f=.（2）设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间（-1，1）上的定义为,1x0,x,0x1,2)x(f3则f(x)的付立叶（Fourier）级数在x=1处收敛于.（3）设f(x)是连续函数，且1x03xdt)t(f，则f(7)=.（4）设4×4矩阵A=（α，γ2，γ3，γ4），B=（β，γ2，γ3，γ4），其中α，β，γ2，γ3，γ4均为4列维向量，且已知行列式│A│=4，│B│=1，则行列式│A+B│=.三、选择题（本题满分15分，每小题3分）（1）若函数y=f(x)有21)x(f0，则当Δx→0时，该函数在x=x0处的微分dy是（A）与Δx等价的无穷小.（B）与Δx同阶的无穷小.（C）比Δx低阶的无穷小.（D）比Δx高阶的无穷小.答：（）（2）设y=f(x)是方程0y4y2y的一个解，若f(x0)＞0，且0)x(f0，则函数f(x)在点x0(A)取得极大值.(B)取得极小值(C)某个领域内单调增加(D)某个领域内单调减少答：（）（3）设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0,y≥0,z≥0，则（A）.xdv4xdv21（B）.ydv4ydv21（C）.zdv4zdv21（D）.xyzdv4xyzdv21（4）若1nnn)1x(a在x=-1处收敛，则此级数在x=2处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定答：（）（5）n维向量组α1，α2，…αs(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是（A）存在一组不全为0的数k1,k2,…,ks,使α1k1+α2k2+…+αsks≠0.（B）α1，α2，…αs中任意两个向量都线性无关.（C）α1，α2，…αs中存在一个向量，它不能用其作向量线性表出.（D）α1，α2，…αs中任意一个向量都不能用其作向量线性表出.答：（）四、（本题满分6分）设)xy(xg)yx(yfu.其中函数f,g具有二阶连续导数，求yxuyxux222.五、（本题满分8分）设函数y=y(x)满足微分方程xe2y2y3y，且其图形在点（0，1）处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x).六、（本题满分9分）设位于点（0，1）的质点A对质点M的引力大小为2rk（k＞0为常数，r为质点A与M之间的距离），质点M沿曲线2xx2y自B（2，0）运动到O（0，0），求在此运动过程中质点A地质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知AP=PB，其中100000001B，100110221P，求A及A5.八、（本题满分8分）已知矩阵x10100002A与1000y0002B相似，（1）求x与y；（2）求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在（a,b）内有0)x(f.证明：在(a,b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=a所围平面图形S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题（本题满分6分，每小题2分）（1）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为.（2）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为.（3）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知x2udue21)x(2，Φ（2.5）=0.9938，则X落在区间（9.95,10.05）内的概率为.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为)x1(1)x(f2x，求随机变量Y=1-3X的概率密度函数fY(y).一九八八年试卷二一、（同试卷一第一题）二、（同试卷一第二题）三、（同试卷一第三题）四、（本题满分18分，每小题6分）（1）（同试卷一第四题）（2）计算422x21xxdyy2xsindxdyy2xsindx.（3）求椭球面x2+2y2+3z2=21上某点M处的切平面π的方程，使平面π过已知直线21x213y26x:L.五、（同试卷一第五题）六、（同试卷一第六题）七、（同试卷一第七题）八、（同试卷一第八题）九、（同试卷一第九题）一九八八年试卷四一、（本题满分12分）在下列各题中将答案填入横线上方空白处（每空1分）（一）已知函数x0t21x,dte)x(f2,（1）)x(f=；（2）f(x)的单调性：；（3）f(x)的奇偶性：；（4）f(x)的图形的拐点：；（5）f(x)图形的凹凸性：，；（6）f(x)图形的水平渐近线：.（二）1110110110110111=.（三）10001001001001000=.（四）假设P（A）=0.4，P（A∪B）=0.7.那么（1）若A与B互不相容，则P（B）=；（2）若A与B相互独立，则P（B）=.二、（本题满分10分）判断下列各命题是否正确：（1）若极限)x(flim0xx与)x(g)x(flim0xx都存在，则极限)x(glim0xx必存在.（2）若x0是函数f(x)的极值点，则必有0)x(f0.（）（3）等式a0a0dx)xa(fdx)x(f对任何实数a都成立.（）（4）若A和B都是n阶非零方阵，且AB=0，则A的秩必小于n.（）（5）若事件A，B，C满足等式A∪C=B∪C，则A=B.（）三、（本题满分16分，每小题4分）：（1）求极限xlnx1xlimx1x.（2）已知u+eu=xy，求yxu2.（3）求定积分30.)x1(xdx（4）求二重积分2020.dxxxcosdy四、（本题满分6分，每小题3分）（1）讨论级数1n)1n(n)!1n(的敛散性.（2）已知级数1n2na和1n2nb都收敛，试证明级数2n1n2nba绝对收敛,五、（本题满分8分）已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：,bp)p(SS,pa)p(DD2其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程)]p(S)p(D[kdtdp（k为正的常数）假设当t=0时价格为1，试求（1）需求量等于供给亘时的均衡价格pe；（2）价格函数p(t)；（3）极限).t(plimt六、（本题满分8分）在曲线y=x2(x≥0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为1/12.试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.七、（本题满分8分）已给线性方程组.kx12x10x5x,3x15xkxx3,3xx6x3x,1x3x2xx243214312143214321问k1和k2各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在方程组有无穷多组解的情形下，试求出一般解.八、（本题满分7分）已知向量组α1，α2，…αs，(s≥2)线性无关.设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1.九、（本题满分6分）设A是三阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式21A.求行列式*1A2)A3(的值.十、（本题满分7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只列次品的概率相应为0.8,0.1和0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，确定没有残次品的概率β.十一、（本题满分6分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值[附表]设Φ(x)是标准正态分布函数.x00.51.01.52.02.53.0Φ(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999十二、（本题满分6分）假设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2x的概率密度f(y).一九八八年试卷五一、（同试卷四第一题）二、（同试卷四第二题）三、（本题满分16分，每小题4分）（1）求极限.x2tg)x1(lim21x（2）（同试卷四第三、（2）题）（3）（同试卷四第三、（2）题）（4）（同试卷四第三、（2）题）四、（本题满分6分）确定常数a和b，使函数,1x,x,1x,bax)x(f2处处可导.五、（同试卷三第五题）六、（同试卷四第六题）七、（同试卷四第七题）八、（本题满分6分）已知n阶方阵A满足矩阵方程A2-3A-2E=O，其中A给定，而E是单位矩阵.证明A可逆，并求了其逆矩阵A-1.九、（同试卷四第八题）十、（同试卷四第十题）十一、（本题满分7分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布、数学期望和方差.十二、（同试卷四第十二题）