关于彩票投资的最优化设想

关于彩票投资的最优化设想目录摘要............................................................................................2课题的提出和现实意义：........................................................3正文............................................................................................5影响彩票中奖几率的因素的讨论...........................................................................................5投资方式以及成本运转的问题.............................................................................................11关于组选和直选方式结合.....................................................................................................16重复投资多次的盈亏问题.....................................................................................................19结论..........................................................................................23附录A(论文涉及的基本概念性词汇的定义).........................24附录B(数据).............................................................................25附录C（程序源代码）............................................................321摘要排列三，是一种每次开奖开出3个数码（即0~9之间的整数）的彩票，其开奖结果可以看做一个3位数。本探究是利用计算机程序模拟彩票的开奖，生成不同投资方法的相关数据，通过对数据的收集和分析，得出昀优化投资方法。探究表明，遵循某种规则，将排列三直选和组选6的购买方法结合起来进行投资，是昀优化的投资方法。关键词：排列三、彩票投资方法、昀优化。2课题的提出和现实意义：彩票是近、现代人们在日常生活中接触和参与得比较多的一种金融投资方式。作为投资者，理所当然地希望自己能从中获利。通常情况下，只购买一期彩票是会导致亏损的，我们的课题就是通过列举、分析并比较几种投资彩票的方案，给出一个风险较小而获利机会大的昀优化投资方案。排列三每次开奖开出3个数码（即0~9之间的整数），其开奖结果可以看做一个3位数。其中，可购买的彩票又细分为3种：1)直选，1注2元，包含一个有效号码，必须是与开奖的三位数完全相同才算中奖，中奖金额1000元；2)组选3，1注2元，形如ABB的号码可以购买组选3，其有效号码包括了ABB，BAB，BBA，即三个中间任意一个开出都算中奖，中奖金额320元；3)组选6，1注2元，形如ABC的号码可以购买组选6，其有效号码包括了ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，即6个号码中任意一个开出都算中奖，金额为160元。也就是说，一注彩票具有本身的类别（指直选，组选3和组选6），而只能在上述对应范围内中奖（这也是在后期选择组直选结合的原因）。而且，一般为了方便，有时会将组选3和组选6一并称为组选，比如和值14组选。一般地，彩票可以分为两种，一种是满组注数相对较小的，像排列3的满组注数只有1000注；另一种则是满组注数相对较大的，比如36选7的满组注数有58433760（=36×C635）（基本号码6个，特别号码1个，各个开奖号码不相同），这样也使得投资出现了难度。通常地，购买彩票有两种方式，一种是购买冷号、热号；另一种是按照总号码个数的一个恒定的比例进行投资。本课题使用排列3作为研究范本的原因如下：1）我们认为“每期彩票的中奖概率只与投资的总期数有关，而与具体的哪几期无关”（证明过程参见正文第一部分）。因此，彩民们所说的冷号热号其实并不会增大中奖的几率（其中奖几率和其它号码一样，但是它在一定程度上能满足彩民的投资心理）。在任何情况下，3单期中奖的理论概率都不受外界条件影响，其原因是开奖时各个号码的出现机会具有均等性。故在满组注数较大的模式下投资彩票的中奖几率依然是比较低的。2）如果使用按照总号码个数的一个恒定的比例进行投资的方式，那么显然满组注数较小的彩票的投资成本较小，方便投资。3）排列3的使用的是每日开奖的模式，而别的彩票的开奖周期一般较长，从投资周期长度的角度看，排列3的投资周期相对较短。4）这种规则在彩票界的使用相对普遍，很多国家都有类似规则的彩票。综上所述，我们选择排列3作为我们投资的彩票。4正文影响彩票中奖几率的因素的讨论按照某恒定的比例买彩票，实际上是依靠着一组号码在某个范围之内至少出现1次的概率会随着范围的增大而增大。f(x)=1-(1-1n)x中，n为大于1的常数，则()1,0)11(∈−n，x0，则可知g(x)=(1-1n)x为减函数，则f(x)=1-(1-1n)x为增函数。同样相对的，在相同期数内，f(x)=1-(1-1n)x是一个减函数，随着标准周期值的增大（理论概率值的减小），相同期数内至少中一次奖的概率会逐步减小。而为了达到一定的几率，投资者在选择彩票的过程中必将购买与满组注数成一定比例的个数的号码。那么相对的，在期望几率相同的情况下，满组注数较大的彩票的投资成本就会相对较高。在f(n)=1-(1-1n)x和f(x)=1-(1-1n)x之间，一个是增函数，另一个是减函数，那么f(x)=1-(1-1x)x应该是什么呢？式子的意义上来看，f(x)=1-(1-1x)x表示的是一组号码在自身的标准周期内至少出现一次的概率大小。而经证明，其为减函数，那也就说明了所选组的出现概率越低时，其在自身标准周期内至少出现一次的概率也就越低，从而体现出一种不确定性的扩大。证明过程：方法一：由于定义域为正整数，所以要证明11()(1)()xxxfxxx−=−=为增函数，只需证明f(x+1)f(x)即可。f(x+1)f(x)111xxxxxx+−⎛⎞⎛⇔⎜⎟⎜+⎝⎠⎝⎞⎟⎠112(1)(1)xxxxxx++⇔−+()()2211x1xxxx+⇔−+()()2211xx1xxxx+⇔−+⋅⋅x5()()2221x2xxxxx+⇔−+()()()()2222221)1112xxxxxxxxx+−⇔−−−+L14444244443个(而我们知道，对于正整数xi,有：123123()nnnxxxxxxxxn++++≤LL（当且仅当nxxxx====L321）所以：()()()()222221)111xxxxxxx−−−−+L14444244443个(12222(1)1xxxxxxxx++⎡⎤−++≤=⎢⎥+⎣⎦又则1xxxx+≠−221()()()()222221)111xxxxxxx−−−−+L14444244443个(12222(1)1xxxxxxxx++⎡⎤−++=⎢⎥+⎣⎦结论得证。方法二：记xxxgy)11()(−==)11ln(lnxxy−=对x求导得：)]'11[ln()11ln(''1xxxxyy−+−=⋅其中xxxxxxx−=⋅−=−⋅−=−2211111)'11(111)]'11[ln(xxxxyy−+−=⋅2)11ln('1))11(ln('2xxxxyy−+−⋅=]11)11[ln()11(−+−−=xxxx显然，当时1x01101−⇒−xx且0)11(,0)11ln(01111−−⇒−⇒xxxxx故当时，1x0]11)11[ln()11()('−+−−=xxxxgx此时0)(')('−=xgxf所以，当时f(x)为减函数。1x6故得证。接下来要证明的是彩票投资的中奖率只与投资期数和彩票本身开奖的理论概率有关。换言之，即为中奖概率应为理论概率，而理论概率只和彩票本身的属性有关系。首先，我们通过编写程序模拟实验的方法来进行验证，通过从10000个数里面分别用3种方法选取1000个号码，然后观察其中出现和值14的概率值，通过大量的重复试验来证明本猜想。程序1，流程图如下，由于空间关系，我们不得不将一些步骤合并，其中的一些算法也省略了过程而只写出了结果。其中，a(i)是昀大样本数组，RA,RB,RC分别是记录三种方式分别获得的所有号码，而SUM的相对应的变量分别记录了这3仲方法中目标的个数。三种方法分别是：1)随机开头，在a中连续取1000个数；2)随机间隔，随机开头，按照相应的间隔取1000个数；3)随机选取1000个下标（不重复，通过打勾算法）选取下标对应的数。7这个从理论概率上面可以证明,具体过程如下：证法一：按照购买与满组注数成一定比例的号码个数的方式连续投资，不妨设单次投资中奖的理论概率为1x（x1）。由于每一次的开奖都是一次独立的概率事件，与前面的开奖情况无关，则每一期开奖的概率都是1x，故假设在未知开奖的投资情况下，于是有：到第n次为止没有一次开出期望号码（组）的几率为nx)11(−；相对的，至少有一次开出期望号码的几率为])11(1[nx−−。而由于x可以看作是常数，那么函数nxnf)11(1)(−−=便是一个增函数。而相对的，f(n)便只与n的大小有关,而此时，n是购买彩票的总期数，而不是期数的编号,所以，可以得出结论，购买彩票中奖率与购买的总期数有关，与具体的某一期无关.以下是第二种方法：首先说明一下项目内容以及目的：背景：假设现在有一个目标，其理论概率为1x，而我们随机选择了t次进行观察。第一步：求在t次中，目标出现且仅出现n次的概率的大小。根据试验，猜想公式应为：[][)ZtntxtnCxxanttntn∈≥∞∈∈⋅−=−+,,1,,1,,0,)1()(1其中an是用于存放各种情况的数列（数组），由于下标不能为0，所以我们将下标依次向后移了一位，这样便有了一个有限数列，通项公式如上，下标上界为1，下界为(t+1)。关于式子正确性的证明过程如下：首先，对单次进行分析，不妨设p=1x在每一次中，出现目标的概率为p，则目标不出现的概率为(1-p)；其次，如果将每次抽取的内容标上号，那么由于每一次的都存在出现目标与非目标两种情况，其中，由于t次都是各不相同的独立事件，便可以使用组合来分析，在一共的2^t种情况中，目标恰好出现n次的机会应为Cnt；昀后，由于每次出现的几率为p，而没出现的几率为(1-p)。则恰好出现目标的几率相当于出现目标的总几率（pn）乘以没出现目标的总几率（(1-p)t-n），再乘以情况次数(Cnt),那么，8在t次中出现目标出现且仅出现n次的概率便为所求。另外，通过查阅资料，我们发现从伯努利试验得出的结论中有一个和我们的课题有点关联，在这里说一下。先说明伯努利试验要求的三个条件：1.每次试验有两种可能结果。（这里分别用S和F表示两种结果）2.每次试验结果都是相互独立的。3.在每次实验中，结果为S（或F）的概率相同。（这里用p表示每次试验中S出现的概率，则出现F的概率为1-p）在连续n次伯努利试验中，恰好出现r次S的概率是，以上是伯努利试验中的一个小结论。证明如下：)()1(rnrrnppC−−⋅⋅首先，考虑恰好有r次出现S中，每次S出现的不同情况组合共有种。(例如，要在5次试验中恰好出现2次S，则结果有SSFFF，SFSFF，SFF