风险和收益的衡量

第一章风险和收益的衡量第一节基础知识•数学期望•方差•标准差•协方差•相关系数定义1设X是离散型随机变量，它的概率分布是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.1)(kkkpxXE1||kkkpx如果有限,定义X的数学期望数学期望E=10.4+20.1+30解：.5=2.1E10120630322....多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2乙的技术较好。4甲乙两射手在一次射击中得分为甲123P0.40.10.5乙123P0.10.60.3比较甲、乙两例射手的技术。例1X甲X乙E（X甲）E（X乙）产品的产值是一个随解：机变量，E60.75.40.150.140.0600.045.48故一批产品有一、二、三等品，等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产品的平均产值。654540P070101006004......例2XXE（X）数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);niiniiXEXE11)(][:推广niiniiXEXE11)(][:推广注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果dxxfx)(||有限,定义X的数学期望为dxxfxXE)()(也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.连续型随机变量的数学期望仅用数学期望反映事物特征行吗？某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？a乙仪器测量结果a甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心方差采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}∞，则称Var(X)=E{[X-E(X)]2}(1)为X的方差.注：也可以记作D(X)若X的取值比较分散，则方差较大.若方差Var(X)=0,则r.v.X以概率1取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=E[X-E(X)]2X为离散型，P{X=xk}=pk由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.,)()]([,)]([)(212dxxfXExpXExXVarkkkX为连续型，X~f(x)两批零件的长度有如下的分布188599510P0202020202.......2858899295P0202020202.........222122D89028590299029590210902().(.).().(.).().2D0116.E(ξ1)=9E(ξ2)=9=0.5第二批零件更好。EE40解：两种方案的预期收益相同22D0400610040042400().().22D2004006400400486400().().第二种方案风险更大5一项投资的收益与两种方案有关，其收益的分布分别为0100-200400P0.60.4P0.60.4例比较两种方案。方差的一个简化公式Var(X)=E(X2)-[E(X)]2展开证：Var(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质123456111111P6866666D已求例知7已求出E解=：22222222111111E12345666666611671366916故方差为291735D6212方差的性质(1)D(c)=0D(c)=E(c-Ec)22DcD()()2DcEcEc()(())2EcEc()2EE()23DccD()()2DcEcEc()(())2EccE()22EcE(())22cEE()D标准差在实际问题中，由于数据单位的要求。一般用：σ=Var(X)衡量离散程度称之为标准差或根方差协方差协方差衡量两个随机变量如何共同变化，即它们之间的互动性。协方差可为正值、负值或零。正的协方差表明，当一个随机变量出现大于平均值的值时，另一个随机变量的值也会大于均值。负的协方差正相反，一个出现大于均值的值，与之相反，另一个则会出现小于均值的值。协方差为零，表明把两者的结果简单配对并不能揭示出什么固定模式。协方差任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),定义为⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)简单性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即协方差计算（离散型）1)]()][([]}E(Y)-E(X)][Y-XE{[),(kkkkpYEyXExYXCOV协方差习题经济形势繁荣正常萧条概率1/41/21/4甲公司股价1051乙公司股价654E（P甲）=0.25×10+0.5×5+0.25×1=5.25E（P乙）=0.25×6+0.5×5+0.25×4=5Cov(R甲,R乙)=0.25×(10-5.25)(6-5）+0.5×(5-5.25)(5-5)+0.25×(1-5.25)(4-5)=2.25协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.相关系数为随机变量X和Y的相关系数.定义:设Var(X)0,Var(Y)0,)()(),(YVarXVarYXCovXY在不致引起混淆时，记为.XY关于XY的符号:XY≦1.当XY0,称X与Y为正相关.当XY=0,称X与Y不相关当XY0,称X与Y为负相关当XY=1,称X与Y完全正相关当XY=-1,称X与Y完全负相关正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势.负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.接上例Var（P甲）=0.25×（10-5.25）2+0.5×（5-5.25）2+0.25×（1-5.25）2=10.19σ甲=3.19Var（P乙）=0.25×（6-5）2+0.5×（5-5）2+0.25×（1-5）2=0.5σ乙=0.71XY=2.25÷（3.19×0.71）=0.997单一资产的风险与收益的衡量历史收益与风险预期未来收益与风险收益率的计算波音公司股票1983年12月31日和1984年12月31日的价格分别是29.13美元和37.75美元，1984年该股票每股股息是0.93美元。32.8%29.130.9329.1337.75r19841ti,it1ti,ititPDPPr第i种资产第t期的收益率预期收益可能的经济情况概率投资收益率（%）Psir1r2r3利率高经济衰退0.20-18-13-4经济衰退利率下降0.251616-2利率高，经济高速增长0.30123221经济高速增长，利率下降0.20401220Sn1siSiPr)E(r预期收益率（%）1141410风险金融学上的风险表示收益的不确定性。（注意：风险与损失的意义不同）。由统计学上知道，所谓不确定就是偏离正常值（均值）的程度，那么，方差（标准差）是最好的工具。预期风险S2in1SiS2iiP)]rE([rσ)VAR(rS2in1SiSiP)]rE([rσ投资品种1230.03760.02450.013650.119390.15650.1168iσ2iσ年份股票收益率（%）12319931011-6199484181995-4-34199622-2-51997814321998-11-9-7199914152420001213-172001-9-32200212427n1titini2i1irn1)rr(rn1r6.20%4.40%7.20%ir历史平均收益率iini2i1ir)]rr(rn1E[)rE(不是无偏估计历史风险2in1tit2i]r[rn1σˆ2i2in1tit2iσ]r[rn1σE(n1n}{E)ˆ2iσˆ2iσ风险衡量2in1tit2i]r[r1n1σ2in1iti]r[rσt1n1投资品种1230.011440.0072490.02837310.7%8.51%16.84%σ2iσ资产组合收益和风险的计算两种证券的组合年份多雨年份少雨年份牛市熊市概率0.40.30.3冷饮公司收益率r110%-4%20%伞公司收益率r230%12%-20%国库券r33%3%3%老王的组合50%冷饮50%伞50%伞50%国库券E(r1）=8.8%б(r1）=9.35%E(r2）=9.6%б(r2）=20.78%E(r国库券）=3%б(r国库券）=050%伞、50%冷饮组合收益E(rp)=50%×8.8%+50%×9.6%=9.2%)r(Ew)r(Ew)rwrw(E)r(E22112211p1ww212P2P2PP2p)]r(E[)r(E)]r(Er[E50%伞、50%冷饮组合风险)rr(Eww2)r(Ew)r(Ew)rrww2rwrw(E)rw(E)r(E212122222121212122222121221iii2P)r(E)r(Eww2)]r(E[w)]r(E[w)]r(Ew)r(Ew[)]r(E[212122222121222112P122121222221212121222221212P2P2PP2pww2ww)r,rcov(ww2ww)]r(E[)r(E)]r(Er[E50%伞、50%冷饮组合风险50%伞、50%冷饮组合风险Cov(r1,r2)=-0.00989%96.8%803.0)00989.0(5.05.02%)78.20(5.0%)35.9(5.0p22222p50%伞、50%国库券组合E(rp)=50%×9.6+50%×3%=6.3%%39.10%08.1%)78.20(5.0p222p各种组合比较资产组合期望收益（%）标准差（%）100%伞公司100%冷饮伞与国库券伞与冷饮9.68.86.39.220.789.3510.398.96N种资产的预期收益n1iiinn2211p)r(Ew)r(Ew)r(Ew)r(Ew)r(E1wn1ii其中N种资产的风险n222i11,1,1nnnpiiijijijijijijij