投资学因子模型和套利定价理论

投资学第八讲因子模型和套利定价理论组合选择理论的一个缺陷马科维茨的PortfolioSelection理论说明了如何在给定风险水平下获得最大的资产组合收益。但是在有效边界的确立上，需要做大量的变量估计，对计算能力的要求非常高。假定分析人员需要分析n种股票，则按照均值－方差模型的要求需要估计：–n个期望收益–n个方差–(n2-n)/2个协方差–若n＝50，总共为1325个若n＝100，总共为5150个若n＝3000，总共要估计超过450万个变量8.1因子模型（Factormodel）定义：因子模型是假设资产的收益是由某个收益生成过程所决定的（而不是根据Markowitz方法），而这个生成过程则可以通过某个收益率统计公式线性地表述出来。依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。8.1.1单因子模型若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。–假设：–（1）证券的回报率主要取决于该指数的变化；–（2）除此以外的因素是公司特有风险：残余风险–例如，GDP增长率是影响证券回报率的主要因素。因子模型回归年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.714.326.419.238.923.448.015.655.19.262.913.04%trtGDPI613.0%r63.2%e62.9%GDPI图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为4%2tGDPttrIe通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间t的任何证券i有时间序列其中：–rit在时期t证券i的回报–ai零因子–ft是t时期公共因子的取值–bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子载荷（factorloading）–eit在时期t证券i的特有回报itiititrabfe（8.1）如果只考虑在某个特定的时间的因子模型，可以省掉角标t，从而（8.1）式变为并且假设(1)cov(,)0ief(2)cov(,)0ijee[]0iEeiiiirabfe（8.2）假设(1)：因子f具体取什么值对e没有影响，即因子f与e是独立的，这样保证了因子f是回报率的惟一因素。假设(2)：一种证券的e对其余任何证券的e没有影响，两种证券之所以相关，仅是由于它们具有共同因子f所致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值）为其回报率的方差2222iifeib因子风险非因子风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为2cov(,)cov(,)ijijiiijjjijfrrabfeabfebbiiirabf（8.3）用因子模型简化组合选择过程单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差，一个因子f方差，共3n＋1个估计值若n＝50，之前1325个，现在151若n＝100，之前5150个，现在301若n＝3000，之前450万＋，现在90012ei2f一个特殊的因子模型证券收益可以用预期到的收益和未预期到的收益两个部分来解释，构成了iiiirrbfe1()itiErr未预期到的因子变化包含已知信息的预期回报f是证券i的因子变化，它是不可预测的。若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法预测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向——公平赌局（Fairgame）价格（收益）的不可预测，本质上是信息的不可预测。1()0ttEf单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产收益简单地认为仅与一个因子相关。因而难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。–例：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。8.1.2多因子模型双因素、三因素与五因素模型双因素模型：经济周期[GDP]和利率[IR]是两个最重要的系统因素.三因素模型：FamaandFrench除市场收益外,考察了公司规模大小[SIZE]、托宾Q值比[HML]这两个因素.五因素模型：把宏观经济因素分解为：行业生产变动百分比[IP]、预期通胀变动百分比[EI]、非预期通胀变动百分比[UI]、长期公司债券对长期政府债券的超额收益[CG]、长期政府债券对短期国库券的超额收益[GB].两因子模型若只考虑一期的模型，则可以省略表示时间的下标，从而两因子模型方程为1122iiiiirabfbfe[]0,cov(,)0iijEeee其中，12cov(,)0,cov(,)0iiefef在两因子模型下，对于证券i，其收益率的均值1122iiiirabfbf其收益率的方差122222221212122cov(,)iififiieibbbbff对于证券i和j，其协方差为11221122cov(,)cov(,)ijijiiiijjjjrrabfbfeabfbfe22111222122112()cov(,)ijfijfijijbbbbbbbbff证券i对因子1的敏感度多因子模型对于n种证券相关的m（mn)个因子，证券i的收益可以表示为1miiijjijrabfe[]0,cov(,)0cov(,)0,iijikEeefeeik1,...,1,...,injm其中，CAPM：市场均衡条件下的最优投资组合理论APT：无套利均衡下因子模型8.2套利定价理论（APT）套利（Arbitrage）是利用证券定价之间的不一致，同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而在不承担风险的情况下锁定一个正收益。三要点：-零投入-无风险-正收益.套利机会套利机会-如果可以持有自融资的投资组合并获得确定的正收益arisesifaninvestorcanconstructazeroinvestmentportfoliowithasureprofit.如果市场是有效的,套利机会将立即消失.因为任何投资者,不考虑风险厌恶与财富状况,均愿意尽可能多地拥有套利组合的头寸,大量头寸的存在将导致价格上涨或下跌直至套利机会完全消除.两种套利方法：–当前时刻净支出为0，将来获得正收入（收入净现值为正）–当前时刻一系列能带来正收入的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为0）。假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则有套利机会。套利过程是：1.交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）2.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。3.按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。4.1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还半年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。这是哪一种套利？套利不仅仅局限于同一种资产（组合），对于整个资本市场，还应该包括那些“相似”资产（组合）构成的近似套利机会。无套利原则（Non-arbitrageprinciple)：根据一价定律，两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。8.2.1APT的基本假设1、市场是充分竞争的、无摩擦的（Perfectlycompetitiveandfrictionlesscapitalmarkets）；2、投资者是非满足的：只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。－不必对投资者风险偏好作假设3、资产的回报可以用因子模型表示。APT的基本原理：由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性（b）的资产（或组合）应提供相同的期望收益率。iirabf8.2.2构建套利组合Arbitrageportfolio1、零投资：套利组合中购买证券的资金由卖出别的证券来提供，即自融资（Self-financing）。2、无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为0。3、正收益：套利组合的期望收益大于零。用数学表示就是111000niiniiiniiiwwbwr11121()([]=()=()()nniiiiiniiiiiniiiiDwrDwDwbfDfwrbfbe11()0,0nniiiiiiDwrwb若要则要WellDiversifiedPortfolio2222pppfebRecallthereturnonaportfolio111nnnPiiiiiiPPPiiirwawbfweabferemainscanapproach0withdiversificationRiskassociatedwithfissystematicornon-diversifiableRiskassociatedwiththeei’sisdiversifiable.Wesaythataportfolioiswelldiversifiedif20,0pePeTheEffectofDiversificationAssume22var()iiees(i.e.allerrorshavethesamevar)1iwnLet22211nissnn22211var()var()pinnepiiieiiewewTheerrorisreducedbyafactorofn.Asn0peLet’stakealookattheerrorterm1npiiiewe8.2.3套利定价模型假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风险利率借入1元钱；（2）1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。00()(1)()1[()][()]piijjijjijjrwrbfwrbfwrrrwbbbf0ij，设无风险利率为两个资产是资产和资产，在因子模型的假定下，套利组合的收益为（忽略残差）若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0jpijbwrbb时,无风险根据条件（2），()0ijjwbbb当，即0()0,jpijjijbrrrrbb=001jiijrrbb01iirb一般形式的证明见附录APT的意义01iirb若bi＝0，则上式退化为无风险资产，则意味着01fifirrrb若bi≠0，则期望回报随着的增加而增大ibir风险因子载荷1,1,...,ifirrbin在单因子条件下，有12112,....,ffnfnrrrrrrbbbAPT1对于所有风险资产则有由此可见，方程的实际上风是因子1的险价格。APT的意义01iribhrlrhlhlbb若给定等投资额的证券h多头和证券l空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定价线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只要证券偏离APT定价线就会有套利机会。APT定价线8.2.4APT的另一种表达11ppfbprr在单因子模型下，考虑一个使的资产组合，即，则有,()mifmfirrrrrb特别地，当即纯因子组合为市场组合时有1pfrr101,()pfiiffirrrbrrb令即风险价格,则则称该组合p为纯因子组合(类似于CAPM的市场组合)在两因子模型下，我们有1122ifiirrbb11121,,0iipbb且其若期存在纯因子组合，使得望收益为则11ifrr11f