投资组合理论2

第5章不确定性条件下的均值—方差分析（投资组合选择理论）处理不确定性的三种数学方法预期效用函数分析基于偏好假定，非常完美但要刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎不可能均值—方差分析：投资组合理论尽管不能完全刻画个体的偏好（某些条件下可以）避免讨论具体的效用函数，灵活方便，可以检验套利分析：APT基于均值—方差分析和市场均衡理论，做了更多假定简化计算，使用方便，可以检验方法论的里程碑马科维茨(H.Markowitz,1927～)《证券组合选择理论》有着棕黄色头发，高大身材，总是以温和眼神凝视他人，说话细声细语并露出浅笑。瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马科维茨（HarryMarkowitz）教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱工作—资产组合选择理论。发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variancemethodology.这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础；这一理论通常被认为是现代金融学的发端。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大突破。主要贡献西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、职业化阶段和科学化阶段。1952年，HarryMarkowitz发表的“投资组合选择”作为投资学或金融经济学产生的标志。1963年，WillianSharpe提出了单指数模型。1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分别独立地提出了资本资产定价模型（CAPM）。1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的期权定价模型即Black-Scholes公式。1976年，Ross提出了套利定价理论(APT)。证券投资理论的发展投资组合理论的基本思想投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”实现方法收益——证券组合的期望报酬风险——证券组合的方差风险和收益的权衡——求解二次规划马科维茨投资组合理论的假设1.单期投资：是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础。2.正态分布：投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。3.二次效应函数：投资者的效用函数是二次的，即u(W)=a+bW+CW2。（注意：假设2和3成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数）4.期望收益率和方差。衡量投资者以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。5.占优法则：投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。一、一些基本定义回报率r定义为：r=（X1-X0）/X0显然R=1+r假设你在时间0以价格X0购买一种资产，一年后你卖出这种资产，得到收益X1。你面对的不确定性，或者说风险，体现为收益X1的不确定性。你的投资的总回报R定义为R=X1/X0由于期末的收益是不确定的，所以总回报R、回报率r均为随机变量。价格与回报率之间是一一决定的关系。字母（或者字母上加一波浪线）表示随机变量，字母上加一横线表示期望值；例如，R（或者）表示随机总回报，而表示期望总回报。当我们投资在不只一种资产上时，需要考虑证券组合的回报率，假设有n种可得的不同资产，我们把初始财富X0分成n份，投资到这n种资产上，设Xi0为投资在第i种资产上的财富，；如果以比例表示，则为，为投资在第i种资产上的财富的份额，，以Ri、ri分别表示第i种资产的总回报、回报率，那么到期末，由i产生的收益为RiXi0或。R~RniiXX10000XXiii11nii0XRii该证券组合的总收益为，因此，该证券组合的总回报为它的回报率为niiiXR10niiiniiiRXXRR1010niiirr1假设投资者投资的时间为一期，投资的初始财富W0为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%、24.6%和22.8%。这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元[因为（46.48-40）/40=16.2%]、43.61元[因为（43.61-35）/35=24.6%]和76.14元[因为（76.14-62）/62=22.8%]。证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相同的结果。（1）证券和证券组合的值证券名称在证券组合中的股数每股的初始市场价格总投资在证券组合的初始市场价值中的份额A10040元4000元4000/17200=0.2325B20035元7000元7000/17200=0.4070C10062元6200元6200/17200=0.3605证券组合的初始市场价值W0=17200元总的份额=1.0000（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率证券名称在证券组合中的股数每股的期末预期价值总的期末预期价值A10046.48元46.48元*100=4648元B20043.61元43.61元*200=8722元C10076.14元76.14元*100=7614元证券组合的期末预期价值=20984元证券组合的期望回报率=（20984元-17200元）/17200元=22.00%1Wpr（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率证券名称在证券组合初始价值中的份额证券的期望回报率在证券组合的期望回报率中所起的作用A0.232516.2%0.2325*16.2%=3.77%B0.407024.6%0.4070*24.6%=10.01%C0.360522.8%0.3605*22.8%=8.22%证券组合的期望回报率==22.00%pr无摩擦市场基本假设：在一个非常理想的证券市场中，没有交易成本、税收、也可以以无风险利率无限制借、贷，证券的份数是无限可分的。我们把这种市场称为无摩擦市场。二、期望效用分析与均值－方差分析的关系一般来说，资产回报的均值和方差并不能完全包含个体做选择时所需要的全部信息但在一定条件下，个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产回报的均值和方差的函数，从而投资者投资者可以只把均值和方差作为选择的目标条件为：预期效用函数为二次效用函数或者资产回报服从正态分布假设个体的初始财富为W0，个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富带来的期望效用。设个体的Von-Neumann-Morgenstern效用函数为u，在期末财富的期望值这一点，对效用函数进行Taylor展开：][)~(])~[(''21])~[()]~([32REWWEuWEuWuEnnnWEWEWEunRE3)(3])~[~(])~[(!1][假设上述Taylor展开式收敛且期望运算和求和运算可以交换顺序，则个体的期望效用函数可以表示成：上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与方差，还依赖于财富的高阶矩。但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。''2()311[()]()()()()()2!nnnEuWuEWuEWWuEWmWn定理4.1如果u是一个整解析函数，则（a）对任意分布的期末财富，存在函数使得当且仅当这里，为常数W(,):vRRR[()][(),()]EuWvEWVarW2()uWabWcW,,abc（b）对任意偏好函数u，如果期末财富服从正态分布，则存在函数，使得W(,):vRRR[()][(),()]EuWvEWVarW下面的定理证明了：当预期效用函数为二次函数或者资产回报服从正态分布时，均值—方差与预期效用函数等价，可以完全刻画投资者的偏好特征。•定理1如果则期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数定理2如果期望财富服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富的期望和方差的函数。2~~)~(WcWbaWu为偶数为奇数jWVarjjjWEWEj2/12/12)]~([)!2(!0]]~[~[二次效用函数的假设和正态分布的假设不符合实际的消费者投资情况因为二次函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个性质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投资者不符。此外，正态分布的中心轴对称与一般股票的有限责任不一致。注：均值-方差模型不是一个资产选择的一般性模型。它在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。重要的性质定理4.2当资产的回报率r服从以为均值、以为标准差的正态分布时，风险厌恶者的回报与风险之间的替代率是正的，无差异曲线是凸的，并且越是位于西北方向的无差异曲线，其效用越高。证明过程：见P75-77（先证明的是边际替代率为正，然后是无差异曲线是凸的）投资者的偏好及其无差异曲线4.3投资组合收益和风险的度量设一项投资组合含有n项风险资产，令：ir~:风险资产i的随机收益率；ir：风险资产i的期望收益率，；]~[irEni,,2,1ir~ij：风险资产i和j的收益间的相关系数；ij：风险资产i和j的收益间的协方差；则有)]~)(~[(jjiiijrrrrEjiijij即jiijij：的方差；从“历史”样本估计收益和风险11221,...,11()1nnttnttrrrrnrrnpr：投资组合收益的期望值；]~[prE2p：投资组合收益的方差。ix：投资组合中风险资产i所占的百分比；pr~：投资组合的随机收益率；iniipxrr1~~iniipxrr1nininjjiijnjijjijipxxxx1111211niix00011nniiiiWxWW相关系数与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系数。事实上，两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。证券A与B的相关系数为BAABABσσσρ测量两种股票收益共同变动的趋势:Corr(RA,RB)或A,B-1.0+1.0完全正相关:+1.0完全负相关:-1.0完全负相关会使风险消失完全正相关不会减少风险在-1.0和+1.0之间的相关性可减少风险但不是全部若n=2时，21)1(rxxrrp212222122)1(2)1(xxxxp若再假定其中一项如第２项是无风险资产，则有0,22frr11),(xrrxrrpffp从上式解得pffpffprrrrrrrrx111如果现在市场的无风险利率是6％，资产1的预期收益率是14％，标准差是20％。现在我们希望组合的预期收益率是11％，则组合的构成和风险将是多少？%5.12%20%5.62%5.62%6%14%6%1111xrrrrxffp例子4.0%18c%21cr%16b%15br假设我们要构造一个能源投资的Ace组合,我们选择了雪佛龙德士古(ChevronTexaco)石油公司和巴罗德(Ballard)燃料电池公司.由于燃料电池提供