新-基本不等式的证明

基本不等式的证明无锡辅仁高中魏民问题情境1对任意实数x、y，有恒成立，即.探究：1.分别用代替上面不等式中的x、y，会得到什么式子？2.对上述实数a、b，须有何限制条件？20xy,ab222xyxy3.上述不等关系中，何时取到“=”？2abab0,0abab当且仅当时问题情境2如图,AB为半圆的直径,C为圆周上一动点,H为垂足.设AH=a,HB=b,半弦CH不大于半径COOHBCACHAB把称为a,b的算术平均数，把称为a,b的几何平均数.2abab探究：1．试指出图中哪些线段的长度分别等于a,b的算术平均数和几何平均数？2．能否比较出两者的大小关系？,2abCOCHab2abab2ababab（二）发现基本不等式数：形：半弦不大于半径2abab20ab（三）构建基本不等式如果，那么（当且仅当a=b时取“=”）.2abab这个不等式称为基本不等式.0,0ab刚才，我们从数和形两个角度找到也证明了基本不等式.那么,这个基本不等式还有其他哪些证明方法呢?（四）基本不等式的证明（比较法）证明不等式本质上就是比较大小，那么比较大小最常用的方法是什么呢？．比较法，作差(或作商)（三）基本不等式的证明（比较法）说明：比较法证明不等式的步骤：⑴作差（或作商），⑵变形：通分、因式分解、配方等，⑶判断差式的符号，⑷结论.．2abab22122abab21()2ab2abab(当且仅当a=b时取“=”).0基本不等式的证明（分析法）2736求证:刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的，确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的．例如,请看基本不等式的证明（分析法）2abab22abab2242abaabb2202aabb要证，只要证，只要证，只要证，因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,20ab只要证.当且仅当a=b时取“=”.基本不等式的证明（分析法）2abab2abab02aabb20ab要证,只要证,只要证,只要证.因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,当且仅当a=b时取“=”.基本不等式的证明（分析法）条件难入手结论显然成立结论变形再变简单点再简单点再变273614182abab20ab基本不等式的证明（分析法）条件难入手结论不过，有的同学觉得还是习惯于传统的从已知条件出发推导出要证的结论.基本不等式的证明（综合法）20,ab20,abab2,abab2abab(当且仅当a=b时取“=”).证明：综合法：从已知或事实出发，根据不等式的性质推导出要证的不等式.基本不等式的证明（综合法）分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，易于发现思路.综合法的优点是易于表述，条理清楚，形式简洁.证明不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程．（五）基本不等式的简单应用如果，那么（当且仅当a=b时取“=”）.2abab这个不等式称为基本不等式.0,0ab基本不等式的变式：2abab0,0ab（五）基本不等式的简单应用例证明下列不等式（1）(a0)；12aa思考1：第（1）题若将a0改为a0，要证的不等式有何变化？如何证明？（五）基本不等式的简单应用结论：(a0)；12aa12aa(a0).（五）基本不等式的简单应用例证明下列不等式（2）(a1).131aa思考2：第（2）题若将a1改为a≠1，求的取值范围.11aa课堂小结在应用基本不等式时，要注意哪些问题?不等式的证明有哪几种常用的方法呢？基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0，及当且仅当a=b时等号成立．比较法，分析法，综合法．2abab课后作业课题：多角度探究基本不等式课后请大家按照教学案提供的材料从代数、几何、三角、向量等方面多角度探究基本不等式.