泰勒公式及其在在计算方法中的应用

指导老师：王振辉学生：陈琳琳泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.§2泰勒（Taylor）公式定理1设函数()fx在点0x处的某邻域内具有1n阶导数,则对该邻域内异于0x的任意点x,在0x与x之间至少存在一点,使得：20000000()()()()()()()()()2!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRx……+n!(1)其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn（2）指导老师：王振辉学生：陈琳琳公式（1）称为()fx按0()xx的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式,()nRx的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2若函数()fx在点0x存在直至n阶导数,则有200000000()()()()()()()()(())2!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxoxx……+n!(3)公式(3)称为()fx按0()xx的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式,形如0(())noxx的余项称为佩亚诺型余项.特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x,则在0与x之间,因此可令(01),x从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式:112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nnnnfffxfxffxxxxn……+n!(01)（4）在公式(3)中,如果取00x,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：2(0)(0)()(0)(0)()2!nnnfffxffxxxox……+n!(5)§3泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道fx在x0x处n阶可导，就存在x=0x带佩亚诺余项的n阶泰勒公式。（1）直接求法：通过求0()fx0()fx……()0()nfx而求得;指导老师：王振辉学生：陈琳琳例如求：,sin,cos,ln(1),(1)xaexxxx等（2）间接求法：利用已知的泰勒公式，通过一些运算求得。基本根据：泰勒公式的唯一性。设()fx在x0x处的n阶可导，且201020()()()fxAAxxAxx……00()(())nnnAxxoxx(x0x)①()0()!kkfxAk0,1,2,3k……n。000(()()()()fxfxfxxx()000()()(())!nnnfxxxoxxn……(x0x)②将①②式相减得：001000()(()()AfxAfxxx()000())()(())!nnnnfxAxxoxxn……（(x0x)令000()xxfxA将上式两边同除以(x0x),令0xx10()Afx……其余类似可得。方法：四则运算，变量替换，逐项积分§4泰勒公式在计算方法中的应用（4.1）泰勒公式在误差估计中的应用在研究学习过程中，由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽，绝指导老师：王振辉学生：陈琳琳大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差，同时减少计算的复杂程度。泰勒公式在误差估计中应用就显得十分突出。下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确。例1设有21200.544987104184xedxp，将被积函数2xe展开为泰勒级数，并取前六项得：4620()12!3!xxpxx用0()px代替被积函数2xfxe时再积分所得的近似值：114635722200(1)(1)2!3!35(2!)7(3!)xxxxxxxxdx111122432053760.544977678571*p且*pp0.942561305100.5410，实际上*p近似真值p时有4位有效数字。2()xyfxe，6()ypx曲线如图所示。在编辑窗口输入如下命令：x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.^2);y2=1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6;plot(x,y1,x,y2);legend('exp(x.^2)','1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6');grid指导老师：王振辉学生：陈琳琳有限代替无限所产生的误差图由图可知，泰勒公式在泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小。下例通过用泰勒公式求得的数值与实际数值之间的误差界，可知泰勒公式在误差计算中的精确度较高。例2估计近似公式21128xxx0,1x的绝对误差.解设1fxx,则因为01f12112fxx102f32114fxx104f52318fxx所以1fxx带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：23521112816xxxxx01指导老师：王振辉学生：陈琳琳从而：3522111616xRxx0,1x.（4.2）泰勒公式在函数值估测及近似计算中的应用泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数……相联系起来。例3设函数fx在0,2上存在二阶导数,并且当0,2x时,有1fx,1,fx证明：0,2x,2fx.证明对0,2x,由泰勒公式,将fx在0x展开为：2102!xffxxfxf10x将fx在2x展开为：22222!xffxxfxf22x两式相减得221211220222fxfffxfx从而有221211220222fxfffxfx222222xx213x指导老师：王振辉学生：陈琳琳134所以2fx0,2x.有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的。例4求330的近似值解330331273319令31fxx,则23113fxx53219fxx8310127fxx114380181fxx所以01f103f209f10027f从而由公式（4）4234(0)()(0)(0)2!3!fxffxffxxxx1+1123438011581139814!xxxxx0x故411331111151801111193998181729814!99指导老师：王振辉学生：陈琳琳从而330=3312733194113111151240113113998181729814!991111513139981817293.10725误差41135424011240111.8810814!9981249R（4.3）泰勒公式在数值积分中的应用设()Fx为()fx的原函数，由牛顿—莱布尼兹公式知，对定义在区间[,]ab上的定积分，有：()()()bafxdxFaFb但是，并不是区间[,]ab上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿—莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数2xe、sinxx等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。解法具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。例5计算定积分10sinxdxx的近似值解因为指导老师：王振辉学生：陈琳琳357sin72sin3!5!7!xxxxxx所以246sin7sin213!5!7!xxxxxx因此10sinxdxx=13570sin723!35!57!7xxxxx=sin711213!35!57!由此式得到10sin1110.94163!35!5xdxx此时误差410.5107!7R.（4.4）泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用用解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定x和y初值的联立方程：,,,,dxFxytdtdyGxytdt给出初值000,,xyt我们用如下形式表示一个x和y的联立方程组：指导老师：王振辉学生：陈琳琳,,,,dxFxytdtdyGxytdt(6)求方程组(6)通过点000,,xyt的特解,其中已知000,,xyt.我们设想用一种逼近计算求出在下列各点1020300,2,3,ktthtthtthttkh……，处,xy的近似值,其中h为t轴上选取的恰当步长.现在,设在ktt处,已求出,xy的近似值,且表为,kkkkxxtyyt由泰勒公式可知：232!3!hhxthxtxthxtxt……232!3!hhythytythytyt……(7)令ktt,即可得出计算1,1kkxy值的公式0,1,2,3k……2312!3!kkkkkkhhxxthxtxthxtxt……2312!3!kkkkkkhhyythytythytyt……(8)其中,,dxxFxytdt,,kkkkxFxyt,,dyyGxytdt,,kkkkyGxytFdxFdyFxxdtydttGdxGdyGyxdtydtt指导老师：王振辉学生：陈琳琳,,,,,,kkkkkkkkkkkkFxytFxytFxytxxyxyt,,,,,,kkkkkkkkkkkkGxytGxytGxytyxyxyt……1111,,nnnnkkkknnFxytFxxtt