立体几何大题训练及答案

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1、如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,2,,45ABAEFAFEAEF(1)线段CD的中点为P,线段AE的中点为M,求证://PMBCE平面;(2)求直线CF与平面BCE所成角的正切值.解:(1)取AB的中点为N,连MN,PN,则//MNEB,//PNBC面PMN//面EBC,//PMBCE平面………………………5分(2)先证出FE面EBC,………………………8分FCE为直线CF与平面BCE所成角,………………………11分6tan6FEFCEEC………………………14分2、己知多面体ABCDE中,DE平面ACD,//ABDE,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,O为CD的中点.(1)求证:AO平面CDE;(2)求直线BD与平面CBE所成角的正弦值ABCDEFPM..ABCDEO3、如图,在△ABC中,90C,aBCAC3,点P在AB上,BCPE//交AC于E,ACPF//交BC于F.沿PE将△APE翻折成△PEA',使平面PEA'平面ABC;沿PF将△BPF翻折成△PFB',使平面PFB'平面ABC.(1)求证://'CB平面PEA';(2)若PBAP2,求二面角EPCA'的平面角的正切值.解:(1)因为PEFC//,FC平面PEA',所以//FC平面PEA'.因为平面PEA'平面PEC,且PEEA',所以EA'平面ABC.…2分同理,FB'平面ABC,所以EAFB'//',从而//'FB平面PEA'.…4分所以平面//'CFB平面PEA',从而//'CB平面PEA'.…6分(2)因为aBCAC3,BPAP2,所以aCE,aAE2,aPE2,aPC5.…8分过E作PCEM,垂足为M,连结MA.由(1)知ABCEA平面',可得PCEA,所以EMAPC面,所以PCMA.所以MEA'即为所求二面角EPCA'的平面角,可记为.…12分在Rt△PCE中,求得aEM552,ACBPEFPABFC'B'AEPABFC'B'AE(第20题)MABCDEPM所以55522tanaaEMEA.…15分4、如图,DA平面ABC,ED平面BCD,DE=DA=AB=AC.0120BAC,M为BC中点.(1)求直线EM与平面BCD所成角的正弦值;(2)P为线段DM上一点,且APDM,求证:AP//DE.解:(1)ED平面BCD,DM为EM在平面BCD上的射影,EMD为EM与平面BCD所成角.……………………2分DA平面ABC,ACDAABDA,,设aAB,又DAABAC,aDBDC2.在△ABC中,120BAC,aBC3,又M为BC中点,DMBC,1322BMBCa,aDM25.…5分在Rt△EDM中,22EMDEDM32a,sinEMD32DEaEMa23.………………………7分(2)ABAC,M为BC中点,BCAM.又DA平面ABC,BCDA,BC平面DAM.……………………9分又AP平面DAM,APBC,……………………11分又DMAP,AP平面BCD.……………………13分又ED平面BCD,DEAP//.……………………14分5、如图,已知ABCD是边长为1的正方形,AF⊥平面ABCD,CE∥AF,)1(AFCE.(1)证明:BD⊥EF;(2)若AF=1,且直线BE与平面ACE所成角的正弦值MPEDCBAFEDCBAABCDEA1C1为1023,求的值.解:(1)连结BD、AC,交点为O.∵ABCD是正方形∴BD⊥AC……2分∵AF⊥平面ABCD∴AF⊥BD……4分∴BD⊥平面ACEF……6分∴BD⊥EF……7分(2)连结OE,由(1)知,BD⊥平面ACEF,所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角.……10分∵AF⊥平面ABCD,CE∥AF,∴CE⊥平面ABCD,CE⊥BC,∵BC=1,AF=1,则CE=,BE=21,BO=22,∴Rt△BEO中,1023122sin2BEBOBEO,…13分因为1,解得34.……15分6、如图,在几何体中,1AA平面ABC,,2,//,111AABCABAACCBCABEDCC,,11分别是1,AAAB的中点.(1)求证://1BC平面CDE;(2)求二面角ADCE的平面角的正切值.解:(1)连接ACR1R交EC于点F,由题意知四边形ACCR1RE是矩形,则F是ACR1R的中点,连接DF,∵D是AB的中点,∴DF是△ABCR1R的中位线,∴BCR1R//DF,4分∵BCR1R平面EDC,DF平面EDC,∴BCR1R//平面CDE.7分(2)作AH⊥直线CD,垂足为H,连接HE,∵AAR1R⊥平面ABC,∴AAR1R⊥DC,∴CD⊥平面AHE,∴CD⊥EH,∴AHE是二面角E–CD–A的平面角.11分∵D是AB的中点,∴AH等于点B到CD的距离,在△BCD中,求得:AH=552,在△AEH中,25tanAHAEAHE即所求二面角的正切值为25.7、如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面,且PAABAC,(1)求证:PA//平面QBC;(2)若PQQBC平面,求CQ与平面PBC所成角的正弦值.解:(1)证明:过点Q作QDBC于点D,∵平面QBC⊥平面ABC,∴QD平面ABC……2分又∵PA⊥平面ABC∴QD∥PA,………………2分又∵QD平面QBC∴PA∥平面QBC………………6分(2)∵PQ平面QBC∴90PQBPQC,又∵,PBPCPQPQ∴PQBPQC∴BQCQ………………8分∴点D是BC的中点,连结AD,则ADBC∴AD平面QBC∴PQ∥AD,ADQD∴四边形PADQ是矩形………………10分设2PAABACa得:2PQADa,6PDa又∵,BCPABCPQ,∴BCPADQ平面,QPABCABCA1B1C1DE从而PBCPADQ平面平面,过Q作QHPD于点H,则:QHPBC平面∴QCH是CQ与平面PBC所成角………………………………………………12分∴222336aQHa,6CQBQa2312sin336QHQCHCQ∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为23…………………………14分8、如图,在直三棱柱111CBAABC中,ABC是等腰直角三角形,090ACB,侧棱AA1=2,D,E分别为CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心.(1)求证:DE//平面ACB;(2)求A1B与平面ABD所成角的正弦值.9、如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠B=90°,D为棱BB1的中点。(1)求证:面DA1C⊥面AA1C1C;(2)若12AAAB,求二面角A—A1D—C的大小。ABCA1B1C1D10、如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB//CD,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,AB=2,M为PB的中点.(1)证明:MC//平面PAD;(2)求直线MC与平面PAC所成角的余弦值.11、如图在梯形ABCD中,DCAB//,E、F是线段AB上的两点,且ABDE,ABCF,2,3FBEFCF,G为FB的中点,设tAE,现将BCFADE,分别沿CFDE,折起,使A、B两点重合于点P,得到多面体PEFCD.(1)求证://PD平面EGC;(2)当EG面PFC时,求DG与平面PED所成角的正切值.PABCDMABCDEFGEFCDGPMGPEFCDN(1)证明:连接DF交EC于点M,连接MGGM,为中点MGPD//又EGCPD面EGCMG面//PD平面EGC———5分(2)当EG面PFC时,PFEG又G为FB的中点,2EPEF,2t—————7分过点G在平面PEF中作EP的垂线,垂足为N,连接DN.DE面PEF面PED面PEFGN面PEDGDN即为DG与平面PED所成角.——————11分易求得221,23DNGN,所以DG与平面PED所成角的正切值为77.——14分12、如图,在四边形ABCD中,4ADAB,7CDBC,点E为线段AD上的一点.现将DCE沿线段EC翻折到PAC,使得平面PAC平面ABCE,连接PA,PB.(1)证明:BD平面PAC;(2)若60BAD,且点E为线段AD的中点,求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值.解:(1)连接AC,BD交于点O,在四边形ABCD中,∵4ADAB,7CDBC∴ADCABC,∴BACDAC,∴BDAC又∵平面PAC平面ABCE,且平面PAC平面ABCE=AC∴BD平面PAC…………6分(2)如图,过点P作AC的垂线,垂足为H,连接EH,EC并取AO中点F,连接EF,∵平面PAC平面ABCE,且平面PAC平面ABCE=AC,ACPH∴PH平面ABCE,∴PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角,由(Ⅰ)可知,BDAC,且32AO,3CO,又2PE,7PC,设xCH,则有27xPH,3222xPHPEEH又∵F为AO的中点,在EFHRt中,xFH32,1EF由勾股定理得,31)32(22xx,解得334x,BACDEPABCA1B1C1O∴332EH,335PH∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即33sinPEEHPEH.13、在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,平面ABC1⊥平面AA1C1C,∠AA1C1=∠BAC1=60°,设AC1与AC相交于点O,如图.(1)求证:BO⊥平面AA1C1C;(2)求二面角B1—AC1—A1的大小。PPP1AABBCCM14、如图1,四面体PABC中,BC=BP=1,AC=AP=3,AB=2,将PAB沿直线AB翻折至ABP1,使点CBPA,,,1在同一平面内(如图2),点M为PC中点.(1)求证:直线//1PP平面MAB;(2)求证:ABPC;(3)求直线PA与平面P1PC所成角的大小.答案:(3)、3

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