【数学】2015年高考真题——重庆卷(文)(word版含解析)

12015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3},B{1,3}A==，则AB（）(A){2}(B){1,2}(C){1,3}(D){1,2,3}2.“1x=”是“2210xx-+=”的（）(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件3.函数22()log(23)fxxx=+-的定义域是（）(A)[3,1]-(B)(3,1)-(C)(,3][1,)(D)(,3)(1,)4.重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是（）(A)19(B)20(C)21.5(D)235.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A)123(B)136(C)73(D)5226.若11tan,tan()32aab=+=,则tan=b（）(A)17(B)16(C)57(D)567.已知非零向量,ab满足||=4||(+)baaab，且2则ab与的夹角为（）(A)3p(B)2p(C)23p(D)56p8.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为（）(A)34(B)56(C)1112(D)25249.设双曲线22221(a0,b0)xyab-=的右焦点是F，左、右顶点分别是12A,A,过F做12AA的垂线与双曲线交于B，C两点，若12ABAC,则双曲线的渐近线的斜率为（）(A)12±(B)22±(C)1±(D)2±10.若不等式组2022020xyxyxym,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为（）3(A)-3(B)1(C)43(D)3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．复数(12i)i+的实部为________.12.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________.13.设ABC的内角A，B，C的对边分别为,,abc,且12,cos,4aC==-3sin2sinAB=,则c=________.14.设,0,5abab+=,则1++3ab+的最大值为________.15.在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程22320xpxp++-=有两个负根的概率为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16、(本小题满分12分，（I）小问7分，（II）小问6分)已知等差数列na满足3a=2，前3项和3S=92.（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设等比数列nb满足1b=1a，4b=15a，求nb前n项和nT.17、(本小题满分13分，（I）小问10分，（II）小问3分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y（千亿元）567810（Ⅰ）求y关于t的回归方程（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款.附：回归方程中418、(本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分)已知函数f(x)=12sin2x-32cosx.（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g（x）的图像.当x,2时，求g(x)的值域.19、(本小题满分12分，（I）小问4分，（II）小问8分)已知函数f（x）=a3x+2x（aR）在x=43处取得极值.（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）xe，讨论的单调性.20、(本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分)如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=2，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.（Ⅰ）证明：AB平面PFE.（Ⅱ）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.21、(本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分)5如题（21）图，椭圆22221xyab（ab0）的左右焦点分别为1F,2F,且过2F的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ1PF.（Ⅰ）若|1PF|=2+2，|2PF|=2-2，求椭圆的标准方程.（Ⅱ）若|PQ|=|1PF|，且3443，试确定椭圆离心率的取值范围.6参考答案一．选择题1.C2.A3.D4.B5.B6.A7.C8.D9.C10.B二．填空题11.-212.x+2y-5=013.414.3215.32三.解答题16.解：（1）设{}na的公差为d，则由已知条件得1132922,3,22adad´+=+=化简得11322,,2adad+=+=解得11=1,2ad=，故通项公式1=1+2nna-，即+1=2nna.(2)由（1）得141515+1=1==82bba=，.设{}nb的公比为q,则341q8bb==,从而2q=.故{}nb的前n项和1(1)1(12)21112nnnnbqTq-?===---.17.解：（Ⅰ）列表计算如下这里111151365,3,7.2.55nniiiinttyynn=========邋又2211555310,120537.212.nnntinyiiiiltntltynty===-=-?=-=-创=邋从而12ˆˆˆ1.2,7.21.233.610nyntlbaybtl====-=-?.7故所求回归方程为ˆ1.23.6yt=+.（Ⅱ）将6t=代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为ˆ1.263.610.8().y=?=千亿元18.解：（Ⅰ）2113()sin23cossin2(1cos2)222fxxxxx=-=-+1333sin2cos2sin(2)22232xxxp=--=--,因此()fx的最小正周期为p，最小值为2+32-.（Ⅱ）由条件可知：3g()sin()32xxp=--.当[,]2xppÎ时，有2[,]363xppp-?，从而sin()3xp-的值域为1[,1]2，那么3sin()32xp--的值域为1323[,]22--.故g()x在区间[,]2pp上的值域是1323[,]22--.19.解：（Ⅰ）对()fx求导得2()32fxaxx¢=+因为()fx在43x=-处取得极值，所以4()03f¢-=，即16416832()09333aa??=-=,解得12a=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，321g()2xxxxe骣琪=+琪桫,故232323115g()222222xxxxxxexxexxxe骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2xxxxe=++令g()0x¢=，解得0,1=-4xxx==-或.当-4x时，g()0x¢,故g()x为减函数；当41x--时，g()0x¢,故g()x为增函数；8当-10x时，g()0x¢,故g()x为减函数；当0x时，g()0x¢,故g()x为增函数；综上知g()x在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数.20.（Ⅰ）证明：如题(20)图.由DE=EC，PD=PC知，E为等腰DPDC中DC边的中点，故PE^AC，题（20）图ACBPDEF又平面PAC^平面ABC，平面PACÇ平面ABC=AC，PEÌ平面PAC，PE^AC，所以PE^平面ABC，从而PE^AB.因ABC=,,ABEF2EFBCp衈故.从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB^平面PFE.（Ⅱ）解：设BC=x,则在直角DABC中，222AB=AC=36BCx--.从而211SABBC=3622ABCxxD=?由EFBC，知23AFAEABAC==，得AEFABCDD,故224()S39AEFABCSDD==，即4S9AEFABCSDD=.由1AD=2AE,211421SS=SS3622999AFBAFEABCABCxxDDDD=?=-,从而四边形DFBC的面积为22DFBC11SS-=363629ABCADFSxxxxDD=---273618xx=-由（Ⅰ）知，PE^平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角PECD中，2222PE=PC4223EC-=-=,9体积2DFBC117S362373318PDFBCVPExx-=鬃=??,故得42362430xx-+=，解得2297xx==或，由于0x，可得333xx==或.所以333BC==或BC.21.解：（Ⅰ）由椭圆的定义，()()122|PF||PF|22224aa=+=++-=，故=2.设椭圆的半焦距为c，由已知12PFPF^，因此()()222212122||||||222223cFFPFPF，==+=++-=即3c=.从而221bac=-=故所求椭圆的标准方程为2214xy+=.（Ⅱ）如题(21)图，由11PF,|||PF|PQPQl^=,得222111||||||1||QFPFPQPFl=+=+由椭圆的定义，1212||||2,||||2PFPFaQFQFa+=+=,进而11||||||4PFPQQFa++=于是21(11)|PF|4all+++=.解得124||11aPFll=+++，故22122(11)||2||11aPFaPFllll++-=-=+++.由勾股定理得22222122||||||(2)4PFPFPFcc+===,从而22222242(11)41111aacllllll骣骣++-琪琪+=琪琪琪++++++桫桫,两边除以24a，得()()22222221(11)1111ellllll++-+=++++++,10若记211tll=+++，则上式变成22224(t2)111842ett骣+-琪==-+琪桫.由3443l?，并注意到211ll+++关于l的单调性，得34t?，即11143t?，进而21529e?，即2523e?.