2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版

2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x–1)(x+2)0}，则A∩B=()A．{–1,0}B．{0,1}C．{–1,0,1}D．{0,1,2}2、若a为实数，且(2+ai)(a–2i)=–4i，则a=()A．–1B．0C．1D．23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4、已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()A．21B．42C．63D．845、设函数f(x)=1+log2(2–x)(x1)2x–1(x≥1)，则f(–2)+f(log212)=()A．3B．6C．9D．126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下左1图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A．B．C．D．7、过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,–7)的圆交y轴于M，N两点，则IMNI=()A．26B．8C．46D．108、如上左2程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=()A．0B．2C．4D．149、已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球上的动点，若三棱锥O–ABC的体积最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π10、如上左3图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则y=f(x)的图像大致为()A．B．C．D．11、已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A．5B．2C．3D．212、设函数f’(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(–1)=0，当x0时，xf’(x)–f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A．(–∞,–1)∪(0,1)B．(,0)∪(1,+∞)C．(–∞,–1)∪(–1,0)D．(,1)∪(1,+∞)二、填空题13、设向量a,b不平行，向量λa+b与a+2b平行，则实数λ=．14、若x，y满足约束条件x–y+1≥0x–2y≤0x+2y–2≤0，则z=x+y的最大值为．15、(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16、设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=–1，an+1=SnSn+1，则Sn=________________．三、解答题17、△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求sinBsinC．(2)若AD=1，DC=22，求BD和AC的长．18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立．根据所给的数据，以事件发生的频率作为响应事件的概率，求C的概率19、如图，长方形ABCD–A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1、D1C1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与α平面所成角的正弦值．20、已知椭圆C：9x2+y2=M2(m0)．直线l不过圆点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点(m3,m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21、设函数f(x)=emx+x2–mx．(1)证明：f(c)在(–∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；(2)若对于任意x1，x2[–1,1]，都有|f(x1)–(x2)|≤e–1，求m的取值范围．22、[选修4—1：几何证明选讲]如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边的高AD交于点G，切与AB，AC分别相切与E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=23，求四边形EBCF的面积．23、[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1：x=tcosαy=tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=23cosθ．(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值24、[选修4–5：不等式选讲]设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：(1)若abcd，则a+bc+d；(2)a+bc+d是|a–b||c–d|的充要条件．2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、答案：A．∵(x–1)(x+2)0，解得–2x1，∴B={x|–2x1}，∴A∩B={–1,0}．2、答案：B．∵(2+ai)(a–2i)=(2a+2a)+(a2–4)i=–4i，∴a2–4=–4，解得a=0．3、答案：D．由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．4、答案：B．∵a1+a3+a5=a1+a1q2+a1q4=3(1+q2+q4)=21，∴1+q2+q4=7，整理得(q2+3)(q2–2)=0．解得q2=2，∴a3+a5+a7=a1q2+a1q4+a1q6=a1q2(1+q2+q4)=3×2×7=42．5、答案：C．∵f(–2)=1+log2(2+2)=3，222log121log3log412log1222f222log3log2log6226，∴f(–2)+f(log212)=9．6、答案：D．如图所示截面为ABC，设边长为a，则截取部分体积为13S△ADC·|DB|=16a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a3a3–16a3=15．7、答案：C．由题可得1+9+D+3E+F=010+4+4D+2E+F=01+49+D–7E+F=0，解得D=–2E=4F=–20，所以圆方程为x2+y2–2x+4y–20=0，令x=0，解得y=–2±26，所以|MN|=|–2+26–(–2–26)|=46．8、答案：B．输入a=14，b=18．第一步a≠b成立，执行ab，不成立执行b=b–a=18–14=4；第二步a≠b成立，执行ab，成立执行a=a–b=14–a=10；第三步a≠b成立，执行ab，成立执行a=a–b=10–4=6；第四步a≠b成立，执行ab，成立执行a=a–b=6–4=2；第四步a≠b成立，执行ab，不成立执行b=b–a=4–a=2．第五步a≠b不成立，输出a=2．选B．9、答案：C．设球的半径为r，三棱锥O–ABC的体积为V=13S△ABO·h=13×12r2h=16r2h，点C到平面ABO的最大距离为r，∴16r3=36，解得r=6，球表面积为4πr2=144π．10、答案：B．由已知得，当点P在BC边上运动时，即0≤x≤π4时，PA+PB=tan2x+4+tanx；当点P在CD边上运动时，即π4≤x≤3π4，x≠π2时，PA+PB=(1tan2x–1)2+1+(1tan2x+1)2+1，当x=π2时，PA+PB=22；当点P在边DA上运动时，即3π4≤x≤π时，PA+PB=tan2x+4–tanx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=π2对称，且f(π4)f(π2)，且轨迹非线性，故选B．11、答案：D．设双曲线方程为x2a2–y2b2=1(a0，b0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MD⊥x轴，垂足为D．在Rt△BMD中，|BD|=a，|MD|=3a，故点M的坐标为M(2a,3a)，代入双曲线方程得4a2a2–3a2b2=1，化简得a2=b2，∴e=c2a2=a2+b2a2=2．故选D．12、答案：A．记函数g(x)=f(x)x，则g'(x)=xf'(x)–f(x)x2，因为当x0时，f'(x)–f(x)0，故当x0时，g'(x)0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减；又因为函数f(x)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(–∞,0)单调递减，且g(–1)=g(1)=0．当0x1时，g(x)0，则f(x)0；当x–1时，g(x)0，则f(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(–∞,–1)∪(0,1)，故选A．二、填空题13、答案：12．设λa+b=x(a+2b)，可得λ=x1=2x，解得λ=x=12．14、答案：32．如图所示，可行域为△ABC，直线y=–x+z经过点B时，z最大．联立x–2y=0x+2y–2=0，解得x=1y=12，所以zmax=1+12=32．15、答案：3．(a+x)(1+x)4=(C04a+C14ax+C24ax2+C34ax3+C44ax4)+(C04x+C14x2+C24x3+C34x4+C44x5)，所以C14a+C34a+C04+C24+C44=32，解得a=3．16、答案：–1n．∵an+1=Sn+1–Sn=SnSn+1，∴1Sn–1Sn+1=1．即1Sn+1–1Sn=–1，∴{1Sn}是等差数列，∴1Sn=1S1–(n–1)=–1–n+1=–n，即Sn=–1n．三、解答题17、答案：(1)12；(2)|BD|=2，|AC|=1．(1)如图，由题意可得S△ABD=12|AB||AD|sin∠BAD，S△ADC=12|AC||AD|sin∠CAD，∵S△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠DAC，∴|AB|=2|AC|，∴sin∠Bsin∠C=|AC||AB|=12．(2)设BC边上的高为h，则S△ABD=12|BD|·h=2S△ADC=2×12×22h，解得|BD|=2，设|AC|=x，|AB|=2x，则cos∠BAD=4x2+1–24x，cos∠DAC=x2+1–122x．∵cos∠DAC=cos∠BAD，∴4x2+1–24x=x2+1–122x，解得x=1或x=–1(舍去)．∴|AC|=1．18、(1)如图所示．通过茎叶图可知A地区的平均值比B地区的高，A地区的分散程度大于B地区．(2)记事件不满意为事件A1，B1，满意为事件A2，B2，非常满意为事件A3，B3．则由题意可得P(A1)=420，P(A2)=1220，P(A3)=420，P(B1)=1020，P(B2)=820，P(B3)=220，则P(C)=P(A2)P(B1)+P(A3)(P(B1)+P(B2))=1220×1020+420×(1020+820)=1225．19、(1)如图所示(2)建立空间直角坐标系．由题意和(1)可得A(10,0,0)，F(0,4,8)，E(10,4,8)，G(10,10,0)，则向量AF=(–10,4,8)，EF=(–10,0,0)，EG=(0,6,–8)．设